专题03 分式的运算（练透）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题03 分式的运算

一、单选题

1．（2022·四川德阳市·德阳五中九年级月考）若分式的值为零，那么x的值为（    ）

A．x＝﹣1或x＝1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝﹣1

【答案】C

【分析】

直接利用分式的值为0，则分子为0，分母不能为0，进而得出答案．

【详解】

解：∵分式的值为零，

∴x2﹣1＝0，x+1≠0，

解得：x＝1．

故选：C．

2．（2022·陕西九年级专题练习）下列关于的方程中，不是分式方程的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

由题意根据分母含有未知数的方程是分式方程依次对各选项进行分析判断．

【详解】

解：A、B、D选项中分母含有未知数，是分式方程；

C选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.

故选：C．

3．（2022·山西九年级专题练习）若4，则x的值是（    ）

A．4 B． C． D．﹣4

【答案】C

【分析】

去分母，再系数化1，即可求得.

【详解】

解：4，

，

，

故选：C．

4．（2020·陕西九年级专题练习）九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C．

考点：由实际问题抽象出分式方程．

5．（2022·北京九年级专题练习）化简的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据同分母的分式减法法则进行化简即可得到结果．

【详解】

解：

，

故选：．

6．（2022·上海九年级专题练习）分式有意义的条件是（ ）　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据分母不为零分式有意义，可得答案．

【详解】

解：要使有意义，得

．

解得，

当时，有意义，

故选：．

7．（2022·河北九年级专题练习）解分式方程分以下四步，其中错误的一步是（    ）

A．方程两边分式的最简公分母是

B．方程两边都乘以，得整式方程

C．解这个整式方程，得

D．原方程的解为

【答案】D

【分析】

分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

解：分式方程的最简公分母为（x−1）（x＋1），

方程两边乘以（x−1）（x＋1），得整式方程2（x−1）＋3（x＋1）＝6，

解得：x＝1，

经检验x＝1是增根，分式方程无解．

故选：D．

8．（2019·河南九年级专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变，即可求出答案．

【详解】

解：分子分母同时扩大10倍，即原分式，

故选：A．

9．（2020·河南九年级月考）当有意义时，a的取值范围是（    ）

A．a≥2 B．a＞2 C．a≠2 D．a≠－2

【答案】B

【解析】

解：根据二次根式的意义，被开方数a﹣2≥0，解得：a≥2，根据分式有意义的条件：a﹣2≠0，解得：a≠2，∴a＞2．故选B．

10．（2020·内蒙古包头·）的相反数是（ ）

A．9 B．-9 C． D．

【答案】B

【分析】

先根据负指数幂的运算法则求出的值，然后再根据相反数的定义进行求解即可．

【详解】

=9，

9的相反数为-9，

故的相反数是-9，

故选B．

二、填空题

11．（2022·沙坪坝区·重庆南开中学九年级开学考试）若的值为，则的值为__________．

【答案】2

【分析】

直接利用分式的值为零，则分子为零，再利用分式有意义的条件，其分母不为零，进而得出答案．

【详解】

解：∵分式的值为，

∴x2-4=0且x+2≠0，

解得：x=2．

故答案为：2．

12．（2022·山东青岛·九年级专题练习）我国古代著作《四元玉鉴》中，记载了一道“买椽多少”问题，题目是：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意是：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，每株椽的运费是3文．如果少买一株椽，那么所买的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设6210文能买株椽，根据题意可列方程为____________．

【答案】

【分析】

根据单价=总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【详解】

解：依题意，得：，

故答案为：．

13．（2022·北京平谷·九年级一模）化简：_______________.

【答案】

【分析】

利用分式的通分原则计算即可

【详解】

解：

=

=，

故答案为：．

14．（2020·贵州贵阳市·）关于x的分式方程有增根，则m的值为__________．

【答案】4．

【解析】

去分母得：7x+5(x-1)=2m-1，

因为分式方程有增根，所以x-1=0，所以x=1，

把x=1代入7x+5(x-1)=2m-1，得：7=2m-1，

解得：m=4，

故答案为4.

15．（2020·齐齐哈尔市第二十八中学九年级月考）已知x2﹣3x﹣2=0，那么代数式的值为___________．

【答案】2

【分析】

本题考查了分式的化简，多项式的因式分解．化简代数式是解决本题的关键．

【分析】

先化简代数式，再整体代入求值．

【详解】

解：

=

=

=x2﹣3x

因为x2﹣3x﹣2=0，所以x2﹣3x=2

所以原式=2．

故答案为：2

三、解答题

16．（2022·河南九年级专题练习）解分式方程：．

【答案】无解

【分析】

去分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，检验根即可．

【详解】

解：去分母，两边同时乘以得

，

即

即  

即．

检验：当x=1时，（x-1）(x+2)=0     

∴x=1不是原方程的解．              

∴原方程无解．

17．（2022·河南九年级期末）先化简，再求值：，其中．

【答案】；

【分析】

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把变形为，最后代入化简结果中进行计算即可．

【详解】

解：

=

=

=

=

∴原式．

18．（2022·全国）化简：÷（1﹣）．

【答案】

【分析】

根据分式的混合运算法则计算，得到答案．

【详解】

解：原式＝÷（）

＝

＝

＝．

19．（2020·沙坪坝·重庆八中九年级课时练习）计算：

（1）（x+y）2+y（3x-y）

（2）

【答案】（1）x2+5xy；（2）．

【分析】

（1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项即可；

（2）先计算小括号里的，再计算乘法即可．

【详解】

解：（1）原式=x2+2xy+y2+3xy-y2=x2+5xy．

（2）原式=

=

=．

20．（2019·河南九年级专题练习）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．

【答案】；当m＝3时，原式＝3．

【分析】

先化简分式，然后根据分式有意义的条件即可求出m的值，从而可求出原式的值．

【详解】

解：原式＝（）×

＝×﹣×

＝﹣

＝，

∵m≠±2，0，

∴当m＝3时，

原式＝3．

21．（2022·全国九年级专题练习）已知关于x的分式方程，

(1)若方程的增根为x=1，求m的值

(2)若方程有增根，求m的值

(3)若方程无解，求m的值．

【答案】（1）m=-6;(2) 当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；（3）m的值为﹣1或﹣6或1.5

【详解】

试题分析：方程两边同时乘以最简公分母（x-1）(x+2)，化为整式方程；

（1）把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得；

（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得；

（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得.

试题解析：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得

2（x+2）+mx=x-1，

整理得（m+1）x=﹣5，

（1）∵x=1是分式方程的增根，

∴1+m=﹣5，

解得：m=﹣6；

（2）∵原分式方程有增根，

∴（x+2）（x﹣1）=0，

解得：x=﹣2或x=1，

当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；

（3）当m+1=0时，该方程无解，此时m=﹣1；

当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m=﹣6或m=1.5，

综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．

22．（2022·全国九年级专题练习）若关于的方程有增根，求的值.

【答案】3

【分析】

先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程求出k的值即可．

【详解】

方程两边同乘以得，

把代入上式得，

解得，

故的值为3.

【点睛】

本题考查了分式方程的增根问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

23．（2022·上海九年级专题练习）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的郊野公园．已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？

【答案】甲平均每小时行驶10千米，乙平均每小时行驶8千米

【分析】

设乙平均每小时骑行x千米，则甲平均每小时骑行（x+2）千米，根据题意可得，同样20千米的距离，乙比甲多走30分钟，据此列方程求解．

【详解】

设甲平均每小时行驶x千米，

则，

化简为：，

 解得：，

经检验不符合题意，是原方程的解，

答：甲平均每小时行驶10千米，乙平均每小时行驶8千米．