2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.每题只有一个选项是符合题目要求．

1．（5分）设集合，1，，集合，3，，则　　

A． B．，1，3，3， C．，1，2， D．，1，2，3，

2．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）函数的定义域是为　　

A． B． 

C．，， D．，，

4．（5分）函数的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

5．（5分）已知命题：“，”，若为真命题，则实数的取值范围是　　

A． B． C．， D．，

6．（5分）若不等式和不等式的解集相同，则、的值为　　

A．， B．， C．， D．，

7．（5分）下列命题中，正确的是　　

A．若，，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，，则

8．（5分）已知函数的定义域为，是偶函数，（4），在上是增函数，则不等式的解集为　　

A． B． 

C． D．

二、多项选择题：共4小题，每题5分，共20分.每题有多项符合题目要求，部分选对得3分，选错得0分．

9．（5分）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列根式与分数指数幂的互化正确的是　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）若，，则下列结论正确的有　　

A． B．若，则 

C．若，则 D．若，则

三、填空题：共4小题，每题5分，共20分.

13．（5分）集合，，且，则　　．

14．（5分）已知，，则　　．

15．（5分）已知，是函数的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数的取值范围是　　．

16．（5分）已知正实数、满足，则：

（1）的最大值是　　；

（2）的最小值是　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知，．

（1）若，求；

（2）若，求的取值范围．

18．（12分）（1）计算：；

（2）．

19．（12分）已知，，，

（1）若，求集合；

（2）如果是的必要条件，求实数的取值范围．

20．（12分）已知函数．

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；

（3）若定义域为，解不等式．

21．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

22．（12分）已知二次函数满足，且（2）．

（1）求函数的解析式

（2）令，

①若函数在区间，上不是单调函数，求实数的取值范围

②求函数在区间，的最小值．

2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.每题只有一个选项是符合题目要求．

1．（5分）设集合，1，，集合，3，，则　　

A． B．，1，3，3， C．，1，2， D．，1，2，3，

【分析】根据集合的并集的定义计算即可．

【解答】解：，1，，，3，，

，1，2，3，，

故选：．

【点评】本题考查了并集的定义，是一道基础题．

2．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】解得的范围，即可判断出结论．

【解答】解：由，解得或，

故”是“”的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（5分）函数的定义域是为　　

A． B． 

C．，， D．，，

【分析】由0指数幂的底数不等于0，分母中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求得的取值集合得答案．

【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：且．

函数的定义域是，，．

故选：．

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了绝对值不等式的解法，是基础题．

4．（5分）函数的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．

【解答】解：函数的定义域为实数集，关于原点对称，

函数，则，则函数为奇函数，故排除，，

当时，，故排除，

故选：．

【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．

5．（5分）已知命题：“，”，若为真命题，则实数的取值范围是　　

A． B． C．， D．，

【分析】直接利用存在性问题和真值表的应用求出结果．

【解答】解：命题：“，”，若为真命题，

所以，即．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：存在性问题，真值表，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

6．（5分）若不等式和不等式的解集相同，则、的值为　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】分别求解不等式和不等式的解集，它们解集相同，可求、的值．

【解答】解：不等式等价于，

解得：，

解集相同，

不等式的解集为，

由方程与不等式的关系可知：的根为：，

由韦达定理：，解得：，，

故选：．

【点评】本题考查了分式不等式的解法和方程与不等式的关系，属于基础题．

7．（5分）下列命题中，正确的是　　

A．若，，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，，则

【分析】根据特殊值法判断、，根据不等式的性质判断，即可．

【解答】解：令，，，，显然、不成立，

对于：若，显然不成立，

对于：由，得：，故正确，

故选：．

【点评】本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．

8．（5分）已知函数的定义域为，是偶函数，（4），在上是增函数，则不等式的解集为　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据题意可得在上是减函数，由函数的单调性与奇偶性将不等式转化为，解之即可得结论．

【解答】解：因为是偶函数，在上是增函数，

所以在上是减函数，又（4），

所以不等式（4）（4），

解得．

故选：．

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于中档题．

二、多项选择题：共4小题，每题5分，共20分.每题有多项符合题目要求，部分选对得3分，选错得0分．

9．（5分）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为　　

A． B． C． D．

【分析】设，可得，化简后构造关于和的方程组即可．

【解答】解：设，

，

，

，解得或，

或，

故选：．

【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式，考查学生的运算求解能力，属于基础题．

10．（5分）下列根式与分数指数幂的互化正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据指数幂的运算性质分别计算即可．

【解答】解：对于，故错误；

对于，故错误；

对于，故正确；

对于：原式，故正确；

故选：．

【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查转化思想，是一道基础题．

11．（5分）若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据题意，由函数的奇偶性、单调性的定义可得若函数为“理想函数”，则在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，据此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．

【解答】解：根据题意，若满足对于定义域内的任意，有，则为奇函数，

若对于定义域内的任意，，当时，有，则在其定义域上为减函数，

若函数为“理想函数”，则在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，

依次分析选项：

对于，，为偶函数，不是奇函数，不符合题意，

对于，，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，符合题意，

对于，，在其定义域上不是减函数，不符合题意，

对于，，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，符合题意，

故选：．

【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．

12．（5分）若，，则下列结论正确的有　　

A． B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【分析】由，得，两边同时除以，整理后即可判断；

根据“乘1法”和基本不等式的性质即可判断；

由题知，，故，再利用基本不等式的性质即可判断；

由不等式的基本性质即可判断．

【解答】解：对于，因为，，，所以，

所以，即，所以错误；

对于，，

当且仅当，即时，等号成立，所以正确；

对于，因为，所以，所以，

当且仅当，即时，等号成立，所以正确；

对于，若，则，所以，故正确．

故选：．

【点评】本题主要考查不等式的基本性质，基本不等式的应用，考查学生的推理论证能力和运算能力，属于中档题．

三、填空题：共4小题，每题5分，共20分.

13．（5分）集合，，且，则　　．

【分析】利用，求出的值，推出结果即可．

【解答】解：集合，，且，

所以，或，

解得或，

当时，

所以．

故答案为：．

【点评】本题考查元素与集合的关系，注意集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．

14．（5分）已知，，则　　．

【分析】由指数的运算性质化简等式右边，等式两边化为同底数的对数后可得的值．

【解答】解：由，

，

，

，

，

故答案为：

【点评】本题考查对数的运算性质，关键是解对数方程要注意验根，是基础的计算题，

15．（5分）已知，是函数的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数的取值范围是　　．

【分析】由题意可得（1），得关于的不等式求解．

【解答】解：函数的图象是开口向上的抛物线，

若函数有两个零点且一个大于1，一个小于1，

则（1），即，得．

实数的取值范围是，

故答案为：．

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是基础题．

16．（5分）已知正实数、满足，则：

（1）的最大值是　　；

（2）的最小值是　　．

【分析】（1）直接利用基本不等式即可求出；

（2）利用乘“1”法，可得，根据基本不等式即可求出．

【解答】解：（1）正实数、满足

，当且仅当时取等号，

故的最大值是

（2），

，

，当且仅当，即时取等号，

故的最小值是，

故答案为：，．

【点评】本题考查了基本不等式的应用，掌握利用基本不等式的条件是关键，属于中档题．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知，．

（1）若，求；

（2）若，求的取值范围．

【分析】（1）求得集合，，再由交集的定义，即可得到所求集合；

（2）由交集的性质可得为空集或不为空集，可得的不等式组，解不等式即可得到所求范围．

【解答】解：（1）当时，，

，或，

；

（2），

当时，，可得；

当时，则且，

或且，

解得或，

综上所述，的取值范围是．

【点评】本题考查集合的混合运算，注意运用定义法解题，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于基础题．

18．（12分）（1）计算：；

（2）．

【分析】（1）通过根式与分数指数幂的互化及其化简运算求解即可．

（2）利用导数的运算法则直接求解即可．

【解答】解：（1）

；

（2）

；

【点评】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算求解，对数的运算法则，换底公式的应用，考查计算能力．

19．（12分）已知，，，

（1）若，求集合；

（2）如果是的必要条件，求实数的取值范围．

【分析】（1）把代入，求解一元二次不等式可得；

（2）求解一元二次不等式化简集合，，把是的必要条件转化为两集合间的关系列式求解实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，即，解得，故，；

（2），，，，

如果是的必要条件，

则，

，解得，

故的取值范围为，．

【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题．

20．（12分）已知函数．

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；

（3）若定义域为，解不等式．

【分析】（1）函数为奇函数，利用定义法能进行证明．

（2）函数在为单调递增函数，利用定义法能进行证明．

（3）由，得，由此能求出原不等式的解集．

【解答】解：（1）函数为奇函数．

证明如下：

定义域为

又，

为奇函数

（2）函数在为单调递增函数．

证明如下：

任取，

则

，

，，，

即

故在上为增函数．

（3）由（1）、（2）可得，

，

，解得：，

原不等式的解集为．

【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断与证明，考查不等式的解法，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

21．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

【分析】（1）设每件定价为元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；

（2）依题意，时，不等式有解，等价于时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．

【解答】解：（1）设每件定价为元，依题意得，

整理得，解得．

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．

（2）依题意知当时，不等式有解，

等价于时，有解．

由于，当且仅当，即时等号成立，所以．

当该商品改革后的销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．

【点评】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．

22．（12分）已知二次函数满足，且（2）．

（1）求函数的解析式

（2）令，

①若函数在区间，上不是单调函数，求实数的取值范围

②求函数在区间，的最小值．

【分析】（1）设出函数的解析式，利用已知条件，列出方程求解即可．

（2）①，函数在区间，上不是单调函数，利用二次函数的对称轴，列出不等式，求实数的取值范围

②通过二次函数的对称轴与区间的关系，分类讨论求函数在区间，的最小值．

【解答】解：由已知令；

（1），

，，

，又（2），

，

（3分）

（2）①其对称轴为，

在，上不单调，

，（8分）

②当，；

当，；

当，（2）；（13分）

综上，（14分）

【点评】本题考查分段函数的综合应用，函数的解析式以及最值的求法，考查分类讨论思想的应用．

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日期：2021/2/23 14:22:22；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394