中考数学压轴题57

2022—2023学年中考金榜预测卷B

1、（3分）如图，▱ABCO的顶点B、C在第二象限，O为原点，点A（﹣3，0），反比例函数y（k＜0）的图象经过点C和AB边的中点D，若∠B＝60°，则k的值为（　　）

A．﹣4 B． C．﹣2 D．﹣2

【分析】根据平行四边形的性质、平行线分线段成比例以及直角三角形的边角关系可得，AFAE，DFBE，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出AF的长，进而确定点D的坐标，再代入求出k的值即可．

【解答】解：如图，过点B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F、G，则BE＝CG，BC＝EG，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴BC＝OA，OA∥BC，

∴∠BAE＝∠B＝60°，

在Rt△ADF中，设AF＝a，则DFa，

∵D是AB的中点，

∴BE＝2DF＝2a，AE＝2AF＝2a＝OG，

∴D（a+3，a），C（2a，2a），

由于点D（a+3，a），C（2a，2a）都在反比例函数y的图象上，

∴（a+3）a＝2a×2a，

解得a＝1，

即AF＝1，DF，

∴D（﹣4，），

∴k＝﹣4，

故选：A．

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质以及反比例函数的图象上点的坐标特征是解决问题的前提．

2、（3分）如图，AB为⊙O的直径，点P为半圆上一点（不与A，B重合），点I为△ABP的内心，连接PI并延长交⊙O于点M，IN⊥BP于N．下列结论：（1）∠APM＝45°；（2）ABIM；（3）∠BIM＝∠BAP；（4）．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】对于（1），连接OM，根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”得到判断；对于（2），连接AM、BM，根据三角形PIB的外角定理、三角形的内心的定义证得△MBI的两边MB＝IM；根据勾股定理求得ABMB，从而得到判断；对于（3），利用反证法得到判断；对于（4），根据直角三角形内切圆半径公式、圆的半径与直径是数量关系求得IN+OB（AP+BP），然后借助内切圆半径公式得到判断，从而得到答案．

【解答】解：（1）如图，连接OM．

∵点M是半圆的中点，

∴∠AOM＝90°．

又∠APM∠AOM，

∴∠APM＝45°；

故本选项正确；

（2）连接AM、BM．

∵点M是半圆的中点，

∴AM＝BM，

∴ABMB．

设∠ABI＝α，则∠MIB＝45°+∠PBI＝45°+α＝∠MBI，

∴MB＝IM．

∴ABIM；

故本选项正确；

（3）设∠PBA＝β．

∵点I为△ABP的内心，

∴PI、BI分别是∠APB、∠ABP的角平分线，

∴∠PIB＝∠PIN+（90°β）＝135°β．

若∠BIM＝∠BAP，则有∠BIM+∠PIB＝∠BAP+∠PIB＝90°﹣β+135°β＝180°，

∴β＝30°．

∵P点是圆上一动点，

∴不能保证∠PBA＝30°；

∴∠BIM与∠BAP不一定相等．

故本选项错误；

（4）根据直角三角形内切圆半径公式知，IN，则IN+OB（AP+BP），

求和得，AP+BPPM，

∴；

故本选项正确；

综上所述，正确的结论有3个．

故选：C．

【点评】本题考查了圆的性质的综合运用，熟练掌握圆的有关性质是解决本题的关键．

3、（12分）已知抛物线C1：y＝ax2﹣2amx+am2+3m+2（a＜0）的顶点为A，抛物线C2的顶点B在直线y＝﹣1上，且C1、C2关于点P（﹣1，2）中心对称．

（1）求点A与点B的坐标．

（2）抛物线C2与x轴交于点M、N（点M在点N的右侧）．

（ⅰ）当a＝﹣1时，求△AMN的面积；

（ⅱ）当△ABM是直角三角形时，求a的值．

【分析】（1）由A（m，3m+2），B（t，﹣1）关于点P（﹣1，2）中心对称，可求m，t的值，即可求A、B的坐标；

（2）（ⅰ）由于抛物线C1经过（0，4），求出（0，4）关于点P（﹣1，2）的对称点（﹣2，0），即可求抛物线C2的解析式为y＝x2+6x+8，进而求出N（﹣4，0），M（﹣2，0），再求S△AMN2×5＝5即可；

（ⅱ）由（ⅰ）求出N（3，0），M（3，0），再分四种情况讨论，①当∠MBA＝90°时，过点B作EF⊥y轴，过点A、M分别作AF、ME垂直于x轴交EF于点F、E，由△ABF∽△BME，求出M（，0），再由3，可知此时a无解；②当∠BAM＝90°时，过点A作PQ⊥y轴，过点B、M作BP、MQ垂直x轴，交PQ于点P、Q，由△PAB∽△QMA，求出M（，0），即可求a；③当∠AMB＝90°，M点在x轴负半轴时，过点M作HG⊥x轴，过点A、B作AH、BG垂直于HG，交于点H、G，由△HMA∽△GBM，求出M（﹣4，0），再由3＝﹣4，可知此时a无解；④当∠AMB＝90°，M点在x轴正半轴时，过点M作KL⊥x轴，过点A、B作AK、BL垂直KL交于K、L点，由△AKM∽△MLB，可求M（2，0），再由3＝2，即可求a．

【解答】解：（1）y＝ax2﹣2amx+am2+3m+2＝a（x﹣m）2+3m+2，

∴A（m，3m+2），

∵B在直线y＝﹣1上，

设B（t，﹣1），

C1、C2关于点P（﹣1，2）中心对称，

∴A（m，3m+2），B（t，﹣1）关于点P（﹣1，2）中心对称，

∴m+t＝﹣2，3m+1＝4，

∴m＝1，t＝﹣3，

∴A（1，5），B（﹣3，﹣1）；

（2）（ⅰ）当a＝﹣1时，y＝﹣（x﹣m）2+3m+2，

∵m＝1，

∴y＝﹣x2+2x+4，

当x＝0时，y＝4，

∴抛物线C1经过（0，4），

∴（0，4）关于点P（﹣1，2）中心对称的点为（﹣2，0），

设抛物线C2的解析式为y＝k（x+3）2﹣1，

将点（﹣2，0）代入y＝k（x+3）2﹣1，

∴k＝1，

∴抛物线C2的解析式为y＝（x+3）2﹣1＝x2+6x+8，

令y＝0，则x2+6x+8＝0，

∴x＝﹣2或x＝﹣4，

∵点M在点N的右侧，

∴N（﹣4，0），M（﹣2，0），

∴MN＝2，

∴S△AMN2×5＝5；

（ⅱ）∵y＝a（x﹣m）2+3m+2，

∵m＝1，

∴y＝a（x﹣1）2+5，

当x＝0时，y＝a+5，

∴抛物线C1经过（0，a+5），

∴（0，a+5）关于点P（﹣1，2）中心对称的点为（﹣2，﹣1﹣a），

设抛物线C2的解析式为y＝k（x+3）2﹣1，

将点（﹣2，﹣1﹣a）代入y＝k（x+3）2﹣1，

∴k＝﹣a，

∴抛物线C2的解析式为y＝﹣a（x+3）2﹣1，

令y＝0，则﹣a（x+3）2﹣1＝0，

∴x3或x3，

∵点M在点N的右侧，

∴N（3，0），M（3，0），

①如图1，当∠MBA＝90°时，

过点B作EF⊥y轴，过点A、M分别作AF、ME垂直于x轴交EF于点F、E，

∵∠ABF+∠MBE＝90°，∠ABF+∠BAF＝90°，

∴∠BAF＝∠MBE，

∴△ABF∽△BME，

∴，

∵AF＝6，BF＝4，ME＝1，

∴BE，

∴M（，0），

∴3，

此时a无解；

②如图2，当∠BAM＝90°时，

过点A作PQ⊥y轴，过点B、M作BP、MQ垂直x轴，交PQ于点P、Q，

∵∠PAB+∠QAM＝90°，∠PAB+∠ABP＝90°，

∴∠PBA＝∠QAM，

∴△PAB∽△QMA，

∴，

∵PA＝4，BP＝6，MQ＝5，

∴AQ，

∴M（，0），

∴3，

∴a；

③如图3，当∠AMB＝90°，M点在x轴负半轴时，

过点M作HG⊥x轴，过点A、B作AH、BG垂直于HG，交于点H、G，

∵∠AMH+∠HAM＝90°，∠AMH+∠GMB＝90°，

∴∠HAM＝∠GMB，

∴△HMA∽△GBM，

∴，

∵MG＝1，HM＝5，AH＝GB+4，

∴GB＝1，

∴M（﹣4，0），

∴3＝﹣4，

此时a无解；

④如图4，当∠AMB＝90°，M点在x轴正半轴时，

过点M作KL⊥x轴，过点A、B作AK、BL垂直KL交于K、L点，

∵∠AMK+∠MAK＝90°，∠AMK+∠BML＝90°，

∴∠MAK＝∠BML，

∴△AKM∽△MLB，

∴，

∵BL＝AK+4，MK＝5，ML＝1，

∴AK＝1，

∴M（2，0），

∴3＝2，

∴a；

综上所述：a的值为或．

【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键