2023年山东省淄博市周村实验中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省淄博市周村实验中学中考数学一模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列实数中，无理数是（ ）
A．B．C．（π+5）0D．
2．（4分）如图图案，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）上网搜索“淄博烧烤”，网页显示找到相关结果约31600000个．数据31600000用科学记数法表示为（ ）
A．3.167B．3.16×106C．3.16×107D．31.6×106
4．（4分）已知a+b＜0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．（a，b）B．（a，﹣b）C．（﹣a，b）D．（﹣a，﹣b）
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，点F是斜边BC的中点，以AF为边作正方形ADEF．若S正方形ADEF＝25，则tanC＝（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）如图，⊙M和⊙N都经过A，B两点，且点N在⊙M上．点C是优弧上的一点（点C不与A，B重合），AC的延长线交⊙N于点P，连接AB，BC，BP．若∠APB＝30°，AB＝3，则MN长为（ ）
A．B．3C．D．
7．（4分）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ）
A．5cmB．10cmC．20cmD．5πcm
8．（4分）如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE＝2BE，则∠E的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点G在CA的延长线上，GB＝GE，若BE+CG＝10，＝，则AF的长为（ ）
A．1B．C．D．2
10．（4分）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2﹣3x＝ ．
12．（4分）若3a﹣b＝1，则6a﹣2b+1的值为 ．
13．（4分）如图，AB∥CD，AE交CD于点F，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E＝ ．
14．（4分）已知一组数据2，a，4，5的众数是5，则这组数据的平均数为 ．
15．（4分）如图，某下水管道的横截面为圆形，水面宽AB的长为8dm，水面到管道上部最高处点D的距离为2dm，则管道半径为 dm．
16．（4分）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程8﹣x＝x、7+x＝3（x+）都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 ．
三、解答题
17．（10分）先化简，再求值：（a+1）2﹣（a+3）（a﹣3），其中．
18．（10分）小明和小亮各自去往电影院看电影，发现有三场电影正在热播（均有票），它们分别是A：《流浪地球2》，B：《满江红》，C：《深海》，请用树状图或列表的方法求两人观看同一影片的概率．
19．（16分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共抽取 名学生，a的值为 ；
（2）在扇形统计图中，n＝ ，E组所占比例为 %；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．
20．（12分）已知：AC是▱ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．
21．（12分）如图，已知点P为⊙O外一点，点A为⊙O上一点，直线PA与⊙O的另一个交点为点B，AC是⊙O的直径，∠PAC的平分线AD交⊙O于点D，连接CD并延长交直线PA于点M，连接OD．
（1）求证：OD∥BM；
（2）若，⊙O的直径为4，求AB的长度．
22．（12分）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】（2）如图2，点A（﹣3，a）在反比例函数图象上，连接OA，将OA绕点O逆时针旋转90°到OB，若反比例函数经过点B．求反比例函数的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接AQ，抛物线上是否存在点M，便得∠MAQ＝45°，若存在，求出点M的横坐标．
23．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，动点P从点A出发（动点P不与△ABC的顶点重合），沿折线AC﹣CB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AB于点D，以点P为直角顶点作Rt△PDE，使DE与点P所在的直角边平行，设点P的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出AB＝ ；当点P落在AC边上时，AD的长为 （用含t的代数式表示）；
（2）当点E落在BC边上时，求t的值；
（3）当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的两个三角形全等时，求△PDE与△ABC重叠部分图形的周长．
2023年山东省淄博市周村实验中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分．
1．（4分）下列实数中，无理数是（ ）
A．B．C．（π+5）0D．
【分析】根据无理数的定义判断即可．
【解答】解：A．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．（π+5）0＝1，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（4分）如图图案，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【解答】解：选项A、B、C的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
3．（4分）上网搜索“淄博烧烤”，网页显示找到相关结果约31600000个．数据31600000用科学记数法表示为（ ）
A．3.167B．3.16×106C．3.16×107D．31.6×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：31600000＝3.16×107．
故选：C．
4．（4分）已知a+b＜0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．（a，b）B．（a，﹣b）C．（﹣a，b）D．（﹣a，﹣b）
【分析】因为ab＞0，所以a、b同号，又a+b＜0，所以a＜0，b＜0，观察图形判断出小手盖住的点在第二象限，然后解答即可．
【解答】解：∵a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0．
A、（a，b）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
B、（a，﹣b）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；
C、（﹣a，b）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
D、（﹣a，﹣b）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，点F是斜边BC的中点，以AF为边作正方形ADEF．若S正方形ADEF＝25，则tanC＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据正方形的面积可得AF＝5，从而利用直角三角形，斜边上的中线性质可得BC＝10，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵S正方形ADEF＝25，
∴AF＝5，
在Rt△ABC中，点F是斜边BC的中点，
∴BC＝2AF＝10，
∵AB＝6，
∴AC＝＝＝8，
∴tanC＝＝＝，
故选：C．
6．（4分）如图，⊙M和⊙N都经过A，B两点，且点N在⊙M上．点C是优弧上的一点（点C不与A，B重合），AC的延长线交⊙N于点P，连接AB，BC，BP．若∠APB＝30°，AB＝3，则MN长为（ ）
A．B．3C．D．
【分析】连接MN，AN，BN，过点M作MD⊥AN于D，根据圆心角和圆周角之间的关系得∠ANB＝2∠P＝60°，则△ABN为等边三角形，点M为等边△ABN的外心，由此的∠MND＝30°，DN＝AN＝1.5，然后在Rt△MND中利用锐角三角函数即可求出MN的长．
【解答】解：连接MN，AN，BN，过点M作MD⊥AN于D，如图所示：

∵⊙M和⊙N都经过A，B两点，∠APB＝30°，AB＝3，
∴∠ANB＝2∠P＝60°，
又∵AN＝BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴AN＝AB＝3，
∴△ABN内接于⊙M，
∴点M为等边△ABN的外心，
∴MN平分∠ANB，MD垂直平分AN，
∴∠MND＝30°，DN＝AN＝1.5，
∴cs∠MND＝DN/MN，
∴MN＝＝＝．
故选：C．
7．（4分）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ）
A．5cmB．10cmC．20cmD．5πcm
【分析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．
【解答】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，
则由题意得R＝30，由Rl＝300π得l＝20π；
由2πr＝l得r＝10cm；
故选：B．
8．（4分）如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE＝2BE，则∠E的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OC，由切线的性质得∠OCE＝90°，则OC2+CE2＝OE2，由CE＝2BE，得BE＝CE，所以OC＝OB＝OE﹣CE，于是得（OE﹣CE）2+CE2＝OE2，即可求得OE＝CE，则csE＝＝＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OC，
∵CE切⊙O于点E，
∴CE⊥OC，
∴∠OCE＝90°，
∴OC2+CE2＝OE2，
∵CE＝2BE，
∴BE＝CE，
∴OC＝OB＝OE﹣BE＝OE﹣CE，
∴（OE﹣CE）2+CE2＝OE2，
整理得CE（CE﹣OE）＝0，
∵CE≠0，
∴CE﹣OE＝0，
∴OE＝CE，
∴csE＝＝＝，
∴∠E的余弦值为，
故选：B．
9．（4分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点G在CA的延长线上，GB＝GE，若BE+CG＝10，＝，则AF的长为（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】过点G作GH⊥BE，垂足为点H，设BE＝2x，时而可表示出相关线段长，再根据CH＝CG列出方程求得x＝1，最后根据△GAF∽△GDE可得答案．，
【解答】解：过点G作GH⊥BE，垂足为点H，
设BE＝2x，
∵BE+CG＝10，＝，
∴CG＝10﹣2x，AG＝3x，
∴AC＝CG﹣AG＝10﹣5x，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC＝10﹣5x，CD＝DE＝CE＝BC﹣BE＝10﹣7x，∠ABC＝∠DEC＝∠C＝60°，
∵GB＝GE，GH⊥BE，
∴BH＝HE＝x，
∴CH＝CE+HE＝10﹣6x，
∵∠GHC＝90°，∠C＝60°，
∴∠HGC＝30°，
∴CH＝CG，
∴10﹣6x＝（10﹣2x），
∴x＝1，
∴AG＝3x＝3，CG＝10﹣2x＝8，CD＝DE＝10﹣7x＝3，
∴GD＝CG﹣CD＝5，
∵∠ABC＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∴△GDF∽△GDE，
∴，
即，
∴AF＝．
故选：C．
10．（4分）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF＝GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【解答】解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1
在直角三角形DCF中，DF＝＝
∴FG＝
∴CG＝﹣1
∴＝
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2﹣3x＝ x（x﹣3） ．
【分析】提取公因式x即可．
【解答】解：原式＝x•x﹣x•3
＝x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）．
12．（4分）若3a﹣b＝1，则6a﹣2b+1的值为 3 ．
【分析】先利用等式的性质，再整体代入求值．
【解答】解：∵3a﹣b＝1，
∴6a﹣2b＝2．
∴6a﹣2b+1＝2+1＝3．
故答案为：3．
13．（4分）如图，AB∥CD，AE交CD于点F，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E＝ 35° ．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等得出∠EFD＝∠A＝60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠EFD＝∠E+∠C，即可求出∠E的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠A，
∵∠A＝60°，
∴∠EFD＝60°，
∵∠EFD是△CEF的一个外角，
∴∠EFD＝∠E+∠C，
∵∠C＝25°，
∴∠E＝∠EFD﹣∠C＝60°﹣25°＝35°，
14．（4分）已知一组数据2，a，4，5的众数是5，则这组数据的平均数为 4 ．
【分析】首先根据这组数据2，a，4，5的众数是5，可得a＝5，然后用这组数据的和除以4，求出这组数据的平均数为多少即可．
【解答】解：∵这组数据2，a，4，5的众数是5，
∴a＝5，
∴这组数据的平均数为：
（2+5+4+5）÷4
＝16÷4
＝4．
故答案为：4．
15．（4分）如图，某下水管道的横截面为圆形，水面宽AB的长为8dm，水面到管道上部最高处点D的距离为2dm，则管道半径为 5 dm．
【分析】根据垂径定理、构造直角三角形利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如图，连接OD，OB，OD与AB交于C，则AC＝BC＝AB＝4dm，CD＝2dm，
设⊙O的半径为rdm，则OC＝（r﹣2）dm，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，
OC2+BC2＝OB2，
即（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即半径为5dm，
故答案为：5．
16．（4分）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程8﹣x＝x、7+x＝3（x+）都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 2≤m＜3 ．
【分析】解方程求出两个方程的解，再解不等式组得出m＜x≤m+2，根据x＝3、x＝4均是不等式组的解可得关于m的不等式组，解之可得．
【解答】解：解方程8﹣x＝x，得：x＝4，
解方程7+x＝3（x+），得：x＝3，
由x﹣2≤m，得：x≤m+2，
由x＜2x﹣m，得：x＞m，
∵x＝3、x＝4均是不等式组的解，
∴m＜3且m+2≥4，
∴2≤m＜3，
故答案为：2≤m＜3．
三、解答题
17．（10分）先化简，再求值：（a+1）2﹣（a+3）（a﹣3），其中．
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再进一步合并同类项化简，最后代入求得数值即可．
【解答】解：（a+1）2﹣（a+3）（a﹣3）
＝a2+2a+1﹣（a2﹣9）
＝a2+2a+1﹣a2+9
＝2a+10，
当时，
原式＝﹣×2+10
＝﹣1+10
＝9．
18．（10分）小明和小亮各自去往电影院看电影，发现有三场电影正在热播（均有票），它们分别是A：《流浪地球2》，B：《满江红》，C：《深海》，请用树状图或列表的方法求两人观看同一影片的概率．
【分析】首先根据题意列表，然后求得所有等可能的结果与小明和小亮选择结果相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：列表得：
由列表可知共有9种等可能的结果，其中两人观看同一影片的结果有3种，
所以小明和小亮的选择观看同一影片的概率为．
19．（16分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共抽取 150 名学生，a的值为 12 ；
（2）在扇形统计图中，n＝ 144 ，E组所占比例为 4 %；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．
【分析】（1）A组的频数a比B组的频数b小15，而A组的频率比B组的频率小18%﹣8%＝10%，可求出调查人数，再根据频数、频率、总数之间的关系求出a的值即可；
（2）求出“D组”所占的百分比即可求出相应的圆心角度数及“E组”所占的百分比；
（3）求出b的值，“C组”频数以及“E组”频数即可；
（4）求出样本中成绩在80分以上的学生所占的百分比，即可估计整体中成绩在80分以上的学生人数．
【解答】解：（1）A组的频数a比B组的频数b小15，A组的频率比B组的频率小18%﹣8%＝10%，
因此调查人数为：15÷10%＝150（人），
a＝150×8%＝12（人），
故答案为：150，12；
（2）360°×＝360°×40%＝144°，即n＝144，
“E组”所占的百分比为1﹣8%﹣18%﹣30%﹣40%＝4%，
故答案为：144，4；
（3）b＝a+15＝27（人），
“C组”频数为：150×30%＝45（人），
“E组”频数为：150×4%＝6（人），
补全频数分布直方图如图所示：
（4）1500×＝660（人），
答：估计成绩在80分以上的学生人数大约为660人．
20．（12分）已知：AC是▱ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．
【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线得到E点；
（2）利用平行四边形的性质得到AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，再根据线段垂直平分线上的性质得到EA＝EC，然后利用等线段代换计算△DCE的周长．
【解答】解：（1）如图，CE为所作；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，
∵点E在线段AC的垂直平分线上，
∴EA＝EC，
∴△DCE的周长＝CE+DE+CD＝EA+DE+CD＝AD+CD＝5+3＝8．
21．（12分）如图，已知点P为⊙O外一点，点A为⊙O上一点，直线PA与⊙O的另一个交点为点B，AC是⊙O的直径，∠PAC的平分线AD交⊙O于点D，连接CD并延长交直线PA于点M，连接OD．
（1）求证：OD∥BM；
（2）若，⊙O的直径为4，求AB的长度．
【分析】（1）由角平分线的定义得出∠MAD＝∠CAD，由等角对等边得出∠OAD＝∠ODA，从而得出∠MAD＝∠ODA，即可得证；
（2）连接BC，由圆周角定理得出∠ADC＝∠ABC＝90°，由结合勾股定理得出，，求出AM＝AC＝4，，再结合勾股定理得出AC2﹣AB2＝CM2﹣（AM+AB）2，求解即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠PAC，
∴∠MAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠MAD＝∠ODA，
∴OD∥BM；
（2）解：如图，连接BC，
，
∵AC为⊙O的直径，⊙O的直径为4，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝4，
∵，
∴，
令AD＝x，则CD＝2x，
由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
∴x2+（2x）2＝42，
解得：，
∴，，
∵OD∥BM，
∴∠M＝∠ODC，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠M＝∠OCD，
∴AM＝AC＝4，
∵∠ADC＝90°，
∴，
∵BC2＝CM2﹣（AM+AB）2，BC2＝AC2﹣AB2，
∴AC2﹣AB2＝CM2﹣（AM+AB）2，即，
解得：．
22．（12分）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】（2）如图2，点A（﹣3，a）在反比例函数图象上，连接OA，将OA绕点O逆时针旋转90°到OB，若反比例函数经过点B．求反比例函数的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接AQ，抛物线上是否存在点M，便得∠MAQ＝45°，若存在，求出点M的横坐标．
【分析】（1）根据题意得出∠C＝∠D＝∠ABE＝90°，∠A＝∠EBD，证明△ACB≌△BDE（AAS），即可得证；
（2）如图2，分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D．求解A（﹣3，﹣1），AC＝1，OC＝3．利用△ACO≌△ODB，可得B（1，﹣3）；由反比例函数经过点B（1，﹣3），可得k＝﹣3，可得答案；
（3）如图3，当M点位于x轴上方，且∠MAQ＝45°，过点Q作QD⊥AQ，交MA于点D，过点D作DE⊥y轴于点E．证明△AQO≌△QDE，可得AO＝QE，OQ＝DE，可得D（1，2），求解，令，可得M的坐标为；如图，当M点位于x轴下方，且∠MAQ＝45°，同理可得D（﹣1，﹣4），AM为y＝﹣2x﹣6．由﹣2x﹣6＝x2+2x﹣3，可得M的坐标是（﹣1，﹣4）．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，
∴∠C＝∠D＝∠ABE＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD，
又∵AB＝BE，
∴△ACB≌△BDE（AAS）；
（2）解：如图2，分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D．

将A（﹣3，a）代入得：a＝﹣1，
∴A（﹣3，﹣1），AC＝1，OC＝3．
同（1）可得△ACO≌△ODB，
∴OD＝AC＝1，BD＝OC＝3，
∴B（1，﹣3），
∵反比例函数经过点B（1，﹣3），
∴k＝﹣3，
∴；
（3）解：抛物线上存在点M，使得∠MAQ＝45°，理由如下：
如图3，当M点位于x轴上方，且∠MAQ＝45°，过点Q作QD⊥AQ，交MA于点D，过点D作DE⊥y轴于点E．

∵∠MAQ＝45°，QD⊥AQ，
∴∠MAQ＝∠ADQ＝45°，
∴AQ＝QD，
∵DE⊥y轴，QD⊥AQ，
∴∠AQO+∠EQD＝∠EQD+∠QDE＝90°，∠AOQ＝∠QED＝90°，
∴∠AQO＝∠QDE，
∵AQ＝QD，
∴△AQO≌△QDE（AAS），
∴AO＝QE，OQ＝DE，
令y＝x2+2x﹣3＝0，得x1＝﹣3，x2＝1，
∴AO＝QE＝3，
又∵Q（0，﹣1），
∴OQ＝DE＝1，
∴D（1，2），
设AM为y＝kx+b，则，
解得：，
∴AM：y＝x+，
令＝x2+2x﹣3，得x1＝，x2＝﹣3（舍去），
当x＝时，y＝＝，
∴；
如图4，当M点位于x轴下方，且∠MAQ＝45°，

同理可得D（﹣1，﹣4），AM为y＝﹣2x﹣6．
由﹣2x﹣6＝x2+2x﹣3，得x1＝﹣1，x2＝﹣3（舍去），
∴当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4，
∴M（﹣1，﹣4）．
综上：M的坐标为或（﹣1，﹣4）．
23．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，动点P从点A出发（动点P不与△ABC的顶点重合），沿折线AC﹣CB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AB于点D，以点P为直角顶点作Rt△PDE，使DE与点P所在的直角边平行，设点P的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出AB＝ 25 ；当点P落在AC边上时，AD的长为 4t （用含t的代数式表示）；
（2）当点E落在BC边上时，求t的值；
（3）当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的两个三角形全等时，求△PDE与△ABC重叠部分图形的周长．
【分析】（1）直接运用勾股定理及三角函数求解即可；
（2）根据题意，画出对应的图形，根据相似三角形的判定及性质求出AD的长，再根据平行四边形的判定及性质和相似三角形的判定及性质列出方程即可求解；
（3）根据点P在AC或BC上分类讨论，画出对应的图形，根据全等三角形的性质列出方程求出t的值，再分别求出PD、DE、PE的长即可得出重叠部分的图形的周长．
【解答】解：（1）∵△ABC是直角三角形，10AC＝20，BC＝15，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴，
∵∠ACB＝90°，10AC＝20，PD⊥AB
∴即，
解得AD＝4t，
故答案为：25，4t；
（2）由题意可知点E落在BC上，如图1所示，
∵动点P的运动速度为5个单位/s，
∴AP＝5t，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△APD∽△ABC，
∴＝，
∴＝＝，
∴，
∴DB＝AB﹣AD＝25﹣4t，
∵∠ADP＝∠EPD＝90°，
∴AD∥PE，
又∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，四边形APED为平行四边形，
∴＝，DE＝AP＝5t，
∴＝，
解得：，
此时；
（3）①当点P在AC上时，由（2）中可知：AP＝5t，四边形APED是平行四边形，PE＝AD＝4t，DE＝AP＝5t，设直线PE与BC的交点为E′，
∴∠A＝∠CPE，PC＝AC﹣AP＝20﹣5t，
∵∠ADP＝∠C＝90°，结合已知条件可知：△APD≌△PE′C，
∴PE′＝AP＝5t＞PE，
∴点E在△ABC内部，即此时△PDE与△ABC重叠部分图形的周长即为△PDE的周长，如图2所示，
∵△APD≌△PE′C，
∴AD＝PC，
即4t＝20﹣5t，
解得，，
∴PE＝4×＝，DE＝AP＝5×＝，
∴DP＝＝，
∴此时重叠部分的周长为；
②当点P在BC上时，
∵动点P的运动速度为5个单位/s，
∴AC+CP＝5t，
∴BP＝AC+CB﹣5t＝35﹣5t，
∵PD⊥AB，
∴∠BDP＝∠C＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△BPD∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝21﹣3t，
∴AD＝AB﹣BD＝3t+4，
∵∠BDP＝∠EPD＝90°，
∴BD∥PE，
又∵DE∥BC10，
∴△ADE∽△ABC，四边形DEPB为平行四边形，
∴，DE＝BP＝35﹣5t，PE＝BD＝21﹣3t，DE＝BP＝35﹣5t，
设直线PE与AC的交点为E′，
∴∠B＝∠CPE，PC＝BC﹣BP＝5t﹣20，
∵∠BDP＝∠C＝90°，结合已知条件可知：△BPD≌△PE′C，
∴PE′＝BP＞BD＝PE，
∴点E在△ABC内部，即此时△PDE与△ABC重叠部分图形的周长即为△PDE的周长，
如图3所示，
∵△BPD≌△PE′C，
∴BD＝PC，
即21﹣3t＝5t﹣20，
解得，，
∴PE＝＝，DE＝35﹣5×＝，
∴DP＝＝，
∴此时重叠部分的周长为PD+DE+PE＝＝；
综上：当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的三角形全等时，△PDE与△ABC重叠部分图形的周长或．
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）