专题20 多边形内角和定理的应用（练透）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题20 多边形内角和定理的应用

一、单选题

1．（2022·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（    ）

A．每个内角都相等的多边形是正多边形

B．对角线互相平分的四边形是平行四边形

C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线

D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分

【答案】B

【分析】

分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．

【详解】

解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；

B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；

C. 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；

D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．

故选：B．

2．（2022·四川眉山·）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（    ）

A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1

【答案】D

【分析】

根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．

【详解】

解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，

∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，

故选D．

3．（2022·湖南岳阳·中考真题）下列命题是真命题的是（    ）

A．五边形的内角和是 B．三角形的任意两边之和大于第三边

C．内错角相等 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点

【答案】B

【分析】

根据相关概念逐项分析即可．

【详解】

A、五边形的内角和是，故原命题为假命题，不符合题意；

B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；

C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；

D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；

故选：B．

4．（2022·辽宁）若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（    ）

A．12 B．10 C．8 D．7

【答案】B

【分析】

本题需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可．

【详解】

解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：

（n-2）×180°÷n=144°，

解得：n=10．

故选：B．

5．（2022·浙江）正六边形的每个内角的度数是（    ）

A． B． C． D．以上都不正确

【答案】A

【分析】

利用多边形的内角和为（n-2）•180°求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解．

【详解】

解：根据多边形的内角和定理可得：

正六边形的每个内角的度数=（6-2）×180°÷6=120°．

故选：A．

6．（2022·山东济宁·中考真题）如图，正五边形中，的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

首先由正五边形的性质得到≌， ，，然后由正五边形 内角度数，求出和 的度数，进而求出 的度数．

【详解】

解：∵五边形为正五边形，

∴，，

∴，

∴，，

∴．

故选：

7．（2022·台湾）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据多边形的外角和是及三角形的外角定理求解判断即可．

【详解】

解：如图，连结BD，延长AD到E，

，，

，

故选项A正确，符合题意；B不正确，不符合题意；

 多边形的外角和是，

∴

∴

故选项C不正确，不符合题意；选项D不正确，不符合题意．

故选：A．

8．（2022·石家庄市第四十中学九年级）如图，五边形ABCDE中，，，、、分别是、、的外角，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

延长AB与CD，根据平角定义可求∠4与∠5，再根据多边形外角和可求解．

【详解】

解：延长AB和DC，得∠4与∠5，

∴∠4=180°-∠B，

∠5=180°-∠C，

∴∠4+∠5=360°-（∠B+∠C）=170°，

根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，

∴∠1+∠2+∠3=360°-（∠4+∠5）=360°-170°=190°．

故选：B．

9．（2022·厦门市第九中学九年级）一个n边形的内角和为，则n等于（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】

根据多边形的内角和公式计算即可．

【详解】

，

解得．

故选C．

10．（2022·湖南新田县·九年级期中）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍还多180°，则这个多边形是（　　）

A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形

【答案】C

【分析】

多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260度．n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．

【详解】

解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
（n-2）•180=360×3+180，
解得：n=9．
则这个多边形的边数是9．

故选：C．

二、填空题

11．（2022·四川雅安·中考真题）如图，为正六边形，为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC=______．

【答案】

【分析】

分别计算正六边形和正方形的每个内角的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出答案．

【详解】

解：∵ABDEF是正六边形，

∴

∵ABGH是正方形，

∴

∵

∴

∵

∴

故答案为：

12．（2022·福建省同安第一中学九年级）一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是_____边形．

【答案】10．

【分析】

根据题意，利用多边形的外角和为360度，即可求得．

【详解】

一个多边形的每一个内角都是

它的每一个外角都是．

多边形的外角和为

边数等于角的个数．

故答案为：．

13．（2022·浙江温州·九年级期中）如果一个正n边形的每个内角是140°，则n＝________．

【答案】9

【分析】

根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．

【详解】

解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝140°•n，

解得n＝9．

故答案为：9．

14．（2022·山东济南·中考真题）如图，正方形的边在正五边形的边上，则__________．

【答案】18

【分析】

由正方形的性质及正五边形的内角可直接进行求解．

【详解】

解：∵四边形是正方形，五边形是正五边形，

∴，

∴；

故答案为18．

15．（2022·福建厦门双十中学思明分校）已知正n边形的一个内角为，则n的值是_____________．

【答案】8

【分析】

根据正n边形的每一个内角公式计算即可；

【详解】

∵正n边形的一个内角为，

∴，

解得：；

故答案是8．

三、解答题

16．（2022·广东）若一个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多90°，那么这个多边形的边数是多少？

【答案】见解析

【分析】

设这个多边形的边数是n，再列方程，解方程即可得到答案．

【详解】

解：设这个多边形的边数是n，

由题意得：，

解得：

答：这个多边形的边数是12．

17．（2017·揭西县第三华侨中学九年级月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝DC，延长AD到E，使DE＝AB．

（1）求证：∠ABC＝∠EDC；

（2）求证：△ABC≌△EDC．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；

（2）根据“边角边”证明即可．

【详解】

解：（1）在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，

∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，

∴∠B+∠ADC=180°，

又∵∠CDE+∠ADE=180°，

∴∠ABC=∠CDE，

（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，

在△ABC和△EDC中

，

∴△ABC≌△EDC（SAS）．

18．（2018·浙江九年级月考）若n边形的内角和等于它外角和的3倍，求边数n.

【答案】n=8.

【分析】

根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程180(n﹣2)＝360×3，再解方程即可.

【详解】

解：由题意得：180(n﹣2)＝360×3，

解得：n＝8，

19．（2019·河北邢台三中九年级月考）如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小．

【答案】75°

【分析】

△BCM是等腰三角形，只要求出顶角∠CBM就可以，这个角是正六边形与正方形内角的差．

【详解】

解：∵六边形ABCDEF为正六边形，

∴∠ABC＝120°，AB＝BC．

∵四边形ABMN为正方形，

∴∠ABM＝90°，AB＝BM．

∴∠MBC＝120°﹣90°＝30°，BM＝BC．

∴∠BCM＝∠BMC．

∴∠BCM＝×（180°﹣30°）＝75°．

20．（2020·福建九年级月考）如图，已知点是正六边形的对称中心，分别是边上的点，且求证：．

【答案】见解析

【分析】

连接、，根据已知条件以及正六边形的性质证明，根据全等三角形性质证明结论．

【详解】

证明：如图，连接，，

∵

∴．

∵

∴

在和中，，

∴

∴．

21．（2022·全国九年级专题练习）探索归纳：

（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于______；

（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=______；

（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是______；

（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．

【答案】（1）270°；（2）220°；（3）∠1+∠2=180°+∠A ；（4）∠1+∠2=2∠A，理由见解析

【分析】

（1）先求出∠B+∠C的度数，再根据四边形内角和等于360°，即可求解；

（2）先求出∠B+∠C的度数，再根据四边形内角和等于360°，即可求解；

（3）先用∠A表示出∠B+∠C，再根据四边形内角和等于360°，即可得到结论；

（4）由折叠的性质得∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，结合平角的定义和三角形内角和定理，即可得到结论．

【详解】

（1）∵△ABC为直角三角形，∠A=90°，

∴∠B+∠C=180°-90°=90°，

∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=270°．

故答案是：270°；

（2）∵△ABC中，∠A=40°，

∴∠B+∠C=180°-40°=140°，

∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=220°．

故答案是：220°；

（3）猜想：∠1+∠2=180°+∠A，理由如下：

∵△ABC中，∠B+∠C=180°-∠A，

∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A．

故答案是：∠1+∠2=180°+∠A；

（4） ∠1+∠2=2∠A，理由如下：

∵△EFP是由△EFA折叠得到的，

∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，

∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，

∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF），

又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，

∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．

22．（2020·浙江嘉兴市·九年级学业考试）定义：每个内角都相等的八边形叫做等角八边形．容易知道，等角八边形的内角都等于135°．下面，我们来研究它的一些性质与判定：

（1）如图1，等角八边形ABCDEFGH中，连结BF．

①请直接写出∠ABF＋∠GFB的度数．

②求证：AB∥EF．

③我们把AB与EF称为八边形的一组正对边．由②同理可得：BC与FG，CD与GH，DE与HA这三组正对边也分别平行．请模仿平行四边形性质的学习经验，用一句话概括等角八边形的这一性质．

（2）如图2，等角八边形ABCDEFGH中，如果有AB＝EF，BC＝FG，则其余两组正对边CD与GH，DE与HA分别相等吗？证明你的结论．

（3）如图3，八边形ABCDEFGH中，若四组正对边分别平行，则显然有∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．请探究：该八边形至少需要已知几个内角为135°，才能保证它一定是等角八边形？

【答案】（1）①∠ABF＋∠GFB＝135°；②详见解析；③等角八边形的每一组正对边平行；（2）CD＝GH，DE＝HA，详见解析；（3）结论：至少需要已知5个内角为135°

【分析】

（1）①由等角八边形的概念可得它的每个内角均为135°，五边形BAHGF的内角和为540°，减去（∠A+∠H+∠G），即可求得结论；

②根据“内错角相等，两直线平行”即可证明；

③根据题目提供的信息，总结出结论即可；

（2）分别证明四边形ABEF是平行四边形，△AFG≌△EBC，△AGH≌△ECD即可得到结论；

（3）若4个内角等于135°，则每个内角不一定都为135°，若5个内角等于135°，其余各角的度数也是135°.

【详解】

（1）①五边形BAHGF的内角和为（5-2）×180°=540°

∵∠A=∠H=∠G=

∴∠ABF＋∠GFB＝540°-（∠A+∠H+∠G）=135°

即∠ABF＋∠GFB＝135°．

②∵∠1＋∠4＝135°，∠GFE＝∠3＋∠4＝135°，

∴∠1＝∠3，

∴AB∥EF．

③等角八边形的每一组正对边平行．

（2）如图2，连结AF，BE，AG，CE，由①得：AB∥EF，

∵AB＝EF，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∴AF＝BE，AF∥BE，

又∵BC∥FG，

∴∠AFG＝∠EBC，

又∵BC＝FG，

∴△AFG≌△EBC，

∴AG＝EC，∠AGF＝∠ECB，

∵∠HGF＝∠BCD＝135°，

∴∠AGH＝∠ECD，

又∵∠H＝∠D＝135°，

∴△AGH≌△ECD，

∴CD＝GH，DE＝HA．

（3）结论：至少需要已知5个内角为135°．

①若4个内角等于135°，则每个内角不一定都为135°，

如图4，八边形ABCMNFPH不是等角八边形；

②若5个内角等于135°：

∵∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．

∴这八个角中，不论已知哪5个角是135°，都可以推导出其余的内角也是135°．

23．（2022·全国）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；

（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．

【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°

【分析】

（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，

（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，

（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．

【详解】

解：（1）如图①，连接AD，

由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，

∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F

即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，

∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，

（2）如图②，由（1）方法可得：

∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，

∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，

（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，

∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，

∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，