2022年山东省淄博市博山区中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省淄博市博山区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 冬季奥林匹克运动会简称冬奥会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第届冬奥会将于年月日在北京开幕．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中不是轴对称图形的为

A.  B.  C.  D.

2. 为抗击新冠肺炎，国家大力提高口罩产能，据统计，我国一月份口罩产量达到亿只，亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列语句正确的是

A. 延长射线
B. 线段叫做点，间的距离
C. 两点之间，直线最短
D. 直线，相交于点

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于

A.
B.
C.
D.

6. 若是关于的一元一次方程的解，则的值是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，，都是等边三角形，则的度数是

A.
B.
C.
D.

8. 已知点在轴上，点在轴上，则点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

9. 如图，在平面直角坐标系中，半径为的与轴交于点，，与轴交于，，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是

A.  B.
C.  D.

11. “行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段横穿双向车道，其中，米，在人行绿灯亮时，小刚共用时秒通过，其中通过的速度是通过的倍，求小刚通过的速度．设小刚通过的速度为米秒，则根据题意列方程为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，点、分别是正方形的边、上的动点，且，过原点作，垂足为，连接、，则面积的最大值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

13. 若方程其中，，为常数且的两个实数根分别为，，则______，______用，，表示
14. 分解因式：______．
15. 从小到大排列的一组数，，，，如果这组数据的平均数与中位数相等，则的值为______．
16. 如图，在中，，，，若以点为圆心，为半径的弧交于点，以点为圆心，为半径的弧交于点，则图中阴影部分图形的面积为______保留根号和
17. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律，则点的坐标是______．

三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）

18. 解不等式组并把解表示在数轴上．
    
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知如图，四边形是平行四边形．
    尺规作图：作的角平分线交的延长线于，交于不写作法和证明，但要保留作图痕迹．
    请在的情况下，求证：．

20. 北京冬残奥会是历史上第届冬残奥会，于年月日至月日举行．比赛共设个大项，即残奥高山滑雪、残奥冬季两项、残奥越野滑雪、残奥单板滑雪、残奥冰球、轮椅冰壶．小明为了解同学们是否知晓这大项目，随机对学校的部分同学进行了一次问卷调查．问卷调查的结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个类别，根据调查结果，绘制出如图和图所示的条形统计图和扇形统计图．
    请根据图表中的信息回答下列问题：
    求本次调查的样本容量．
    求图中的值．
    求图“基本了解”类别所对应的圆心角大小．
    若某同学对项目了解类别为“非常了解”或者“比较了解”的话，则可称为“奥知达人”，现从该校随机抽查名学生，求该学生是“奥知达人”的概率．

21. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点点，，在同一水平线上参考数据：，，，
    求屋顶到横梁的距离；
    求房屋的高结果精确到．

22. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，在轴上，点在轴上，已知．
    点是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
    若该反比例函数图象与交于点，求点的横坐标．

23. 如图，在中，，，点是边上一动点，作于点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接，，．
    求证：四边形是矩形；
    如图所示，当点运动的延长线上时，与交于点，其他条件不变，已知，求的值；
    点在边上运动的过程中，线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，若的长为，求的长．

24. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点的坐标为，直线的解析式为．
    求抛物线的解析式．
    如图，过点作交抛物线于点异于点，是直线下方抛物线上一点，过点作轴，交于点，过点作于点，连接求面积的最大值及此时点的坐标．
    如图，点关于轴的对称点为点，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，原抛物线的对称轴上有一动点，平面直角坐标系内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B、、均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
 

2.【答案】
 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：因为射线由端点向另一端无线延伸，所以选项说法不正确，故A选项不符合题意；
B.因为连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．所以选项说法不正确，故B选项不符合题意；
C.因为两点之间，线段最短，所以选项说法不正确，故C选项不符合题意；
D.直线，相交于点，选项说法正确，故D选项符合题意．
故选：．
A.根据射线的定义进行判定即可得出答案；
B.根据两点间的距离定义进行判定即可得出答案；
C.根据线段的性质进行判定即可得出答案；
D.根据直线的定义进行判定即可得出答案．
本题主要考查了两点间的距离，射线的定义，线段的性质，熟练掌握两点间的距离，射线的定义，线段的性质进行判定是解决本题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：．无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则、绝对值的性质、完全平方公式分别判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算、绝对值的性质、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作，则，

，，
．
故选：．
先过点作，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论．
此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：是方程的解，
，
，
，
故选：．
将代入方程，得到，则可求．
本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程解与一元一次方程的关系是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，都是等边三角形，
，，，，
，
，
≌，
，




，
的度数是，
故选：．
利用手拉手模型旋转性全等，证明≌，可得，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转性全等是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：在轴上，点在轴上，
，，
解得，，
点在第二象限，
故选：．
根据轴上的点的纵坐标为；轴上的点的横坐标为，分别求出、的值，再判断点所在象限即可．
本题考查点的坐标的相关知识，熟知轴和轴上的点的坐标特点是解答本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：过点作于，于，连接，如图，则，
，，
，
，
，
在中，，
四边形为矩形，
，，
在中，，
，
．
故选：．
过点作于，于，连接，如图，根据垂径定理得到，，所以，再利用勾股定理计算出，则，，接着利用勾股定理计算出，然后计算出，从而得到点坐标．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了坐标与图形性质．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
根据题意结合图形，分情况讨论：时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
【解答】
解：当时，
正方形的边长为，
；
当时，

，


所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有选项图象符合．
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】解：米，
米．
小刚通过的速度为米秒，通过的速度是通过的倍，
小刚通过的速度为米秒．
又小刚共用时秒通过，
．
故选：．
由通过的速度是通过的倍可得出小刚通过的速度为米秒，利用时间路程速度，结合小刚共用时秒通过，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分成方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，交于，连接，取的中点，连接，过点作于，交于点，作与点，

直线分别与轴、轴相交于点、，
点，点，
，，
，
四边形是正方形，
，，，，
，，
又，
≌，
，，
点是的中点，即点是的中点，
，
，
，
点在以直径的圆上运动，
当点在的延长线上时，点到的距离最大，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
点到的最大距离为，
面积的最大值，
故选：．
先证明，再证点在以直径的圆上运动，则当点在的延长线上时，点到的距离最大，由相似三角形的性质可求，的长，由三角形的面积公式可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，求出的长是解题的关键．
 

13.【答案】 
 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，．
故答案为：；．
利用根与系数的关系可得出：，．
本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：．
由十字相乘法进行分解因式即可．
本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：这组数据的中位数和平均数相等，

解得：．
故答案为：．
根据这组数据的中位数和平均数相等，得出，求出的值即可．
此题考查了中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，关键是根据中位数和平均数相等列出方程．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查扇形面积的计算，含度角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意可知阴影部分的面积是扇形与扇形的面积之和与的面积之差，从而可以解答本题．
【解答】
解：在中，，，，
，
，，
以点为圆心，为半径的弧交于点，以点为圆心，为半径的弧交于点，
阴影部分的面积为：，
故答案为．  

17.【答案】
 

【解析】解：由已知，点每次旋转转动，则转动一周需转动次，每次转动点到原点的距离变为转动前的倍，
，
点的在轴的负半上，
，
故答案为：
点坐标变化规律要分别从旋转次数与点所在象限或坐标轴、点到原点的距离与旋转次数的对应关系．
本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号．
 

18.【答案】解：，
由得，
由得，
不等式组的解集是，
把不等式组的解集在数轴上表示为：
．
 

【解析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
本题主要考查对解一元一次不等式组，不等式的性质，在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
 

19.【答案】解：尺规作图如下：


证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
．
 

【解析】利用尺规作出的平分线即可．
根据平行四边形的性质和角平分线定义即可解决问题．
本题考查作图基本作图，平行四边形的性质、角平分线的作法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用等腰三角形的性质解决问题．
 

20.【答案】解：本次调查的样本容量：；

；

图“基本了解”类别所对应的圆心角是：；

该学生是“奥知达人”的概率是：．
 

【解析】根据非常了解的人数和所占的百分比，即可得出本次调查的样本容量；
用总人数乘以比较了解所占的百分比，即可得出；
用乘以“基本了解”所占的百分比即可；
根据概率公式直接求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

21.【答案】解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
，，，
在中，，，
，，
米；
答：屋顶到横梁的距离为米；
过作于，
设，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
解得：，
米，
答：房屋的高为米．
 

【解析】根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论；
过作于，设，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
 

22.【答案】解：点在该反比例函数的图象上，理由如下：
过点作轴垂线，连接，
是正六边形的对称中心，，
，是的中点，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
，
由正六边形的性质，，
点在反比例函数图象上；
，，
设的解析式为，
，
，
，
由方程解得负数舍去，
点横坐标为．
 

【解析】过点作轴垂线，连接，可得，是的中点，所以；
易求，，待定系数法求出的解析式为，联立反比例函数与一次函数即可求点；
本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；

解：如图中，过点作于点，过点作于点，

设，则，，
，，，
，
，，，，
，
≌，
，
设，
，
，
，
，
，
，
；

解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，

，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点共线时，值最小，
此时，如图，连接

将绕点顺时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，是等边三角形，
，，
，，
垂直平分，
，，
，
，，，
，此时与重合，设，则，
，
，
．
 

【解析】证明≌，推出，，再证明，，，可得结论；
如图中，过点作于点，过点作于点，想办法用表示出，，可得结论；
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，当点，点，点，点共线时，值最小，此时，如图，连接，证明垂直平分，证明，此时与重合，设，则，构建方程求出可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：点在轴上，且点在上，
，
，，都在抛物线上，
，是方程的两个根，
，，
，，
；
，直线的解析式为，
直线的解析式为，
过点作交点，
，
，
在中，，，
，
设，，则，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
；
点关于轴的对称点为点，
，
直线的解析式为，
抛物线沿射线的方向平移个单位长度，
抛物线沿着轴负方向平移个单位长度，沿着轴负方向平移个单位长度，
，
，
联立，解得，
，
联立，解得或，
异于点，
，
的对称轴为直线，
设，，
当与为矩形对角线时，
的中点与的中点重合，
，，
，，
，
，
或，
或；
当与为矩形对角线时，
的中点与的中点重合，
，，
，，
，
，
，
；
当与为矩形对角线时，
的中点与的中点重合
，，
，，
，
，
，
；
综上所述：以，，，为顶点的四边形是矩形时，点坐标为或或或．
 

【解析】由题可知点既在轴上，又在上，则，再将、代入即可求解析式；
先求出直线的解析式为，过点作，在中，，，求出，设，，则，，代入点的坐标可得，则，，当时，有最大值，则可求；
求出，直线的解析式为，由平移可知抛物线沿着轴负方向平移个单位长度，沿着轴负方向平移个单位长度，可得平移后抛物线解析式为，联立可求两抛物线交点，联立，可求，设，，当与为矩形对角线时，，，再由，则，可求或；当与为矩形对角线时，，，再由，则，求出；当与为矩形对角线时，，，再由，，求出
本题考查二次函数的综合应用，解决本题有两个关键点，能将抛物线沿直线平移转化为抛物线左右平移与上下平移时解题；熟练掌握矩形对角线平分且相等的性质，将此性质与中点坐标公式与两点间距离公式相结合解题．