2022年山东省淄博市高青县中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省淄博市高青县中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 一种商品，先降价后又提价，现在商品的价格

A. 比原价格高 B. 比原价格低 C. 与原价格相等 D. 无法比较

2. 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则

A.
B.
C.
D.

3. 如图，在中，，，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是

A.
B.
C.
D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 八班七个兴趣小组人数分别为、、、、、、，已知这组数据的平均数是，则这组数据的中位数是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，数轴上的三点，，分别表示有理数，，，则化简的结果是

A.  B.  C.  D.

7. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点顺时针旋转得到，则点的坐标是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在圆中半径弦，且弦，则图中阴影部分面积为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为．

A.  B.  C.  D.

10. 如图，点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且，点在第一象限，随着点的运动，点的位置也不断变化，但点始终在双曲线上运动，则的值为

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在中，，，，过作，过作，再过作，然后过作，如此下去，则的长为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在中，，，为边上的一个动点不与、重合，连接，则的最小值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

13. 一们同学在解关于的分式方程的过程中产生了增根，则可以推断的值为______．
14. 把多项式分解因式的结果是______．
15. 将抛物线沿轴向下翻折，则得到的新抛物线的解析式为______．
16. 如图，已知在矩形中，，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是______．
17. 已知点，，点在抛物线上运动，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）

18. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点．
    求证：∽；
    当，时，求的长．

20. 教育部下发的关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知要求，初中生每天睡眠时间应达到小时．为了解学生每天的睡眠时间，学校随机调查了部分学生，将学生睡眠时间分为，，，四组每名学生必须选择且只能选择一种情况：
    组：睡眠时间小时；
    组：小时睡眠时间小时；
    组：小时睡眠时间小时；
    组：睡眠时间小时；
    如图和图是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
    被调查的学生有______人；
    补全条形统计图；
    请估计全校名学生中睡眠时间不足小时的人数．

21. 如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，与双曲线相交于点，轴于点，且，．
    求一次函数系数的值；
    求双曲线的解析式；
    若点为双曲线上点右侧一点，且轴于，当以点，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标．

22. 为庆祝建党周年，某银行发行了、两种纪念币，已知枚型纪念币和枚型纪念币面值共需元，枚型纪念币和枚型纪念币共需元．
    求每枚、两种型号的纪念币面值各多少元？
    若小明准备用至少元的金额购买两种纪念币共枚，求型纪念币最多能采购多少枚？
    在的条件下，若小明至少要购买型纪念币枚，则共有几种购买方案，请罗列出来哪种方案最划算？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，菱形与菱形的顶点重合，，已知菱形绕点旋转的角度为．
    
    如图，当点在对角线上时，______；
    如图，当菱形按顺时针方向旋转的角度为，线段与之间的数量关系为______，并证明你的结论；
    如图，在菱形旋转的过程中，当点，，在同一条直线上时，连接并延长，交于点，若，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     

如图，抛物线过点和点，与轴交于点在轴上有一动点其中为实数，，过动点作直线轴，交抛物线于点．

求抛物线解析式及点的坐标；
当时，在直线上是否存在第一象限内的点，使得是以为底角的等腰三角形，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由；
连接并延长交轴于点，连接，若的面积等于面积的倍，求的值．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：设商品原价为元，则商品现价为：
元，
，
，
商品现价比原价格低，
故选：．
设商品原价为元，然后根据题意列式计算求得商品现价，从而进行比较．
本题考查有理数混合运算的应用，理解“原价提价或降价的百分率现价”是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：过直角的顶点作，如图所示：

由题意可得：，，
，，
，，
，，
．
故选：．
过直角的顶点作，利用平行线的性质即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出适当的辅助线．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，，
．
故选：．
根据正切的定义求解即可．
本题考查了计算器三角函数，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，故本选项正确，符合题意；
B.，故本选项错误，不合题意；
C.，故本选项错误，不合题意；
D.，故本选项错误，不符合题意．
故选：．
依据幂的乘方法则、积的乘方法则以及同底数幂的除法法则进行计算，即可得出结论．
本题主要考查了幂的乘方法则、积的乘方法则以及同底数幂的除法法则，解题的关键是掌握这些法则和性质．
 

5.【答案】
 

【解析】解：某班七个兴趣小组人数分别为，，，，，，已知这组数据的平均数是，
，
这一组数从小到大排列为：，，，，，，，
这组数据的中位数是：．
故选：．
本题可先算出的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
本题考查的是中位数，熟知中位数的定义是解答此题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由数轴得，，，
因而，，．
原式．
故选：．
由数轴可知：，，所以可知：，，根据负数的绝对值是它的相反数可求值．
此题主要是考查学生对数轴和绝对值的理解，学生要对这些概念性的东西牢固掌握．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图，点即为所求．．

故选：．
对应点连线的垂直平分线的交点即为所求．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
 

8.【答案】
 

【解析】解：连接，，

，，
的面积的面积等底等高的三角形的面积相等，
，
，
是等边三角形，
，
阴影部分的面积，
故选：．
连接，，求出和的面积相等，得出阴影部分的面积扇形的面积，再求出扇形的面积即可．
本题考查了三角形的面积和扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：如图．

由题意知：，．
，．







故选：．
欲求，需求以及由题意得，，故HC，，进而解决此题．
本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且，
，，
则，
，
，
又，
∽，
，则，
点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，
，
，
则．
故选：．
根据题意得出∽，进而得出，即可得出．
此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出∽是解题关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
，
在中，，
，，
，
在中，，
同理可得：
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，

的长为：，
故选：．
先利用勾股定理求出，然后再利用的正弦值求出，同理都是放在直角三角形中利用三角函数来计算，从而找出规律．
本题主要考查了相似三角形的判断与性质，放在直角三角形中利用三角函数来计算，从而找出规律是解答本题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：以为顶点，为一边，在下方作，过作于，交于，如图：

由作图可知：是等腰直角三角形，
，
，
取最小值即是取最小值，此时、、共线，且，的最小值即是的长，
，，
，
，，
的最小值是．
故选：．
以为顶点，为一边，在下方作，过作于，交于，由是等腰直角三角形的，即，故取最小值即是取最小值，此时、、共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案．
本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值．
 

13.【答案】
 

【解析】解：去分母，可得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：，
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值代入整式方程即可求出的值．
此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

14.【答案】
 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
先提公因式，再用十字相乘法分解因式即可．
本题考查了提公因式法和十字相乘法，掌握是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：抛物线的顶点坐标是，则沿轴翻折后顶点坐标是，所以新抛物线解析式是：．
故答案是：．
根据翻折的性质得到新图象顶点坐标，然后写出函数解析式．
主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，解题的关键是掌握关于轴对称点的坐标特征．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，当与重合时，点关于的对称点为，
当与重合时，点关于的对称点为，
点从点运动到点，则线段扫过的区域为：扇形和，
在中，
，，，
，
，
，

为等边三角形，
，

作于，
为等边三角形，
，
，
，
线段扫过的区域的面积为：．
故答案为：．
由临界状态确定出的运动路径，明确点从点运动到点，则线段扫过的区域为：扇形和，再分别计算两部分面积即可．
本题考查了以矩形为背景的轴对称，扇形的面积计算，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是画出线段扫过的图形．
 

17.【答案】
 

【解析】解：设点，
则点到轴距离为，，
点到点的距离与点到直线的距离相等，
点横坐标为，
点为直线与抛物线交点，
如图，设直线与直线交点，

为最小值，，
故答案为：．
设点，用含代数式表示，可得点到点的距离与点到直线的距离相等，进而求解．
本题考查二次函数与图形的结合问题，解题关键是找出抛物线上的点到的距离的特点．
 

18.【答案】解：原式


，
当时，
原式


．
 

【解析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

19.【答案】证明，，
，
，，
，
∽．
解：，，
，
∽，
，
，
．
答：的长为．
 

【解析】由，，推出，由此即可证明；
先证明由∽，得，即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】
 

【解析】解：本次共调查了人，
故答案为：；
组学生有：人，
补全的条形统计图如图所示：

人，
答：估计该校学生平均每天睡眠时间不足的有人．
根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查了多少名学生；
根据中的结果可以计算出组的人数，然后即可补全条形统计图；
根据统计图图中的数据，可以计算出该校学生平均每天睡眠时间不足的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：由图象可知，当时，，
，
，
，
，
，
将代入一次函数解析式得，
；
，
将代入，
得，
，
将代入得，
双曲线的解析式为；
设，

在上，
，
当∽时，可得，
即，
，即，
或舍去，
；
当∽时，可得，
即，
整理得，
解得或舍，
，
综上所述，或．
 

【解析】根据，可得，再将将代入一次函数解析式得即可；
将代入，得，可知点的坐标，再代入反比例函数关系式即可；
设，则，分∽或∽，根据对应边成比例列出方程即可解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，利用相似三角形对应边成比例列出等式是解题的根据，同时渗透了分类讨论思想．
 

22.【答案】解：设每枚种型号的纪念币面值为元，每枚种型号的纪念币面值为元，
由题意得：，
解得：，
答：每枚种型号的纪念币面值为元，每枚种型号的纪念币面值为元；
设型纪念币能采购枚，则型纪念币能采购枚，
由题意得：，
解得：，
答：型纪念币最多能采购枚；
由题意得：，
，
为正整数，
为或或，
共有种购买方案：
型纪念币能采购枚，型纪念币能采购枚，费用为：元；
型纪念币能采购枚，型纪念币能采购枚，费用为：元；
型纪念币能采购枚，型纪念币能采购枚，费用为：元；
，
最划算的购买方案为：型纪念币能采购枚，型纪念币能采购枚．
 

【解析】设每枚种型号的纪念币面值为元，每枚种型号的纪念币面值为元，由题意：枚型纪念币和枚型纪念币面值共需元，枚型纪念币和枚型纪念币共需元．列出方程组，解方程组即可；
设型纪念币能采购枚，则型纪念币能采购枚，由题意：小明准备用至少元的金额购买两种纪念币共枚，列出不等式，解之即可；
由题意得，解得，进而求解即可．
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键时：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式；找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
 

23.【答案】 
 

【解析】解：如图，过点作于点．

四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案是：；

理由如下：
如图中，连接．

四边形、四边形都是菱形，，
，
．
∽，
，
．
，
∽，
，
．
故答案是：；

如图中，

，，，
，
，
∽，
，
．
，，
，
，
，
．
，
．
如图中，作于证明，推出，即可解决问题．
结论：如图中，连接证明∽，可得．
如图中，证明∽，推出，由此即可解决问题．
本题考查四边形综合题，考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：将点、的坐标代入抛物线表达式，得，
解得，
故抛物线的表达式为，
当时，，故点；

当时，点，设点的坐标为，
由点、、的坐标得，，同理可得：，．
当时，即，
解得；
当时，同理可得舍去负值；
故点的坐标为或；

存在，点的坐标为或理由如下：
，则设点，
设直线的表达式为，则，
解得，
故直线的表达式为，
当时，，故点，则；
，
，
解得或舍去负值，
故．
 

【解析】用待定系数法即可求解；
若是以为底角的等腰三角形，则可以分或两种情况，分别求解即可；
，，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．