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江苏省扬州市2020-2021学年高一上学期期末数学试卷 （解析版）
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这是一份江苏省扬州市2020-2021学年高一上学期期末数学试卷 （解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．设集合U＝{0，1，2，3}，A＝{0，1，3}，B＝{1，2}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{0，3} B．{1，3} C．{1} D．{0}
2．命题“∃x∈R，x≤0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x≤0 B．∀x∈R，x＞0 C．∃x∈R，x＜0 D．∃x∈R，x＞0
3．已知，，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
4．若方程的解在区间[k，k+1]（k∈Z）内，则k的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设函数，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．计算器是如何计算sinx，cosx，ex，lnx，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中n!＝1×2×3×⋅⋅⋅×n．英国数学家泰勒（B．Taylor，1685﹣1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sinx和cosx的值也就越精确．运用上述思想，可得到cos1的近似值为（ ）
A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56
8．在必修第一册教材“8.2.1 几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当0＜x＜2或x＞4时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2，请比较a＝log43，，的大小关系（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
二、多项选择题（共4小题）.
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．若a＜b＜0，则ab＞b2
B．若a＞b＞0，则
C．若对∀x∈（0，+∞），恒成立，则实数m的最大值为2
D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则的最小值为4
10．如图，摩天轮的半径为40米，点O距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一图，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（ ）
A．经过15分钟，点P首次到达最高点
B．从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高
C．若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍
D．在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70m
11．设函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m有四个零点，则实数m可取（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
12．对于任意两正数u，v（u＜v），记区间[u，v]上曲线下的曲边梯形（图中阴影部分）面积为L（u，v），并约定L（u，u）＝0和L（v，u）＝﹣L（u，v），且L（1，x）＝lnx，则下列命题中正确的有（ ）
A．L（1，6）＝L（1，2）+L（1，3）
B．L（1，uv）＝L（1，u）+L（u，uv）
C．
D．对正数u，h有
三、填空题（共4小题）.
13．已知幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（9）＝ ．
14．已知扇形的半径为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 ．
15．已知函数f（x）＝x|x|，则满足f（x）+f（3x﹣2）≥0的x的取值范围是 ．（用区间表示）
16．定义域为R的函数F（x）＝2x可以表示为一个奇函数f（x）和一个偶函数g（x）的和，则f（x）＝ ；若关于x的不等式f（x）+a≥bF（﹣x）的解的最小值为1，其中a，b∈R，则a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知关于x的不等式ax2+x+2≥0的解集为A．
（1）当a＝0时，“x∈A”是“x∈{x|m﹣1≤x≤m+1，m∈R}”的必要条件，求m的取值范围；
（2）若A＝R，求实数a的取值范围．
19．已知函数，、分别为其图象上相邻的最高点、最低点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在上的单调区间和值域．
20．现有三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣2；②不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}；③函数y＝f（x）的图象过点（3，2）．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置）
已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且满足_____（填所选条件的序号）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）＝f（x）﹣mx，若函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值．
21．某小微企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元．今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量P（万只）与投入广告费x（万元）之间的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只．现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．
（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.5万元，则m的最大值是多少？
（2）若m＝3，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？
22．若函数f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则对函数f（x）定义域中的任意x，恒有f（x）＝2b﹣f（2a﹣x）．如：函数f（x）的图象关于点（3，5）中心对称，则对函数f（x）定义域中的任意x，恒有f（x）＝10﹣f（6﹣x）．已知定义域为[0，2m+2]的函数f（x），其图象关于点（m+1，e）中心对称，且当x∈[0，m+1）时，f（x）＝e|x﹣m|，其中实数m＞﹣1，e为自然对数的底．
（1）计算f（m+1）的值，并求函数f（x）在[0，2m+2]上的解析式；
（2）设函数，对任意x1∈[0，2m+2]，总存在，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．设集合U＝{0，1，2，3}，A＝{0，1，3}，B＝{1，2}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{0，3} B．{1，3} C．{1} D．{0}
解：∵集合U＝{0，1，2，3}，A＝{0，1，3}，B＝{1，2}，
∴∁UB＝{0，3}，
∴A∩（∁UB）＝{0，3}．
故选：A．
2．命题“∃x∈R，x≤0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x≤0 B．∀x∈R，x＞0 C．∃x∈R，x＜0 D．∃x∈R，x＞0
解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以“∃x∈R，x≤0”的否定是：“∀x∈R，x＞0”．
故选：B．
3．已知，，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
解：因为，，
∴sinα＝，
∴cosα＝﹣＝﹣．
故选：D．
4．若方程的解在区间[k，k+1]（k∈Z）内，则k的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
解：设f（x）＝，易知，f（0）＝0﹣1＝﹣1＜0，f（1）＝1﹣＞0，
由零点定理知，f（x）在区间[0，1]内一定有零点，即方程一定有解．
所以k的值是0，
故选：B．
5．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：函数f（x）＝，
则f（﹣x）＝＝＝f（x），
可知f（x）是偶函数，排除A，B选项．
当x＝时，f（）＝＞0，∴图象在x轴的上方．
故选：C．
6．设函数，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的最小值是（ ）
A． B． C． D．
解：函数，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，
得到函数g（x）＝sin（2x+2φ﹣）的图象．
若g（x）为偶函数，则2φ﹣＝kπ+，k∈Z，
令k＝﹣1，求得φ的最小值为，
故选：A．
7．计算器是如何计算sinx，cosx，ex，lnx，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中n!＝1×2×3×⋅⋅⋅×n．英国数学家泰勒（B．Taylor，1685﹣1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sinx和cosx的值也就越精确．运用上述思想，可得到cos1的近似值为（ ）
A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56
解：由题意可得，
＝1﹣0.5+0.041﹣0.001+…≈0.54，
故选：C．
8．在必修第一册教材“8.2.1 几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当0＜x＜2或x＞4时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2，请比较a＝log43，，的大小关系（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解：，，故b＞c
因为，故，所以c＜a，
因为，所以，故＝＝a，故b＞a，
所以b＞a＞c．
故选：B．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．若a＜b＜0，则ab＞b2
B．若a＞b＞0，则
C．若对∀x∈（0，+∞），恒成立，则实数m的最大值为2
D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则的最小值为4
解：a＜b＜0，则ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，则ab＞b2，所以A正确；
若a＞b＞0，则＝＜0，所以，所以B不正确；
对∀x∈（0，+∞），≥2＝2≥m恒成立（当且仅当x＝1时取等号），则实数m的最大值为2，所以C正确；
若a＞0，b＞0，a+b＝1，则＝（）（a+b）＝2+≥4，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以的最小值为4，
所以D正确；
故选：ACD．
10．如图，摩天轮的半径为40米，点O距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一图，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（ ）
A．经过15分钟，点P首次到达最高点
B．从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高
C．若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍
D．在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70m
解：由图形知，可以以点O在地面上的垂足为原点，OP所在直线为y轴，与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，
设y＝Asin（ωx+φ）+k，x表示时间．
由题意可得：A＝40，k＝50，T＝30，可得ω＝＝，
因为P（0，10），
可得10＝40sin（×0+φ）+50，解得sinφ＝﹣1，可得φ＝﹣，
故有点P离地面的高度h＝40sin（x﹣）+50，
A．经过15分钟，h＝40sin（×15﹣）+50＝90．点P首次到达最高点，故A正确；
B．经过15分钟，点P首次到达最高点，再经过15分钟，点P到达最低点．故B错误；
C．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的2倍，故C错误；
D．令f（t）＞70，可得40sin（x﹣）+50＞70，化为：cosx＜﹣，
可得2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，
解得30k+10＜x＜30k+20，k∈Z，
可得20﹣10＝10，在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70m，故D正确．
故选：AD．
11．设函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m有四个零点，则实数m可取（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
解：令g（x）＝0得f（x）＝m，做出f（x）的函数图象如图所示：
∵函数f（x）的图象与y＝m有四个交点，
∴m的取值范围为0＜m＜4．
故选：BC．
12．对于任意两正数u，v（u＜v），记区间[u，v]上曲线下的曲边梯形（图中阴影部分）面积为L（u，v），并约定L（u，u）＝0和L（v，u）＝﹣L（u，v），且L（1，x）＝lnx，则下列命题中正确的有（ ）
A．L（1，6）＝L（1，2）+L（1，3）
B．L（1，uv）＝L（1，u）+L（u，uv）
C．
D．对正数u，h有
解：对于A，L（1，6）＝ln6＝ln2+ln3＝L（1，2）+L（1，3），则A对；
对于B，对于区间[1，uv]＝[1，u]∪[u，uv]，[1，u]∩[u，uv]＝{u}，
由题设得，L（1，uv）＝L（1，u）+L（u，uv），则B对；
对于C，由于f（x）是向下凸函数，则C错；
对于D，存在t∈（v，v+h），使得f（t）h＝L（v，v+h），
t∈（v，v+h）⇒⇒
⇒＜L（v，v+h）＜，则D对；
故选：ABD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（9）＝ 81 ．
解：∵幂函数f（x）＝xα图象过点，
∴f（）＝＝2，解得α＝2，
∴f（x）＝x2，
∴f（9）＝92＝81．
故答案为：81．
14．已知扇形的半径为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 36cm2 ．
解：由题意得，S＝＝＝36cm2，
故答案为：36cm2．
15．已知函数f（x）＝x|x|，则满足f（x）+f（3x﹣2）≥0的x的取值范围是 ．（用区间表示）
解：f（﹣x）＝﹣f（x），且，则f（x）在R上单调递增，
∴由f（x）+f（3x﹣2）≥0得，f（x）≥f（2﹣3x），
∴x≥2﹣3x，解得，
∴x的取值范围是：．
故答案为：．
16．定义域为R的函数F（x）＝2x可以表示为一个奇函数f（x）和一个偶函数g（x）的和，则f（x）＝ ；若关于x的不等式f（x）+a≥bF（﹣x）的解的最小值为1，其中a，b∈R，则a的取值范围是 a≠﹣2 ．
解：由题意可得f（x）+g（x）＝F（x）＝2x，①
又f（﹣x）+g（﹣x）＝F（﹣x）＝2﹣x，
即为﹣f（x）+g（x）＝2﹣x，②
由①②解得f（x）＝（2x﹣2﹣x）；
关于x的不等式f（x）+a≥bF（﹣x）
即为（2x﹣2﹣x）+a≥b•2﹣x，
整理可得2x﹣（1+2b）2﹣x+2a≥0，
可令t＝2x，由x≥1可得t≥2，
所以t﹣（1+2b）•+2a≥0，即t2+2at﹣（1+2b）≥0，
由题意可得t2+2at﹣（1+2b）≥0的解的最小值为t＝2，
所以△＝4a2+4（1+2b）＞0，即2b＞﹣1﹣a2，
又4+4a﹣1﹣2b≥0，即有3+4a≥2b，
则3+4a＞﹣1﹣a2，
解得a≠﹣2．
故答案为：f（x）＝（2x﹣2﹣x）；a≠﹣2．
四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式＝；
（2）原式＝．
18．已知关于x的不等式ax2+x+2≥0的解集为A．
（1）当a＝0时，“x∈A”是“x∈{x|m﹣1≤x≤m+1，m∈R}”的必要条件，求m的取值范围；
（2）若A＝R，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝0时，由x+2≥0，得x≥﹣2，所以A＝[﹣2，+∞），
因为“x∈A”是“x∈{x|m﹣1≤x≤m+1，m∈R}”的必要条件，
所以[m﹣1，m+1]⊆[﹣2，+∞），所以m﹣1≥﹣2，得m≥﹣1，
故实数m的取值范围为[﹣1，+∞）．
（2）1°当a＝0时，不等式即为x+2≥0，不符合题意．
2°当a≠0时，因为ax2+x+2≥0的解集为R，
所以，解得．
综上，实数a的取值范围是．
19．已知函数，、分别为其图象上相邻的最高点、最低点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在上的单调区间和值域．
解：（1）因为f（x）图象上相邻两个最高点和最低点分别为，，
所以A＝2，，解得T＝π；
又，ω＞0，所以ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）；
又图象过点，所以，即；
所以，k∈Z，即，k∈Z．
又，所以，所以．
（2）由，k∈Z，解得，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z；
又，所以f（x）的单调递增区间为，
同理f（x）的单调递减区间为．
又，，，
所以当时，f（x）值域为．
20．现有三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣2；②不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}；③函数y＝f（x）的图象过点（3，2）．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置）
已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且满足_____（填所选条件的序号）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）＝f（x）﹣mx，若函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值．
解：（1）条件①：因为f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
所以f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2ax+a+b＝2x﹣2，
即2（a﹣1）x+a+b+2＝0对任意的x恒成立，
所以，解得，
条件②：因为不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
所以，解得，且a＞0，
条件③：函数y＝f（x）的图象过点（3，2），所以9a+3b+c＝2，
若选择条件①②：则a＝1，b＝﹣3，c＝2，此时f（x）＝x2﹣3x+2；
若选择条件①③：则a＝1，b＝﹣3，c＝2，此时f（x）＝x2﹣3x+2；
若选择条件②③：则a＝1，b＝﹣3，c＝2，此时f（x）＝x2﹣3x+2．
（2）由（1）知g（x）＝x2﹣（m+3）x+2，其对称轴为，
①当，即m≤﹣1时，g（x）min＝g（1）＝3﹣（m+3）＝﹣m＝3，解得m＝﹣3，
②当，即m≥1时，g（x）min＝g（2）＝6﹣（2m+6）＝﹣2m＝3，解得（舍），
③当，即﹣1＜m＜1时，，无解．
综上所述，所求实数m的值为﹣3．
21．某小微企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元．今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量P（万只）与投入广告费x（万元）之间的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只．现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．
（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.5万元，则m的最大值是多少？
（2）若m＝3，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？
解：x＝4时，P＝3.4，∴，解得a＝4，故．
（1）当投入广告费为1万元时，，销售价为，
年利润，得m≤2，
∴m的最大值为2．
故要使得该产品年利润不少于4.5万元，则m的最大值是2；
（2）当m＝3时，年利润
＝，
当且仅当，即x＝2时等号成立．
故当投入2万元广告费时，该产品可获最大年利润．
22．若函数f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则对函数f（x）定义域中的任意x，恒有f（x）＝2b﹣f（2a﹣x）．如：函数f（x）的图象关于点（3，5）中心对称，则对函数f（x）定义域中的任意x，恒有f（x）＝10﹣f（6﹣x）．已知定义域为[0，2m+2]的函数f（x），其图象关于点（m+1，e）中心对称，且当x∈[0，m+1）时，f（x）＝e|x﹣m|，其中实数m＞﹣1，e为自然对数的底．
（1）计算f（m+1）的值，并求函数f（x）在[0，2m+2]上的解析式；
（2）设函数，对任意x1∈[0，2m+2]，总存在，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．
解：（1）因为f（x）图象关于点（m+1，e）中心对称，
所以f（x）＝2e﹣f（2m+2﹣x），
则f（m+1）＝2e﹣f（2m+2﹣m﹣1），即f（m+1）＝e．
当x∈（m+1，2m+2]时，2m+2﹣x∈[0，m+1），
则f（x）＝2e﹣f（2m+2﹣x）＝2e﹣e|m+2﹣x|．
综上，f（x）＝．
（2）设f（x）在区间[0，2m+2]上值域为A，在[（1﹣e）3，（e﹣1）3]的值域为B，则B＝[2e﹣e2，e2]．
因为对任意x1∈[0，2m+2]，总存在，
使得f（x1）＝g（x2）成立，所以A⊆B．
①当﹣1＜m≤0时，．
当0≤x≤m+1时，f（x）＝ex﹣m∈[e﹣m，e]，
当m+1＜x≤2m+2时，f（x）＝2e﹣em+2﹣x∈（e，2e﹣e﹣m]，
所以f（x）值域为[e﹣m，2e﹣e﹣m]．
又因为﹣1＜m≤0，所以2e﹣e2＜0＜e﹣m，2e﹣e﹣m＜2e＜e2，
所以A⊆B，符合题意．
②当m＞0时，函数f（x）在[0，m]上单调递减，在[m，m+1]上单调递增，
又f（x）图象关于点（m+1，e）中心对称，
所以f（x）在[0，m]和[m+2，2m+2]上单调递减，在[m，m+2]上单调递增，
又f（0）＝em，f（m）＝1，f（m+2）＝2e﹣1，f（2m+2）＝2e﹣em，
因为2e﹣e2≤1≤e2，2e﹣e2≤2e﹣1≤e2，
所以要使得A⊆B，只需，解得m≤2．
又m＞0，所以0＜m≤2．
综上，m的取值范围是（﹣1，2]．
2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．设集合U＝{0，1，2，3}，A＝{0，1，3}，B＝{1，2}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{0，3} B．{1，3} C．{1} D．{0}
2．命题“∃x∈R，x≤0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x≤0 B．∀x∈R，x＞0 C．∃x∈R，x＜0 D．∃x∈R，x＞0
3．已知，，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
4．若方程的解在区间[k，k+1]（k∈Z）内，则k的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设函数，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．计算器是如何计算sinx，cosx，ex，lnx，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中n!＝1×2×3×⋅⋅⋅×n．英国数学家泰勒（B．Taylor，1685﹣1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sinx和cosx的值也就越精确．运用上述思想，可得到cos1的近似值为（ ）
A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56
8．在必修第一册教材“8.2.1 几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当0＜x＜2或x＞4时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2，请比较a＝log43，，的大小关系（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
二、多项选择题（共4小题）.
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．若a＜b＜0，则ab＞b2
B．若a＞b＞0，则
C．若对∀x∈（0，+∞），恒成立，则实数m的最大值为2
D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则的最小值为4
10．如图，摩天轮的半径为40米，点O距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一图，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（ ）
A．经过15分钟，点P首次到达最高点
B．从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高
C．若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍
D．在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70m
11．设函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m有四个零点，则实数m可取（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
12．对于任意两正数u，v（u＜v），记区间[u，v]上曲线下的曲边梯形（图中阴影部分）面积为L（u，v），并约定L（u，u）＝0和L（v，u）＝﹣L（u，v），且L（1，x）＝lnx，则下列命题中正确的有（ ）
A．L（1，6）＝L（1，2）+L（1，3）
B．L（1，uv）＝L（1，u）+L（u，uv）
C．
D．对正数u，h有
三、填空题（共4小题）.
13．已知幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（9）＝ ．
14．已知扇形的半径为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 ．
15．已知函数f（x）＝x|x|，则满足f（x）+f（3x﹣2）≥0的x的取值范围是 ．（用区间表示）
16．定义域为R的函数F（x）＝2x可以表示为一个奇函数f（x）和一个偶函数g（x）的和，则f（x）＝ ；若关于x的不等式f（x）+a≥bF（﹣x）的解的最小值为1，其中a，b∈R，则a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知关于x的不等式ax2+x+2≥0的解集为A．
（1）当a＝0时，“x∈A”是“x∈{x|m﹣1≤x≤m+1，m∈R}”的必要条件，求m的取值范围；
（2）若A＝R，求实数a的取值范围．
19．已知函数，、分别为其图象上相邻的最高点、最低点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在上的单调区间和值域．
20．现有三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣2；②不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}；③函数y＝f（x）的图象过点（3，2）．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置）
已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且满足_____（填所选条件的序号）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）＝f（x）﹣mx，若函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值．
21．某小微企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元．今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量P（万只）与投入广告费x（万元）之间的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只．现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．
（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.5万元，则m的最大值是多少？
（2）若m＝3，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？
22．若函数f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则对函数f（x）定义域中的任意x，恒有f（x）＝2b﹣f（2a﹣x）．如：函数f（x）的图象关于点（3，5）中心对称，则对函数f（x）定义域中的任意x，恒有f（x）＝10﹣f（6﹣x）．已知定义域为[0，2m+2]的函数f（x），其图象关于点（m+1，e）中心对称，且当x∈[0，m+1）时，f（x）＝e|x﹣m|，其中实数m＞﹣1，e为自然对数的底．
（1）计算f（m+1）的值，并求函数f（x）在[0，2m+2]上的解析式；
（2）设函数，对任意x1∈[0，2m+2]，总存在，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．设集合U＝{0，1，2，3}，A＝{0，1，3}，B＝{1，2}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{0，3} B．{1，3} C．{1} D．{0}
解：∵集合U＝{0，1，2，3}，A＝{0，1，3}，B＝{1，2}，
∴∁UB＝{0，3}，
∴A∩（∁UB）＝{0，3}．
故选：A．
2．命题“∃x∈R，x≤0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x≤0 B．∀x∈R，x＞0 C．∃x∈R，x＜0 D．∃x∈R，x＞0
解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以“∃x∈R，x≤0”的否定是：“∀x∈R，x＞0”．
故选：B．
3．已知，，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
解：因为，，
∴sinα＝，
∴cosα＝﹣＝﹣．
故选：D．
4．若方程的解在区间[k，k+1]（k∈Z）内，则k的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
解：设f（x）＝，易知，f（0）＝0﹣1＝﹣1＜0，f（1）＝1﹣＞0，
由零点定理知，f（x）在区间[0，1]内一定有零点，即方程一定有解．
所以k的值是0，
故选：B．
5．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：函数f（x）＝，
则f（﹣x）＝＝＝f（x），
可知f（x）是偶函数，排除A，B选项．
当x＝时，f（）＝＞0，∴图象在x轴的上方．
故选：C．
6．设函数，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的最小值是（ ）
A． B． C． D．
解：函数，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，
得到函数g（x）＝sin（2x+2φ﹣）的图象．
若g（x）为偶函数，则2φ﹣＝kπ+，k∈Z，
令k＝﹣1，求得φ的最小值为，
故选：A．
7．计算器是如何计算sinx，cosx，ex，lnx，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中n!＝1×2×3×⋅⋅⋅×n．英国数学家泰勒（B．Taylor，1685﹣1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sinx和cosx的值也就越精确．运用上述思想，可得到cos1的近似值为（ ）
A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56
解：由题意可得，
＝1﹣0.5+0.041﹣0.001+…≈0.54，
故选：C．
8．在必修第一册教材“8.2.1 几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当0＜x＜2或x＞4时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2，请比较a＝log43，，的大小关系（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解：，，故b＞c
因为，故，所以c＜a，
因为，所以，故＝＝a，故b＞a，
所以b＞a＞c．
故选：B．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．若a＜b＜0，则ab＞b2
B．若a＞b＞0，则
C．若对∀x∈（0，+∞），恒成立，则实数m的最大值为2
D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则的最小值为4
解：a＜b＜0，则ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，则ab＞b2，所以A正确；
若a＞b＞0，则＝＜0，所以，所以B不正确；
对∀x∈（0，+∞），≥2＝2≥m恒成立（当且仅当x＝1时取等号），则实数m的最大值为2，所以C正确；
若a＞0，b＞0，a+b＝1，则＝（）（a+b）＝2+≥4，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以的最小值为4，
所以D正确；
故选：ACD．
10．如图，摩天轮的半径为40米，点O距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一图，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（ ）
A．经过15分钟，点P首次到达最高点
B．从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高
C．若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍
D．在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70m
解：由图形知，可以以点O在地面上的垂足为原点，OP所在直线为y轴，与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，
设y＝Asin（ωx+φ）+k，x表示时间．
由题意可得：A＝40，k＝50，T＝30，可得ω＝＝，
因为P（0，10），
可得10＝40sin（×0+φ）+50，解得sinφ＝﹣1，可得φ＝﹣，
故有点P离地面的高度h＝40sin（x﹣）+50，
A．经过15分钟，h＝40sin（×15﹣）+50＝90．点P首次到达最高点，故A正确；
B．经过15分钟，点P首次到达最高点，再经过15分钟，点P到达最低点．故B错误；
C．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的2倍，故C错误；
D．令f（t）＞70，可得40sin（x﹣）+50＞70，化为：cosx＜﹣，
可得2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，
解得30k+10＜x＜30k+20，k∈Z，
可得20﹣10＝10，在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70m，故D正确．
故选：AD．
11．设函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m有四个零点，则实数m可取（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
解：令g（x）＝0得f（x）＝m，做出f（x）的函数图象如图所示：
∵函数f（x）的图象与y＝m有四个交点，
∴m的取值范围为0＜m＜4．
故选：BC．
12．对于任意两正数u，v（u＜v），记区间[u，v]上曲线下的曲边梯形（图中阴影部分）面积为L（u，v），并约定L（u，u）＝0和L（v，u）＝﹣L（u，v），且L（1，x）＝lnx，则下列命题中正确的有（ ）
A．L（1，6）＝L（1，2）+L（1，3）
B．L（1，uv）＝L（1，u）+L（u，uv）
C．
D．对正数u，h有
解：对于A，L（1，6）＝ln6＝ln2+ln3＝L（1，2）+L（1，3），则A对；
对于B，对于区间[1，uv]＝[1，u]∪[u，uv]，[1，u]∩[u，uv]＝{u}，
由题设得，L（1，uv）＝L（1，u）+L（u，uv），则B对；
对于C，由于f（x）是向下凸函数，则C错；
对于D，存在t∈（v，v+h），使得f（t）h＝L（v，v+h），
t∈（v，v+h）⇒⇒
⇒＜L（v，v+h）＜，则D对；
故选：ABD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（9）＝ 81 ．
解：∵幂函数f（x）＝xα图象过点，
∴f（）＝＝2，解得α＝2，
∴f（x）＝x2，
∴f（9）＝92＝81．
故答案为：81．
14．已知扇形的半径为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 36cm2 ．
解：由题意得，S＝＝＝36cm2，
故答案为：36cm2．
15．已知函数f（x）＝x|x|，则满足f（x）+f（3x﹣2）≥0的x的取值范围是 ．（用区间表示）
解：f（﹣x）＝﹣f（x），且，则f（x）在R上单调递增，
∴由f（x）+f（3x﹣2）≥0得，f（x）≥f（2﹣3x），
∴x≥2﹣3x，解得，
∴x的取值范围是：．
故答案为：．
16．定义域为R的函数F（x）＝2x可以表示为一个奇函数f（x）和一个偶函数g（x）的和，则f（x）＝ ；若关于x的不等式f（x）+a≥bF（﹣x）的解的最小值为1，其中a，b∈R，则a的取值范围是 a≠﹣2 ．
解：由题意可得f（x）+g（x）＝F（x）＝2x，①
又f（﹣x）+g（﹣x）＝F（﹣x）＝2﹣x，
即为﹣f（x）+g（x）＝2﹣x，②
由①②解得f（x）＝（2x﹣2﹣x）；
关于x的不等式f（x）+a≥bF（﹣x）
即为（2x﹣2﹣x）+a≥b•2﹣x，
整理可得2x﹣（1+2b）2﹣x+2a≥0，
可令t＝2x，由x≥1可得t≥2，
所以t﹣（1+2b）•+2a≥0，即t2+2at﹣（1+2b）≥0，
由题意可得t2+2at﹣（1+2b）≥0的解的最小值为t＝2，
所以△＝4a2+4（1+2b）＞0，即2b＞﹣1﹣a2，
又4+4a﹣1﹣2b≥0，即有3+4a≥2b，
则3+4a＞﹣1﹣a2，
解得a≠﹣2．
故答案为：f（x）＝（2x﹣2﹣x）；a≠﹣2．
四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式＝；
（2）原式＝．
18．已知关于x的不等式ax2+x+2≥0的解集为A．
（1）当a＝0时，“x∈A”是“x∈{x|m﹣1≤x≤m+1，m∈R}”的必要条件，求m的取值范围；
（2）若A＝R，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝0时，由x+2≥0，得x≥﹣2，所以A＝[﹣2，+∞），
因为“x∈A”是“x∈{x|m﹣1≤x≤m+1，m∈R}”的必要条件，
所以[m﹣1，m+1]⊆[﹣2，+∞），所以m﹣1≥﹣2，得m≥﹣1，
故实数m的取值范围为[﹣1，+∞）．
（2）1°当a＝0时，不等式即为x+2≥0，不符合题意．
2°当a≠0时，因为ax2+x+2≥0的解集为R，
所以，解得．
综上，实数a的取值范围是．
19．已知函数，、分别为其图象上相邻的最高点、最低点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在上的单调区间和值域．
解：（1）因为f（x）图象上相邻两个最高点和最低点分别为，，
所以A＝2，，解得T＝π；
又，ω＞0，所以ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）；
又图象过点，所以，即；
所以，k∈Z，即，k∈Z．
又，所以，所以．
（2）由，k∈Z，解得，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z；
又，所以f（x）的单调递增区间为，
同理f（x）的单调递减区间为．
又，，，
所以当时，f（x）值域为．
20．现有三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣2；②不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}；③函数y＝f（x）的图象过点（3，2）．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置）
已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且满足_____（填所选条件的序号）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）＝f（x）﹣mx，若函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值．
解：（1）条件①：因为f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
所以f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2ax+a+b＝2x﹣2，
即2（a﹣1）x+a+b+2＝0对任意的x恒成立，
所以，解得，
条件②：因为不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
所以，解得，且a＞0，
条件③：函数y＝f（x）的图象过点（3，2），所以9a+3b+c＝2，
若选择条件①②：则a＝1，b＝﹣3，c＝2，此时f（x）＝x2﹣3x+2；
若选择条件①③：则a＝1，b＝﹣3，c＝2，此时f（x）＝x2﹣3x+2；
若选择条件②③：则a＝1，b＝﹣3，c＝2，此时f（x）＝x2﹣3x+2．
（2）由（1）知g（x）＝x2﹣（m+3）x+2，其对称轴为，
①当，即m≤﹣1时，g（x）min＝g（1）＝3﹣（m+3）＝﹣m＝3，解得m＝﹣3，
②当，即m≥1时，g（x）min＝g（2）＝6﹣（2m+6）＝﹣2m＝3，解得（舍），
③当，即﹣1＜m＜1时，，无解．
综上所述，所求实数m的值为﹣3．
21．某小微企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元．今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量P（万只）与投入广告费x（万元）之间的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只．现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．
（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.5万元，则m的最大值是多少？
（2）若m＝3，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？
解：x＝4时，P＝3.4，∴，解得a＝4，故．
（1）当投入广告费为1万元时，，销售价为，
年利润，得m≤2，
∴m的最大值为2．
故要使得该产品年利润不少于4.5万元，则m的最大值是2；
（2）当m＝3时，年利润
＝，
当且仅当，即x＝2时等号成立．
故当投入2万元广告费时，该产品可获最大年利润．
22．若函数f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则对函数f（x）定义域中的任意x，恒有f（x）＝2b﹣f（2a﹣x）．如：函数f（x）的图象关于点（3，5）中心对称，则对函数f（x）定义域中的任意x，恒有f（x）＝10﹣f（6﹣x）．已知定义域为[0，2m+2]的函数f（x），其图象关于点（m+1，e）中心对称，且当x∈[0，m+1）时，f（x）＝e|x﹣m|，其中实数m＞﹣1，e为自然对数的底．
（1）计算f（m+1）的值，并求函数f（x）在[0，2m+2]上的解析式；
（2）设函数，对任意x1∈[0，2m+2]，总存在，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．
解：（1）因为f（x）图象关于点（m+1，e）中心对称，
所以f（x）＝2e﹣f（2m+2﹣x），
则f（m+1）＝2e﹣f（2m+2﹣m﹣1），即f（m+1）＝e．
当x∈（m+1，2m+2]时，2m+2﹣x∈[0，m+1），
则f（x）＝2e﹣f（2m+2﹣x）＝2e﹣e|m+2﹣x|．
综上，f（x）＝．
（2）设f（x）在区间[0，2m+2]上值域为A，在[（1﹣e）3，（e﹣1）3]的值域为B，则B＝[2e﹣e2，e2]．
因为对任意x1∈[0，2m+2]，总存在，
使得f（x1）＝g（x2）成立，所以A⊆B．
①当﹣1＜m≤0时，．
当0≤x≤m+1时，f（x）＝ex﹣m∈[e﹣m，e]，
当m+1＜x≤2m+2时，f（x）＝2e﹣em+2﹣x∈（e，2e﹣e﹣m]，
所以f（x）值域为[e﹣m，2e﹣e﹣m]．
又因为﹣1＜m≤0，所以2e﹣e2＜0＜e﹣m，2e﹣e﹣m＜2e＜e2，
所以A⊆B，符合题意．
②当m＞0时，函数f（x）在[0，m]上单调递减，在[m，m+1]上单调递增，
又f（x）图象关于点（m+1，e）中心对称，
所以f（x）在[0，m]和[m+2，2m+2]上单调递减，在[m，m+2]上单调递增，
又f（0）＝em，f（m）＝1，f（m+2）＝2e﹣1，f（2m+2）＝2e﹣em，
因为2e﹣e2≤1≤e2，2e﹣e2≤2e﹣1≤e2，
所以要使得A⊆B，只需，解得m≤2．
又m＞0，所以0＜m≤2．
综上，m的取值范围是（﹣1，2]．
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