2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确选项．）

1．（5分）若复数是纯虚数，则实数的值为　　

A．1 B．2 C．1或2 D．

2．（5分）的值是　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知，是非零向量，且向量，的夹角为，若向量，则　　

A．1 B． C． D．2

4．（5分）已知，则　　

A．2 B．3 C．4 D．5

5．（5分）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）在中，，，，为的中点，则　　

A． B． C．0 D．

7．（5分）若，则　　

A． B． C．1 D．

8．（5分）已知复数满足且，则的值为　　

A． B．  C．1 D．2

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）

9．（5分）对于菱形，给出下列各式，其中结论正确的为　　

A． B． C． D．

10．（5分）锐角三角形中三个内角分别是，，且，则下列说法正确的是　　

A． B． C． D．

11．（5分）下列说法正确的是　　

A．若，，则 

B．若，则 

C．两个非零向量，，若，则与反向 

D．若，则存在唯一实数使

12．（5分）欧拉公式（其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是　　

A．复数对应的点位于第三象限 

B．为纯虚数 

C．复数的模长等于 

D．的共轭复数为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．（5分）若复数满足，则的最大值减最小值为 　　．

14．（5分）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，则从建筑物的顶端看建筑物的张角的大小是　　．

15．（5分）已知向量，，向量的起点为，终点在轴上，则点的坐标为 　　．

16．（5分）如图，菱形的边长为2，，为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为　　．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（10分）在①，②复平面内表示，的点在函数上，③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

已知复数，，____．若，求复数．

18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求的大小；

（2）若，，求的面积．

19．（12分）（1）求的值；

（2）已知，均为锐角，且，，求的值．

20．（12分）在中，，，分别是角，，的对边，若，，且．

（1）求角的值．

（2）求的最大值．

21．（12分）我县某农业园有一块用地，准备栽种玫瑰花，其平面图如图所示，其中是半径为1百米的扇形，圆心角为，为中点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，．

（1）当时，求，两点间的距离；

（2）现在与的区域内分别种植紫玫瑰和红玫瑰，其中紫玫瑰每平方百米的费用是红玫瑰的2倍，问当为何值时，种植这两种玫瑰花的总费用最大？

22．（12分）在中，满足：，是的中点．

（Ⅰ）若，求向量与向量的夹角的余弦值；

（Ⅱ）若是线段上任意一点，且，求的最小值．

2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确选项．）

1．【分析】由复数是纯虚数，知，且，由此能求出结果．

【解答】解：若复数是纯虚数，

，且，

，

故选：．

2．【分析】由于，，利用诱导公式与两角差的余弦公式即可求得的值．

【解答】解：

．

故选：．

3．【分析】运用向量的平行四边形法则可得结果．

【解答】解：根据题意得，表示方向上的单位向量，由平行四边形法则得，，

故选：．

4．【分析】设，由向量相等可建立关于，的方程组，解之可得向量，由数量积的定义可得答案．

【解答】解：设，则，，，

故可得，解得，即，

故

故选：．

5．【分析】运用平行四边形法则和平面向量基本定理可得结果．

【解答】解：根据题意得，

而

；

故选：．

6．【分析】由题意利用勾股定理可求的值，又为的中点，可求得，在中，由余弦定理可得的值．

【解答】解：因为中，，，，

所以，

又为的中点，

可得，

所以在中，由余弦定理可得．

故选：．

7．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为，再将“弦”化“切”即可得到答案．

【解答】解：，

．

故选：．

8．【分析】设，由已知列关于，的方程组求得，，得到，结合求解．

【解答】解：设，

由且，得

，解得，．

，

而，

．

．

故选：．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）

9．【分析】由菱形图象可知这两个向量不相等，判断错误；但是由菱形的定义可知它们的模长相等，得到正确；

把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，判断正确，根据菱形的定义判断错误即可．

【解答】解：如图示：

由菱形图象可知错误；

这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知它们的模长相等，得到正确；

把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，得到正确；

由菱形的定义知：，故正确，

故选：．

10．【分析】由正弦定理可判断选项；由余弦函数的单调性可判断；由锐角三角形可得，再由正弦函数和余弦函数的单调性可判断，．

【解答】解：锐角三角形中三个内角分别是，，且，

可得，

由正弦定理可得；

由余弦函数的单调性可得；

又，即，

所以；

．

故正确，错误．

故选：．

11．【分析】根据题意，对选项中的命题分析、判断真假性即可．

【解答】解：对于，当时，若，，则不一定成立，选项错误；

对于，因为，所以，

即，如图所示：

设边的中点为，则，

设边上的高为，边上的高为，

则，选项正确；

对于，两个非零向量，，满足，则与反向共线，选项正确；

对于，当，且时，存在唯一实数使，所以选项错误．

故选：．

12．【分析】对于，，根据，，即可判断出；对于，根据欧拉公式逐项计算，然后判断正误即可．

【解答】解：对于，由于，

，，

，，

表示的复数在复平面中位于第二象限，故错误；

对于，，可得为纯虚数，故正确；

对于，，

可得其模的长为，故正确；

对于，，可得的共轭复数为，故错误．

故选：．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．【分析】根据已知条件，结合复数的几何含义，即可求解．

【解答】解：，

在复平面内对应点轨迹是圆心为，半径为1的圆，

表示复数点到距离，

又圆心到的距离为，

，，

．

故答案为：2．

14．【分析】首先分析题目求从建筑物的顶端看建筑物的张角，考虑到用三角形中的余弦定理分别解出每个边，再根据三角形中由各边求夹角的公式求解即可．

【解答】解：由图知直角三角形中，，

由余弦定理则，

同理易得，

在中，由余弦定理知：

，

得．

故答案为．

15．【分析】根据题意，设的坐标为，可得，由向量平行的坐标表示方法可得关于的方程，解可得答案．

【解答】解：根据题意，设的坐标为，则，

若向量，，则有，

解可得：；

故答案为：．

16．【分析】先以点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．

【解答】解：如图，

以点为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形的边长为2，，为的中点，故点，则，，，．

设，为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形及其内部区域．

因为，，则，

令，则，

由图象可得当目标函数 过点时，取得最大值，

此时．

故答案为9．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．【分析】选择①，根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．

选择②，根据已知条件，结合复数的运算法则和复数的几何意义，即可求解．

选择③，根据已知条件，结合复数的运算法则和共轭复数的概念，即可求解．

【解答】解：选择①，，

，

又，

，解得，

，

．

选择②，复数，，

，在复平面上表示的点为，

复平面内表示的点在函数上，

，解得，

，

．

选择③，，

，

，

，解得，

，

．

18．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求，结合范围，可求的值．

（2）由余弦定理可得，结合，解得，利用三角形的面积公式即可计算得解．

【解答】解：（1），

由正弦定理可得，

又，

，

，

，

，

．

（2），，

由余弦定理可得，整理可得，

又，解得，

．

19．【分析】（1）直接利用角的变换的应用求出三角函数的值，

（2）直接利用角的恒等变换和三角函数的值的应用求出结果．

【解答】解：（1）；

（2）已知，均为锐角，且，，

所，，

所以，

故，

由于，，

所以，且，

故，

所以．

20．【分析】（1）由正弦定理和诱导公式，计算可得所求角；

（2）由向量共线定理可得是上靠近的三等分点，，，再由余弦定理和基本不等式，计算可得所求最大值．

【解答】解：（1）因为，

由正弦定理可得，

即有，

因为，所以，

而，可得；

（2）由，且，可得是上靠近的三等分点，

因此，，

因为与互补，可得，

在和中，

由余弦定理可得，

化简可得，①

而在中，有，②

由①②消去，可得，即，

又，

则，即有，

当且仅当，，取得最大值．

21．【分析】（1）在中，由余弦定理求出，，在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理求解即可；

（2）设种植这两种玫瑰花的经济总价值为，种植红玫瑰每平方百米的经济价值是，则种植紫玫瑰每平方百米的经济价值是，表示出的面积，求出的表达式，利用三角函数的性质求解最值即可．

【解答】解：（1）在中，由余弦定理可得，

因为，，，

所以，，

在中，由正弦定理可得，，则，

在中，由余弦定理可得，；

（2）设种植这两种玫瑰花的经济总价值为，种植红玫瑰每平方百米的经济价值是，则种植紫玫瑰每平方百米的经济价值是，

，

在中，由余弦定理可得，，

所以，

则，

故，

由题意可得，，

则当且仅当时，取得最大值，

所以当时，种植这两种玫瑰花的总费用最大．

22．【分析】利用向量的数量积公式变形，设向量与向量的夹角为，得到的值；

通过解三角形求出的长，设的长度为，得到，利用向量的平行四边形法则得到，利用向量的数量积公式将表示为的函数求最值．

【解答】解：设向量与向量的夹角为，

，

设，，

；

，

设，则，而，

，

当且仅当时，的最小值是．

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日期：2022/3/11 19:15:07；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367