中考数学压轴题52

常州市2022年初中学业水平考试数学试题

1、某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据．已知的加速时间的中位数是，满电续航里程的中位数是，相应的直线将平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（    ）

A. 区域①、② B. 区域①、③ C. 区域①、④ D. 区域③、④

【答案】B

【解析】

【分析】根据中位数的性质即可作答．

【详解】在添加了两款新能源汽车的测评数据之后，0~100km/h的加速时间的中位数ms，满电续航里程的中位数nkm，这两组中位数的值不变，即可知这两款新能源汽车的0~100km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧，据此逐项判断即可：

A项，两款车的0~100km/h的加速时间均在直线m下方，不符合要求，故A项错误；

B项，可知这两款新能源汽车的0~100km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧，符合要求；

C项，两款车的满电续航里程的数值均在直线n的左侧，不符合要求，故C项错误；

D项，两款车的0~100km/h的加速时间均在直线m上方，不符合要求，故D项错误；

故选：B．

【点睛】本题考查了中位数的概念，根据中位数的值不变可知新添加的一组数据分别处在中位数的左右两侧或刚好都等于该中位数，理解这一点是解答本题的关键．

18. 如图，在中，，，．在中，，，．用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是______．

【答案】28

【解析】

【分析】过点作的垂线交于，同时在图上标出如图，需要知道的是的被染色的区域面积是，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．

【详解】解：过点作的垂线交于，同时在图上标出如下图：

，，，

，

在中，，，．

，

，

，

四边形为平行四边形，

，

，

解得：， 

，

，

， 

，

，

，

同理可证：， 

，

，

，

的外部被染色的区域面积为，

故答案为：28．

【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．

26. 在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”．

（1）正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；

（2）如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长；

（3）在四边形中，EH//FG．若边上点是四边形的“等形点”，求的值．

【答案】（1）不存在，理由见详解   

（2）   

（3）1

【解析】

【分析】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断；

（2）过A点作AM⊥BC于点M，根据“等形点”的性质可得AB=CD=，OA=OC=5，OB=7=OD，设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC；

（3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有OE=OH，可得OF=OG，则问题得解．

【小问1详解】

不存在，

理由如下：

假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，

∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，

∴∠ABO=90°，

∵△OAB≌△OCD，

∴∠ABO=∠CDO=90°，

∴CD⊥DO，

∵CD⊥BC，

∴，

∵O点在BC上，

∴DO与BC交于点O，

∴假设不成立，

故正方形不存在“等形点”；

【小问2详解】

如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，

∵O点是四边形ABCD的“等形点”，

∴△OAB≌△OCD，

∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，

∵，OA=5，BC=12，

∴AB=CD=，OA=OC=5，

∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，

∵AM⊥BC，

∴∠AMO=90°=∠AMB，

∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，

∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，，

∴，即，

解得：，即，

∴MC=MO+OC=，

∴在Rt△AMC中，，

即AC的长为；

【小问3详解】

如图，

∵O点是四边形EFGH的“等形点”，

∴△OEF≌△OGH，

∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，

∵，

∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，

∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，

∴OE=OH，

∵OF=OH，OE=OG，

∴OF=OG，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三角形的性质是解答本题的关键．

27. 已知二次函数的自变量的部分取值和对应函数值如下表：

（1）求二次函数的表达式；

（2）将二次函数的图像向右平移个单位，得到二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数的表达式______，实数的取值范围是_______；

（3）、、是二次函数的图像上互不重合的三点．已知点、的横坐标分别是、，点与点关于该函数图像的对称轴对称，求的度数．

【答案】（1）   

（2）（答案不唯一），   

（3）∠ACB=45°或135°

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）先求出平移后的二次函数对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性求出，即可得到答案；

（3）先分别求出A、B、C三点的坐标，然后求出，，然后分四种情况讨论求解即可得到答案．

【小问1详解】

解：由题意得：，

解得，

∴二次函数解析式为；

【小问2详解】

解：∵原二次函数解析式为

由题意得平移后的二次函数解析式为，

∴平移后的二次函数对称轴为直线，

∵二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，且二次函数的开口向下，

∴，

∴，

∴符合题意的二次函数解析式可以为；

故答案为：（答案不唯一），；

【小问3详解】

解：∵二次函数解析式为，

∴二次函数的对称轴为直线，

∵A、C关于对称轴对称，点A的横坐标为m，

∴C的横坐标为，

∴点A的坐标为（m，），点C的坐标为（，），

∵点B的横坐标为m+1，

∴点B的坐标为（m+1，），

∴，，

如图1所示，当A、B同时在对称轴左侧时，过点B作BE⊥x轴于E，交AC于D，连接BC，

∵A、C关于对称轴对称，

∴轴，

∴，

∵，，

∴，

∴△BDC是等腰直角三角形，

∴∠ACB=45°，

同理当AB同时在对称轴右侧时，也可求得∠ACB=45°，

如图2所示，当A在对称轴左侧，B在对称轴右侧时，

过点B作直线BD垂直于直线AC交直线AC于D，

同理可证△BDC为等腰直角三角形，

∴∠BCD=45°，

∴∠ACB=135°，

同理当A在对称轴右侧，B在对称轴左侧也可求得∠ACB=135°，

综上所述，∠ACB=45°或135°

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的平移，二次函数的增减性，待定系数法求函数解析式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．

28. （现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、．

（1）沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；

（2）分别取半圆弧上的点、和直径上的点、．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．

【答案】（1）直角    （2）见详解   

（3）小明的猜想错误，理由见详解

【解析】

【分析】（1）AB是圆的直径，根据圆周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；

（2）以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可；

（3）过C点作，交AB于点G，连接CO，根据，可得，即有，则可求得，依据，NQ=4，可得GC=OC=6，即可判断．

【小问1详解】

如图，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB直角，

即△ABC是直角三角形，

故答案为：直角，

【小问2详解】

以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可，

作图如下：

由作图可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6，

即四边形EFHG是边长为6cm的菱形；

【小问3详解】

小明的猜想错误，理由如下：

如图，菱形MNQP的边长为4，过C点作，交AB于点G，连接CO，

在菱形MNQP中MN=QN=4，，

∵，

∴，

∴，

∵AB=12，MN=4，

∴，

∵BN=BC-CN，

∴，

∵，NQ=4，
，
 

∴，

∴GC=6，

∵AB=12，

∴OC=6，

∴OC=GC，

显然若C点靠近A点时，要满足GC=OC=6，此时的G点必在BA的延长线上，

∵P点在线段AB上， 

∴直线GC必与直线PM相交，这与相矛盾，

故小明的猜想错误．

【点睛】本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质、平行的性质等知识，掌握菱形的性质以及平行的性质求得GC=OC是解答本题的关键．