2023年山东省淄博十一中中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省淄博十一中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体从上面看是(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.  年春节假期，山东省文化和旅游系统积极出台政策措施，丰富文旅产品供给，大力提振文旅消费，文旅市场强劲复苏，迎来“开门红”据山东省文旅厅消息，春节期间，全省接待游客万人次，实现旅游收入亿元数据“万”可以用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具，经测量，要使木条与平行，则的度数应为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各次射击成绩的数据信息，

请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6.  如图，点是的内心，连接，，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  某市为“加快推进污水管网建设，着力提升居民生活品质”，需要铺设一段全长为米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成这一任务设原计划每天铺设米管道，则根据题意，下列方程中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，内接于，，，则弧的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知点，在函数的图象上，当且时，都有，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，反比例函数的图象与边，交于点，，连接，，则当的面积最大时，的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则点的坐标为______ ．

13.  化简的结果为______ ．

14.  如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，，分别取，的中点，，连接，则线段的长为______ ．

15.  如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心为半径作，为上一动点，过点分别作垂直直线于点，垂直轴于点，若，则的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组，并把解集在下面的数轴上表示出来．

 

17.  本小题分
如图，等边，点，分别在，边上，，连接，，相交于点．
求的度数；
求证：．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限的图象上，将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，点恰好落在反比例函数第三象限的图象上，经过，两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点．
求反比例函数和直线的表达式；
连接，，求的面积；
请根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．

19.  本小题分
为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的时间不少于小时某校为了解学生参加户外活动的情况，对某班学生参加户外活动的时间进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息解答下列问题：
该班共有______ 人；户外活动时间的众数是______ 小时，中位数是______ 小时；将条形统计图补充完整；
若该校共有学生人，请根据上述调查结果，估计该校学生中户外活动的时间不少于小时的学生总人数；
某校园广播站的小记者准备到该班对学生参加户外活动的情况进行调查了解，决定对该班位同学小明用表示、小刚用表示、小敏用表示、小颖用表示、小亮用表示中的两个进行采访，则恰好采访到小明和小敏的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法说明理由．

20.  本小题分
某商场将进货价为元的台灯以元售出，月份销售个，月份和月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，月份的销售量达到个，设月份和月份两个月的销售量月平均增长率不变．
求月份和月份两个月的销售量月平均增长率；
从月份起，在月份销售量的基础上，商场决定降价促销经调查发现，售价在元至元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加个若商场要想使月份销售这种台灯获利元，则这种台灯售价应定为多少元？

21.  本小题分
如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部处出发，沿水平地面前行到达处，再沿着斜坡走到达处，测得旗杆顶端的仰角为已知斜坡与水平面的夹角，图中点，，，，，在同一平面内结果精确到
求斜坡的铅直高度和水平宽度．
求旗杆的高度．
参考数据：，，，
 

22.  本小题分
如图，边长为的正方形中，点为边上一个动点，连接，作于点，交边于，交边于．
求证：；
如图，连接，线段交于点，点为的中点．
当时，求的长；
线段是否存在最小值和最大值，若存在，请直接写出线段的最小值和最大值，若不存在，请说明理由．

 

23.  本小题分
如图，抛物线交轴于点，，交轴正半轴于点，连接．
求抛物线的表达式；
如图，过点作，交抛物线于点，点为直线上方抛物线上任意一点，连接，与交于点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
如图，过点作直线，点，分别是线段和直线上的动点，连接，，，．
连接，当与相似，且最小时，求点的坐标；
在的条件下，直线上是否存在一动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的平方根是，
故选D．
根据的平方根是求出即可．
本题考查了平方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列居上是一个小正方形．
故选：．
根据从上面看得到的图形可得答案．
本题考查了简单组合体从三个角度观察所得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
要使与平行，则，
．
故选：．
先求出的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，
 

5.【答案】 

【解析】解：甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，
在乙和丙两人中选一人参加比赛，
又乙的方差比丙小，
乙的成绩最稳定，
综合平均数和方差两个方面说明乙成绩既高又稳定，
最合适的人选是乙．
故选：．
根据算术平均数和方差的意义解答即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

6.【答案】 

【解析】解：点是的内心，
平分，平分，
，，
，
，
，
．
故选：．
由是的内心，得到平分，平分，推出，由三角形内角和定理即可求出的度数．
本题考查三角形的内心，三角形内角和定理，关键是掌握三角形内心的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：实际施工时每天的工效比原计划增加，且原计划每天铺设米管道，
实际每天铺设米管道．
根据题意得：．
故选：．
根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天铺设米管道，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在弦所对优弧上取一点，连接，，，，作于，
，
，
，
，
，
，
，
弧的长
故选：．
在弦所对优弧上取一点，连接，，，，作于，由圆内接四边形的性质求出的度数，由圆周角定理求出的度数，由锐角的正弦求出的长，由弧长公式即可求出弧的长．
本题考查弧长的计算，三角形外接圆与外心，关键是求出的度数，圆的半径长，并掌握弧长公式．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意画出函数图象如右图，点是函数与轴的交点，点坐标为，点，
．
当且时，都有，可知点与点不可能同时直线左侧．
当在左侧时，若要保证，则必然有．
，
，
；
当在右侧时，函数为增函数，满足即可，
且，
，
，
．
故选：．
根据题意画出大致图象，分情况分析大小关系，列不等式，计算结果即可．
本题考查了一次函数的图象、绝对值的知识点，识别出大小关系列出不等式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，，
，，
，
当时，的面积最大．
故选：．
根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
本题考查了反比例函数函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，表示出的面积是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．

【解答】
解：原式，
故答案为．

12.【答案】 

【解析】解：点关于原点的对称点为，
点的坐标为．
故答案为：．
直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
先算括号里面的，再算除法即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：分别取的中点，的中点，连接，，过点作交于点，如图，

，，，
，，
，
是直角三角形，，
，分别是，的中点，是的中点，是的中点，
是的中位线，是的中位线，，，
，，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
分别取的中点，的中点，连接，，过点作交于点，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再由中位线的定理可得，，则有，从而可得四边形是矩形，从而得到，再由已知的条件求得，，利用勾股定理即可求．
本题主要考查三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，解答的关键是作出正确的辅助线．
 

15.【答案】 

【解析】解：点，
：，
，
直线，
易得，
，
半径为，
与轴相切，
设切点为，连接，作，
≌，
，
，
延长交轴于，
，
，
，
，即，
作，切于，则为的最大值，
作切于，则为的最小值，
连接，则过，
四边形和四边形为正方形，
，
，，
，，
．

延长，求出的值就是，作的平行线与相切，探究出的最大和最小值就是和，再利用三角函数进行计算即可．
本题考查了直线与圆的位置关系、三角函数、三角形全等，正方形等知识点的应用，探究最值是本题的解题关键．
 

16.【答案】解：，
解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集为，
表示在数轴上，如图所示：
 

【解析】求出不等式组的解集，利用数轴表示即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式组的方法，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：是等边三角形，
，．
在和中，
，
≌，
．
，
，
；
证明：，，
∽，
，
． 

【解析】利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
利用相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：点在反比例函数第一象限的图象上，
，
反比例函数为，
将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，
点恰好落在反比例函数第三象限的图象上，
，
，
，
代入得，
，
直线的表达式为；
作轴，交于点，则，
，
点、关于原点对称，
，
；
关于的不等式的解集为或． 

【解析】利用待定系数法即可求得反比例函数为，进而求得的坐标，然后吧的坐标代入即可求得直线的解析式；
作轴，交于点，则，然后根据求得即可；
根据图象即可求得不等式的解集．
本题是反比例函数于一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，反比例函数的对称性，求得交点坐标是解题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：该班共有人，
户外活动时间的众数是小时，
中位数是小时，
故答案为：；；．
每天参加户外活动的时间为小时的人数为人．
补全条形统计图如图．

人．
该校学生中户外活动的时间不少于小时的学生总人数约为人．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好采访到小明和小敏，即和的结果有种，
恰好采访到小明和小敏的概率为．
用每天参加户外活动的时间为小时的学生人数除以其所占的百分比可得该班的学生人数；根据众数和中位数的定义可得答案；求出每天参加户外活动的时间为小时的人数，再补全条形统计图即可．
根据用样本估计总体，用乘以本次调查中户外活动的时间不少于小时的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好采访到小明和小敏的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法、众数、中位数以及用样本估计总体是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，
根据题意，得，
解得，舍去，
答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为；
设这种台灯售价应定为元，
根据题意，得，
解得，，
售价在元至元范围内，
，
答：这种台灯售价应定为元． 

【解析】设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，根据月份销售个，月份和月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，月份的销售量达到个，列一元二次方程，求解即可；
设这种台灯售价应定为元，根据商场要想使月份销售这种台灯获利元，列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立相应的等量关系是解题的关键．
 

21.【答案】解：在中，，，
，
，
斜坡的铅直高度约为，水平宽度约为；
过点作，垂足为，

由题意得：，
，
在中，，
，
，
旗杆的高度约为． 

【解析】在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得：，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：过点作，交于点，交于点，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：连接，，，，

，又点为的中点，
垂直平分，
，
正方形关于对称，
，
，
点，，在以点为圆心为半径的圆上，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
；
存在最小值和最大值，的最小值为，最大值为，
理由：由知，
是正方形的对角线，
，
当点和点重合时，，此时最小，
最小值，
当点和重合时，，此时最大，
最大值． 

【解析】过点作，交于点，交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
连接，，，，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案；
由知，由正方形的性质可得出答案．
此题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
则，
，则，
故抛物线的表达式为：，

由、的坐标得，直线的表达式为：，
，则直线的表达式为：，
联立并解得：，即点的坐标为；
过点作交轴于点，连接，

，，
，，
，
设点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
，则直线的表达式为：，
令，则，
则，
则，
故有最大值为，此时，点；

过作直线于，过作轴于，过作轴于，如图：

，，，
，，，，
，与相似，
，点对应点，边对应边，
最小，且与相似，形状不变，
边最小，即轴，与重合，，
分两种情况：
∽时，，
，
，，
设，而，，
，解得：不合题意的值已舍去，
；
则，，
，
中，，
中，，即，
，，
又，
，，
，直线于，
，
，
中，，，，
，，
，
，
∽时，，
，
，，
设，方法同可得，
，，
，
同方法可得，
综上，点的坐标为：或
综上，的坐标为或；点的坐标为：或 

【解析】用待定系数法即可求解；
证明，，得到，进而求解；
∽时，，得到，进而求解；∽时，同理可解．
本题考查二次函数、相似三角形及三角函数等综合知识，题目难度大，解题的关键是画出图形，确定坐标，熟练运用三角函数求线段长．