2020-2021学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷

一、单项选搔题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）．

1．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

2．（5分）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于　　

A． B．1 C． D．2

3．（5分）若平面，的法向量分别为，2，，，，，并且，则的值为　　

A．10 B． C． D．

4．（5分）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完．则该女子第11天织布　　

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

5．（5分）不等式的解集为　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）已知正方体的棱长为2，则点到平面的距离为　　

A． B． C．2 D．

7．（5分）在数列中，如果对任意，都有为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差．则下列说法正确的是　　

A．等比数列一定是比等差数列，且比公差 

B．等差数列一定不是比等差数列 

C．若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列 

D．若数列满足，，则该数列不是比等差数列

8．（5分）已知，均为正数，且，则的最大值为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分。有选错的得0分，部分选对的得3分）

9．（5分）已知，，为实数，且，则下列不等式正确的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列命题正确的是　　

A．已知，是两个不共线的向量．若，，，则，，共面 

B．若向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 

C．若，0，，，1，，则与向量共线的单位向最为 

D．在三棱锥中，若侧棱，，两两垂直，则底面是锐角三角形

11．（5分）已知数列的前项和为，，．则下列选项正确的为　　

A． 

B．数列是以2为公比的等比数列 

C．对于任意的， 

D．的最小正整数的值为15

12．（5分）在平面直角坐标系中，为曲线上一点，则　　

A．曲线关于原点对称 

B． 

C．曲线围成的区域面积小于18 

D．到点的最近距离为

三、填空题（本大题共4小题。每小题5分，共20分）

13．（5分）若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为　　．

14．（5分）已知数列是等比数列，，，则　　．

15．（5分）设椭圆的左焦点为、右准线为1，若上存在点，使得线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率的最小值为　　．

16．（5分）已知函数，则该函数的图象恒过定点　　；若满足的所有整数解的和为，则实数的取值范围是　　．

四、解答题（本大题共6小题。计70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知命题：实数满足不等式；命题：实数满足方程表示双曲线．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）如图，在三棱锥中，为的中点，，．

（1）求二面角的大小；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

19．（12分）设等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，其满足，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若 ____，求数列的前项和．

在①，②，③这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求解．

20．（12分）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，点在线段上．

（1）若是线段的中点，求直线与平面所成角的大小；

（2）若是的中点，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求线段的长度．

21．（12分）设抛物线的焦点为，其准线与轴交于．抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点的距离为5．

（1）求抛物线的方程；

（2）自引直线交抛物线于、两个不同的点，设．若，求实数的取值范围．

22．（12分）已知直线与椭圆交于，两个不同的点，点为中点，点为坐标原点．且椭圆的离心率为，长轴长为4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，的斜率分别为，，，求证：为定值；

（3）已知点，当的面积最大时，求的最大值．

2020-2021学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选搔题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）．

1．【解答】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，

命题“，”的否定是：

“，”．

故选：．

2．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，

顶点坐标为，渐近线方程为，即，

则该双曲线的顶点到其渐近线的距离；

故选：．

3．【解答】解：，的法向量分别为，2，，，，，并且，

，存在实数使成立，

，2，，，，解得

故选：．

4．【解答】解：设该女子第天织布尺，则是首项为5的等差数列，且，

设数列的公差为，则，解得，

该女子第11天织布（尺．

故选：．

5．【解答】解：由得，，

即，

解得，

故选：．

6．【解答】解：正方体的棱长为2，

以为坐标原点，，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，，0，2，，

故，

设平面的法向量为，

则，

取，得，

所以点到平面的距离为．

故选：．

7．【解答】解：若为等比数列，公比，，

所以，故选项错误；

若，是等差数列，故有，

故为比等差数列，故选项错误；

令，，则，

此时无意义，故选项错误；

因为数列满足，，

所以，，

故，

所以不是比等差数列，故选项正确．

故选：．

8．【解答】解：因为，均为正数，且，

所以，

则，

当且仅当即，时取等号，

所以，

当且仅当，时取等号，

所以，

则，即最大值为．

故选：．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分。有选错的得0分，部分选对的得3分）

9．【解答】解：由题意，

对于选项，，，，，即，故选项正确；

对于选项：当时，很明显不成立，故选项不正确；

对于选项，，故选项正确；

对于选项，，，．

，，，故选项正确．

故选：．

10．【解答】解：对于，因为，是两个不共线的向量，可设由确定的平面为，由于，

，，分别可由线性表示，所以都与由确共面，所以对；

对于，假设存在非零向量，使，构成空间的一个基底，与不平行，与条件矛盾，所以对；

对于，，，，1，，，，所对；

对于，设，，，则，，

，为锐角，

同理得与也为锐角，从而底面是锐角三角形，所以对；

故选：．

11．【解答】解：①数列的前项和为，，．

则，．

由于，，所以，所以，，故，

由于，所以，所以（常数），

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列．

所以．当时，，故，错误；

②由于，所以，所以（常数），

即数列是以2为公比的等比数列，故正确；

③由于

，

所以．

故的最小值为15，故正确．

故选：．

12．【解答】解：当，时，曲线的方程为，

去掉绝对值化简可得，

将的中心平移到位于第一象限的部分，

因为点，，都在曲线上，

所以曲线的图象关于轴、轴和坐标原点对称，

作出图象如图所示，

由图可知曲线关于原点对称，故选项正确；

令中的，解得，

向右平移一个单位可得到横坐标为3，

根据对称性可知，故选项错误；

令中的，解得，

向上平移个单位可得纵坐标的最大值为，

曲线第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为，

所以曲线围成的区域面积小于，故选项正确；

令中的，

可得，

所以到点的最近距离为，故选项正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题。每小题5分，共20分）

13．【解答】解：不等式可化为，

当，即时，不等式化为；

设，其中；

所以，

当且仅当时取等号；

所以实数；

当，即时，不等式化为，显然不成立；

当，即时，不等式化为；

设，其中；

所以，

当且仅当时取等号；

所以实数；

综上知，实数的取值范围是，，．

故答案为：，，．

14．【解答】解：数列是等比数列，，，

，

．

故答案为：．

15．【解答】解：由题意可知，，右准线方程为，，

设点，，则中点坐标为，，又该点在椭圆上，

，

，

，

化简得，，即，

，

，又，

所以椭圆的离心率的范围为，，

故椭圆的离心率的最小值为，

故答案为：．

16．【解答】解：函数，

因为函数过定点，则一定有，解得，

此时，所以函数过定点，；

因为函数，

当时，显然不满足题意，

当时，，

令，解得或，

当时，函数为开口向上的抛物线，且，

所有解的和为，则解为，，，

故有，解得，

当时，可知所有解为正数不成立，

综上，满足题意的的取值范围为，

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题。计70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【解答】解：（1）由得，

而，所以，

所以实数的取值范围为；

（2）命题为真时，实数的取值范围为；

命题为真时，，即实数的取值范围为；

而是的充分不必要条件，即，，，

所以，解得．

所以实数的取值范围．

18．【解答】解：如图，

（1）连接，，由，

得，，则为二面角的平面角，

由，，得，

又，

，

，

即二面角的大小为；

（2）取的中点，连接，则有，异面直线与所成角的大小等于（或其补角）．

，，

在等边三角形中，求得，

在中，由余弦定理可得：．

异面直线与所成角的余弦值为．

19．【解答】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则

，，，

设正项等比数列的公比为，则

，，

由题意，可得

，

化简，可得，

整理，得，

解得（舍去），，

，

，，

，，

（2）方案一：选条件①

，

则

，

方案二：选条件②

，

，

，

两式相减，可得

，

，

方案三：选条件③

，

．

20．【解答】解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，，0，，

，1，．

（1）若是线段的中点，则，0，，，，，

平面的一个法向量为，

则直线与平面所成角的最小值为：

，

则直线与平面所成的角的大小为；

（2）由，2，，得，1，．

设，，，，，

则，，，0，，

，得，0，，则，，．

设平面的法向量，，，

则，取，得，，．

平面的一个法向量为，

平面与平面所成锐二面角的余弦值为，

，

解得，得，0，，

，可得．

21．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得准线的方程为，

由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，

所以，解得：，

所以抛物线的方程为：；

（2）由（1）可得点，由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为：，

设，，，，

联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，

可得：△，即或，

①，，②

因为．即，，，

所以，③

，

由若，可得：，

解得：，

所以：，

由①②③，

所以，且，

实数的取值范围，，．

22．【解答】解：（1）根据题意得，解得，，，

所以椭圆的方程为．

（2）根据题意可得直线的方程为，

联立，得，

设，，，，

所以，，

所以

，为定值．

（3）联立，得，

△，即，①

设，，，，

因为中点为，

所以点坐标为，，即，

所以，，，

则

，

点到直线的距离，

从而，

由均值不等式得，可得，

当且仅当，即取等号，

代入①得成立，

此时点坐标为，，

，，，

，

若要使得最大，则，

当时，，（当且仅当，即时，取等号），

所以，所以，所以，

所以，所以，

所以最大值为2．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2021/4/10 17:50:51；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394