2020-2021学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（上）期末数学试卷

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题恰出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）集合，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）若幂函数经过点，且（a），则　　

A．2 B．3 C．128 D．512

4．（5分）若角顶点在原点，始边在轴正半轴上，终边一点的坐标为，则角为　　角．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．（5分）已知扇形面积为4，周长为8，则该扇形的圆心角为　　弧度．

A．4 B．3 C．2 D．1

6．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

7．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如，，，设为函数的零点，则　　

A．2 B．3 C．4 D．5

8．（5分）函数图象上一点，向右平移个单位，得到的点也在图象上，线段与函数的图象有5个交点，且满足，，若，与有两个交点，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分．

9．（5分）下列命题中，正确的有　　

A．若，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

10．（5分）下列说法中正确的是　　

A．若，则 

B． 

C．若，则 

D．若，则

11．（5分）已知函数，，的部分图象如图所示，下列结论正确的有　　

A．函数的最小正周期为 

B．直线为函数的一条对称轴 

C．函数的图象可由向右平移个单位得到 

D．直线与函数的图象的所有交点的横坐标之和为

12．（5分）已知为定义在上且周期为5的函数，当，时，．则下列说法中正确的是　　

A．的增区间为，，， 

B．若与在，上有10个零点，则的范围是 

C．当，时，的值域为，，则的取值范围， 

D．若与有3个交点，则的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）函数的定义域为　　．

14．（5分）已知，，则　　．

15．（5分）已知正数，满足，则的最小值为　　．

16．（5分）已知，若与直线有四个不同的交点，其横坐标从小到大依次为，，，，则的取值范围为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程成演算步骤．

17．（10分）已知，集合，．

（1）当时，求；

（2）设；，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．

已知，______，．

（1）求的值；

（2）求．

19．（12分）如图，已知正方形的边长为1，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），在运动的过程中，始终保持不变，设．

（1）将的面积表示成的函数，并写出定义域；

（2）求面积的最小值．

20．（12分）已知为奇函数．

（1）求的值，判断函数的单调性并用函数单调性的定义证明；

（2）解不等式．

21．（12分）已知函数．

（1）求函数的单调增区间；

（2）当时，函数有四个零点，求实数的取值范围．

22．（12分）已知二次函数满足，．

（1）求的表达式；

（2）若存在，，对任意，都有，求实数的取值范围；

（3）记，若对任意的，，，，，以，，为边长总可以构成三角形求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题恰出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【解答】解：集合，

，

．

故选：．

2．【解答】解：全称命题“，”，

它的否定是特称命题：“，”．

故选：．

3．【解答】解：设幂函数，它的图象经过点，

，，．

（a），，

故选：．

4．【解答】解：角顶点在原点，始边在轴正半轴上，

终边一点的坐标为，

，

，

角为第三象限角．

故选：．

5．【解答】解：设扇形的半径为，弧长为，

则由题意可得且，解得，，

扇形的圆心角．

故选：．

6．【解答】解：，

即是偶函数，图象关于轴对称，排除，

，排除，

，

当时，，为增函数，排除，

故选：．

7．【解答】解：由，可知在上单调递增，

又（3），，

若，则，

．

故选：．

8．【解答】解：由线段与函数的图象有5个交点，

且满足，所以，解得，

所以，所以；

又，即，

令，得，即，

解得或；

又，即，

所以，所以，，

时，，，，，

，，

画出的图象，如图所示；

函数与有两个交点时，的取值范围是，．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分．

9．【解答】解：若，则，故错误；

若，则，又，，故正确；

若，则，即，又，，故错误；

，

，，，，可得，即，故正确．

故选：．

10．【解答】解：对于，当时，，，故正确；

对于，，故正确；

对于，当为偶数时，，则，

当为奇数时，若，则，故错误；

对于，，则或，故错误．

故选：．

11．【解答】解：根据函数，，的部分图象，

可得，可得函数的最小正周期，故错误；

，由五点作图法可得，解得，

由，可得，

所以，

当时，，所以直线为函数的一条对称轴，故正确；

向右平移个单位得到，故错误；

令，即，或，，

解得或，，

因为，

所以，，，，

所以直线与函数的图象的所有交点的横坐标之和为，故正确．

故选：．

12．【解答】解：已知为定义在上且周期为5的函数，当，时，．

如图所示：

对于的增区间为和，，故错误；

对于：根据函数的图象若与在，上有10个零点，则的范围是，故正确；

对于：根据函数的图象当，时，的值域为，，则的取值范围，，故正确；

对于：根据函数的图象的特殊值，当时，直线与函数的图象也有三个交点，故错误．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【解答】解：由题意得：

，

解得：，

故答案为：．

14．【解答】解：，

，

故答案为：．

15．【解答】解：已知正数，满足：，则，

则，

当且仅当且时，即，时取等号，

则的最小值为．

故答案为：．

16．【解答】解：函数，

因为，当时，则，

故，作出图象如图所示，

由图象可得，且，

所以

，

令，则在恒成立，

则在上单调递增，又，，

所以，

故的取值范围为．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程成演算步骤．

17．【解答】解：集合，，

（1）当时，，故；

（2）因为是的充分不必要条件，

所以，则有，解得，

故实数的取值范围为．

18．【解答】解：（1），，，

若选①，则，

则，．

若选②，则，

，，则．

若选③，则，

则，

则，．

综上，．

．

（2），，，

，，

，．

19．【解答】解：（1），，

，，

则，则，，

，则，，

则的面积，，即定义域为．

（2），设，则，

则，

即面积

，

设，则，，

则函数等价为

，

当且仅当，即，即时，取等号，

即面积的最小值为．

20．【解答】解：（1）的解集是，的定义域是．

又是奇函数，．，即．

经检验知，当时，，符合题意．

，经判断可知在上是减函数．

证明：任取，，且，

则，

为增函数，，．

，，．

，即．

在上是减函数．

（2）函数为奇函数，

则不等式等价于，

又在上是减函数，

则，

即，

即，

解得（舍或，

解得，，

即不等式的解集为，，．

21．【解答】解：函数

，

（1）令，

解得，即为函数的单调递增区间；

（2）由，

令，得；因有四个零点，即和各有两个零点，

故对于函数一个函数值对应两个自变量的函数值的取值范围，

又因时，，

且，

解得，

即．

22．【解答】解：（1）因为，

所以解得，而，

所以；

（2）由题意可得对任意都成立，

看成关于的不等式，则△，

所以，，，

则，存在，使不等式成立，

所以，

而在，上单调递增，

所以，即；

（3）由三角形两边之和大于第三边得对于，，，上恒成立，

①当时，即，，，

则，即，解得或（舍，

②当时，即，，，

则，即，解得或（舍，

③当时，（1），，无解，

④当时，（1），，

所以无解，

综上所述：．

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日期：2021/4/10 17:47:00；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394