2020-2021学年江苏省泰州市高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省泰州市高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域

1．（5分）（2021春•泰州期末）设，，若为纯虚数，则实数　　

A． B． C． D．3

2．（5分）（2021春•泰州期末）某校高一年级1000名学生的血型情况如图所示．某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级型血的学生中应抽取的人数是　　．

图中数据：型，型，型，型

A．11 B．22 C．110 D．220

3．（5分）（2021春•泰州期末）在中，，，，则　　

A． B． C． D．1

4．（5分）（2021春•泰州期末）甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都是，则这道数学题被解出的概率是　　

A． B． C． D．

5．（5分）（2021春•泰州期末）如图，已知点是函数，，图象上的一个最高点，，是函数的图象与轴的两个交点，若，则的值为　　

A．2 B． C．4 D．

6．（5分）（2021春•泰州期末）已知，，，四点均在半径为的球的球面上，的面积为，球心到平面的距离为，若三棱锥体积的最大值为24，则球的表面积为　　

A． B． C． D．

7．（5分）（2021春•泰州期末）设，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

8．（5分）（2021春•泰州期末）已知外接圆的圆心为，半径为1．设点到边，，的距离分别为，，，若，则　　

A． B．1 C． D．3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．（5分）（2021春•泰州期末）已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如表所示，

则下列说法正确的有　　

A．这10名男生引体向上测试成绩的平均数为7.4 

B．这10名男生引体向上的测试成绩没有众数 

C．这10名男生引体向上测试成绩的中位数8.5 

D．这10名男生引体向上测试成绩的20百分位数为7.5

10．（5分）（2021春•泰州期末）下列说法正确的有　　

A．设，是两个虚数，若和均为实数，则，是共轭复数 

B．若，则与互为共轭复数 

C．设，是两个虚数，若与是共轭复数，则和均是实数 

D．若，则与互为共轭复数

11．（5分）（2021春•泰州期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点，，的坐标分别为，，，，，设，，，则　　

A． 

B． 

C．为外接圆的半径） 

D．

12．（5分）（2021春•泰州期末）在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的有　　

A． 

B．三棱锥的体积为定值 

C．存在点使得 

D．直线平面

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.

13．（5分）（2021春•泰州期末）若，请写出一个符合要求的　　．

14．（5分）（2021春•泰州期末）若数据，，，的方差为9，则数据，，，的方差为 　　．

15．（5分）（2021春•泰州期末）如图，由若干个边长为1的正方形拼接而成一个矩形，则　　．

16．（5分）（2021春•泰州期末）如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高．已知拟柱体的上底面和下底面均为平行四边形，点，，，分别为侧棱，，，，的中点，记三角形的面积为，梯形的面积为，则　　；若三棱锥的体积为1，则四棱锥的体积为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）（2021春•泰州期末）已知平面向量，满足，，其中．

（1）若，求；

（2）若，求与夹角的余弦值．

18．（12分）（2021春•泰州期末）已知复数，设．

（1）求复数；

（2）若复数满足，，求．

19．（12分）（2021春•泰州期末）在平面四边形中，，．

（1）若，求的面积；

（2）若，，，求．

20．（12分）（2021春•泰州期末）今年四月份某单位组织120名员工参加健康知识竞赛，将120名员工的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示．

（1）求实数的值，并求80分是成绩的多少百分位数？

（2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩；

（3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间，内的员工中，随机选取2名员工到某社区开展“学知识、健体魄”活动．已知这次健康知识竞赛成绩落在区间，内的员工中恰有3名男性，求至少有1名男性员工被选中的概率．

21．（12分）（2021春•泰州期末）如图，在三棱锥中，平面，，，

，为的中点，过点作，垂足为点．

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

22．（12分）（2021春•泰州期末）在斜三角形中，已知，．

（1）求；

（2）设，若，求的值．

2020-2021学年江苏省泰州市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域

1．（5分）（2021春•泰州期末）设，，若为纯虚数，则实数　　

A． B． C． D．3

【解答】解：，，

，

为纯虚数，

，即．

故选：．

2．（5分）（2021春•泰州期末）某校高一年级1000名学生的血型情况如图所示．某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级型血的学生中应抽取的人数是　　．

图中数据：型，型，型，型

A．11 B．22 C．110 D．220

【解答】解：根据分层抽样的定义可得，

从高一年级型血的学生中应抽取的人数是；

故选：．

3．（5分）（2021春•泰州期末）在中，，，，则　　

A． B． C． D．1

【解答】解：因为，

所以，可得，

所以，

又，，

由正弦定理，可得，可得，

则．

故选：．

4．（5分）（2021春•泰州期末）甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都是，则这道数学题被解出的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：当甲，乙都解不出时，这道数学题不被解出，概率为；

所以这道数学题被解出的概率是．

故选：．

5．（5分）（2021春•泰州期末）如图，已知点是函数，，图象上的一个最高点，，是函数的图象与轴的两个交点，若，则的值为　　

A．2 B． C．4 D．

【解答】解：函数的周期，则，

又，为等腰直角三角形，

，．

故选：．

6．（5分）（2021春•泰州期末）已知，，，四点均在半径为的球的球面上，的面积为，球心到平面的距离为，若三棱锥体积的最大值为24，则球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，

设三角形的外心为，其外接球的球心为，则平面，

且，要使三棱锥体积的最大，则在的延长线上，此时，

的面积为，三棱锥体积的最大值为，

解得，

球的表面积为．

故选：．

7．（5分）（2021春•泰州期末）设，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

，

，

．

故选：．

8．（5分）（2021春•泰州期末）已知外接圆的圆心为，半径为1．设点到边，，的距离分别为，，，若，则　　

A． B．1 C． D．3

【解答】解：不影响一般性，设，，，如图，

此时，

容易知道，，

所以，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．（5分）（2021春•泰州期末）已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如表所示，

则下列说法正确的有　　

A．这10名男生引体向上测试成绩的平均数为7.4 

B．这10名男生引体向上的测试成绩没有众数 

C．这10名男生引体向上测试成绩的中位数8.5 

D．这10名男生引体向上测试成绩的20百分位数为7.5

【解答】解：根据

所以：对于：这10名男生引体向上的平均值为，故错误；

对于：这10名男生引体向上的测试成绩众数为9，故错误；

对于：这10名男生引体向上测试成绩的中位数，故正确；

对于：这10名男生引体向上测试成绩的20百分位数为，故正确．

故选：．

10．（5分）（2021春•泰州期末）下列说法正确的有　　

A．设，是两个虚数，若和均为实数，则，是共轭复数 

B．若，则与互为共轭复数 

C．设，是两个虚数，若与是共轭复数，则和均是实数 

D．若，则与互为共轭复数

【解答】解：对于选项：设，，，，，，

则，，，，故，，

故，是共轭复数，故正确；

对于选项，，又与互为共轭复数，与互为共轭复数，故正确；

对于选项：设，则，，，，

则，，故正确；

对于选项：设，，则，但与不互为共轭复数，故错误；

故选：．

11．（5分）（2021春•泰州期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点，，的坐标分别为，，，，，设，，，则　　

A． 

B． 

C．为外接圆的半径） 

D．

【解答】解：由正弦定理可得为外接圆的半径），

所以，，，

所以，故错误；

，故错误，

，故，正确．

故选：．

12．（5分）（2021春•泰州期末）在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的有　　

A． 

B．三棱锥的体积为定值 

C．存在点使得 

D．直线平面

【解答】解：对于，平面，则，

，则，而，

平面，而平面，

，故正确；

对于，，平面，平面，

平面，则到平面的距离为定值，

为定值，故正确；

对于，，两平行线与间的距离为1，则平面内以为直径的圆与无交点，

故为锐角，错误；

对于，，，四边形为平行四边形，可得，

同理可证，而，平面平面，

而平面，直线，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.

13．（5分）（2021春•泰州期末）若，请写出一个符合要求的　　．

【解答】解：，

或，

当时，符合题意．

故答案为：．

14．（5分）（2021春•泰州期末）若数据，，，的方差为9，则数据，，，的方差为 　1　．

【解答】解：数据，，，的方差为9，

则数据，，，的方差为：．

故答案为：1．

15．（5分）（2021春•泰州期末）如图，由若干个边长为1的正方形拼接而成一个矩形，则　2021　．

【解答】解：由图可知，，即，2，，，

又，

．

故答案为：2021．

16．（5分）（2021春•泰州期末）如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高．已知拟柱体的上底面和下底面均为平行四边形，点，，，分别为侧棱，，，，的中点，记三角形的面积为，梯形的面积为，则　　；若三棱锥的体积为1，则四棱锥的体积为 　　．

【解答】解：由条件知为梯形，设，，则．

设梯形的高为，则，，所以．

因为为平行四边形，所以；

因为平面，所以，所以．

因为，所以．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）（2021春•泰州期末）已知平面向量，满足，，其中．

（1）若，求；

（2）若，求与夹角的余弦值．

【解答】解：（1），，

，，，，

，

，解得，

，．

（2）当时，，，

，

，，

设与的夹角为，则，

故与夹角的余弦值为．

18．（12分）（2021春•泰州期末）已知复数，设．

（1）求复数；

（2）若复数满足，，求．

【解答】解：（1），

．

故．

（2）设复数（其中，．

由，

得，

所以，

解得．

由，

得，

所以，

解得．

所以．

故．

19．（12分）（2021春•泰州期末）在平面四边形中，，．

（1）若，求的面积；

（2）若，，，求．

【解答】解：（1）在中，由余弦定理得，

即，整理得，

解得，或（舍去）；

所以，

（2）设，则，

在中，由正弦定理得，

即，所以，

因为，所以，

，

，

．

20．（12分）（2021春•泰州期末）今年四月份某单位组织120名员工参加健康知识竞赛，将120名员工的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示．

（1）求实数的值，并求80分是成绩的多少百分位数？

（2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩；

（3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间，内的员工中，随机选取2名员工到某社区开展“学知识、健体魄”活动．已知这次健康知识竞赛成绩落在区间，内的员工中恰有3名男性，求至少有1名男性员工被选中的概率．

【解答】解：（1），解得，

，

分是成绩的75百分位数．

（2）（分，

这次知识竞赛的平均成绩是71分．

（3）这次知识竞赛成绩落在区间，内的员工有名，

记“至少有一个男性员工被选中”为事件，

记这6人为1，2，3，4，5，6号，其中男性员工为1，2，3号，

则样本空间：

，，，，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，，，

（A）．

至少有1名男性员工被选中的概率为．

21．（12分）（2021春•泰州期末）如图，在三棱锥中，平面，，，

，为的中点，过点作，垂足为点．

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

【解答】解：（1）证明：在三棱锥中，平面，

平面，，

，，平面，平面，

平面，

又平面，，

在中，由为的中点，且，可知，

，平面，平面，

平面，

又平面，，

，，平面，平面，

平面．

（2）由（1）知，平面，

与平面所成角为，

又由（1）知，平面，平面，，

由平面，又平面，，

在中，由，为的中点，得，

在中，，

，

与平面所面角的正弦值为．

22．（12分）（2021春•泰州期末）在斜三角形中，已知，．

（1）求；

（2）设，若，求的值．

【解答】解：（1）在斜三角形中，，

，．

，

又，

．

（2），

，

①，

由（1）可知，

，

，

，即，

，

又，

，

，

①式可化为，解得或，

，

．

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