2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）．

1．（5分）设集合，1，2，，，1，，，，则　　

A．， B．， C． D．

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）已知，，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）若方程的解在区间，内，则的值是　　

A． B．0 C．1 D．2

5．（5分）函数在，的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

6．（5分）设函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是　　

A． B． C． D．

7．（5分）计算器是如何计算，，，，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中．英国数学家泰勒．，发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确．运用上述思想，可得到的近似值为　　

A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56

8．（5分）在必修第一册教材“8.2.1 几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系　　

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9．（5分）下列说法中，正确的有　　

A．若，则 

B．若，则 

C．若对，恒成立，则实数的最大值为2 

D．若，，，则的最小值为4

10．（5分）如图，摩天轮的半径为40米，点距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一图，摩天轮上点的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有　　

A．经过15分钟，点首次到达最高点 

B．从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点距离地面的高度一直在升高 

C．若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍 

D．在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点距离地面超过

11．（5分）设函数，若函数有四个零点，则实数可取　　

A． B．1 C．3 D．5

12．（5分）对于任意两正数，，记区间，上曲线下的曲边梯形（图中阴影部分）面积为，并约定和，，，且，则下列命题中正确的有　　

A．，，， 

B．，，， 

C． 

D．对正数，有

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知幂函数图象过点，则（9）　 　．

14．（5分）已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为　　．

15．（5分）已知函数，则满足的的取值范围是　　．（用区间表示）

16．（5分）定义域为的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，则　　；若关于的不等式的解的最小值为1，其中，，则的取值范围是　　．

四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）计算：

（1）；

（2）．

18．（12分）已知关于的不等式的解集为．

（1）当时，“”是“，”的必要条件，求的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围．

19．（12分）已知函数，、分别为其图象上相邻的最高点、最低点．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在上的单调区间和值域．

20．（12分）现有三个条件：①对任意的都有；②不等式的解集为；③函数的图象过点．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置）

已知二次函数，且满足_____（填所选条件的序号）．

（1）求函数的解析式；

（2）设，若函数在区间，上的最小值为3，求实数的值．

21．（12分）某小微企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元．今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量（万只）与投入广告费（万元）之间的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只．现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．

（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.5万元，则的最大值是多少？

（2）若，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？

22．（12分）若函数的图象关于点中心对称，则对函数定义域中的任意，恒有．如：函数的图象关于点中心对称，则对函数定义域中的任意，恒有．已知定义域为，的函数，其图象关于点中心对称，且当，时，，其中实数，为自然对数的底．

（1）计算的值，并求函数在，上的解析式；

（2）设函数，对任意，，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）．

1．【解答】解：集合，1，2，，，1，，，，

，，

，．

故选：．

2．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，

所以“，”的否定是：“，”．

故选：．

3．【解答】解：因为，，

，

．

故选：．

4．【解答】解：设，易知，，（1），

由零点定理知，在区间，内一定有零点，即方程一定有解．

所以的值是0，

故选：．

5．【解答】解：函数，

则，

可知是偶函数，排除，选项．

当时，，图象在轴的上方．

故选：．

6．【解答】解：函数，将函数的图象向左平移个单位长度，

得到函数的图象．

若为偶函数，则，，

令，求得的最小值为，

故选：．

7．【解答】解：由题意可得，

，

故选：．

8．【解答】解：，，故

因为，故，所以，

因为，所以，故，故，

所以．

故选：．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9．【解答】解：，则，则，所以正确；

若，则，所以，所以不正确；

对，恒成立（当且仅当时取等号），则实数的最大值为2，所以正确；

若，，，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为4，

所以正确；

故选：．

10．【解答】解：由图形知，可以以点在地面上的垂足为原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系，

设，表示时间．

由题意可得：，，，可得，

因为，

可得，解得，可得，

故有点离地面的高度，

．经过15分钟，．点首次到达最高点，故正确；

．经过15分钟，点首次到达最高点，再经过15分钟，点到达最低点．故错误；

．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的2倍，故错误；

．令，可得，化为：，

可得，，

解得，，

可得，在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点距离地面超过，故正确．

故选：．

11．【解答】解：令得，做出的函数图象如图所示：

函数的图象与有四个交点，

的取值范围为．

故选：．

12．【解答】解：对于，，，，，则对；

对于，对于区间，，，，，，，

由题设得，，，，，则对；

对于，由于是向下凸函数，则错；

对于，存在，使得，，

，则对；

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．【解答】解：幂函数图象过点，

，解得，

，

（9）．

故答案为：81．

14．【解答】解：由题意得，，

故答案为：．

15．【解答】解：，且，则在上单调递增，

由得，，

，解得，

的取值范围是：．

故答案为：．

16．【解答】解：由题意可得，①

又，

即为，②

由①②解得；

关于的不等式

即为，

整理可得，

可令，由可得，

所以，即，

由题意可得的解的最小值为，

设．

由于的解的最小值为，

可得，即，

由（2），

可得，

解得．

故答案为：；．

四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【解答】解：（1）原式；

（2）原式．

18．【解答】解：（1）当时，由，得，所以，，

因为“”是“，”的必要条件，

所以，，，所以，得，

故实数的取值范围为，．

（2）当时，不等式即为，不符合题意．

当时，因为的解集为，

所以，解得．

综上，实数的取值范围是．

19．【解答】解：（1）因为图象上相邻两个最高点和最低点分别为，，

所以，，解得；

又，，所以，；

又图象过点，所以，即；

所以，，即，．

又，所以，所以．

（2）由，，解得，，

所以的单调递增区间为，；

又，所以的单调递增区间为，

同理的单调递减区间为．

又，，，

所以当时，值域为．

20．【解答】解：（1）条件①：因为，

所以，

即对任意的恒成立，

所以，解得，

条件②：因为不等式的解集为，

所以，解得，且，

条件③：函数的图象过点，所以，

若选择条件①②：则，，，此时；

若选择条件①③：则，，，此时；

若选择条件②③：则，，，此时．

（2）由（1）知，其对称轴为，

①当，即时，（1），解得，

②当，即时，（2），解得（舍，

③当，即时，，无解．

综上所述，所求实数的值为．

21．【解答】解：时，，，解得，故．

（1）当投入广告费为1万元时，，销售价为，

年利润，得，

的最大值为2．

故要使得该产品年利润不少于4.5万元，则的最大值是2；

（2）当时，年利润

，

当且仅当，即时等号成立．

故当投入2万元广告费时，该产品可获最大年利润．

22．【解答】解：（1）因为图象关于点中心对称，

所以，

则，即．

当，时，，，

则．

综上，．

（2）设在区间，上值域为，在，的值域为，则，．

因为对任意，，总存在，

使得成立，所以．

①当时，．

当时，，，

当时，，，

所以值域为，．

又因为，所以，，

所以，符合题意．

②当时，函数在，上单调递减，在，上单调递增，

又图象关于点中心对称，

所以在，和，上单调递减，在，上单调递增，

又，，，，

因为，，

所以要使得，只需，解得．

又，所以．

综上，的取值范围是，．

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日期：2021/4/10 17:46:32；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394