2022年山东省枣庄四十一中中考数学一模试卷（含解析）
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2022年山东省枣庄四十一中中考数学一模试卷
一．选择题（本题共12小题，共36分）
- 的相反数的倒数是
A. B. C. D.
- 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
- 五张不透明的卡片，正面分别写有实数，，相邻两个之间的个数依次加，这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是
A. B. C. D.
- 下列等式成立的是
A. B.
C. D.
- 若，则代数式的值为
A. B. C. D.
- 下列命题：
若是完全平方式，则；
若，，三点在同一直线上，则；
等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；
一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形是六边形．
其中真命题个数是
A. B. C. D.
- 将进行因式分解，正确的是
A. B.
C. D.
- 计算的结果是
A. B. C. D.
- 下列计算正确的是
A. B. C. D.
- 已知的直径，是的弦，，且，垂足为，则的长为
A. B.
C. 或 D. 或
- 下列命题正确的是
A. 同位角相等
B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
- 如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点给出下列四种说法：
；
；
四边形有外接圆；
是外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是
B. C. D.
二．填空题（本题共6小题，共24分）
- 若，，，则，，的大小关系为______用“”号连接
- 计算：______．
- 如图，将正整数按此规律排列成数表，则是表中第______ 行第______ 列
|
- 如图，用等分圆的方法，在半径为的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若，则四叶幸运草的周长是______．
|
- 点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是______ ．
- 如图，在边长为的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点，以为圆心、长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是______ ．
|
三．解答题（本题共7小题，共60分）
- 先化简，再求值：，其中．
- 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
- 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数--“好数”．
定义：对于三位自然数，各位数字都不为，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”．
例如：是“好数”，因为，，都不为，且，能被整除；
不是“好数”，因为，不能被整除．
判断，是否是“好数”？并说明理由；
求出百位数字比十位数字大的所有“好数”的个数，并说明理由．
- 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为米，，若点为运行轨道的最高点的连线垂直于，求点到弦所在直线的距离．
参考数据：，，
- 一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度．他们测得为，由于、两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为，点与点之间的距离约为已知、、共线，求钢索的长度．结果保留根号
- 如图，是的直径，点是上一点与点，不重合，过点作直线，使得．
求证：直线是的切线．
过点作于点，交于点，若的半径为，，求图中阴影部分的面积．
- 阅读以下材料：
苏格兰数学家纳皮尔年是对数的创始人他发明对数是在指数书写方式之前，直到世纪瑞士数学家欧拉年才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若且，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，，则，，
，由对数的定义得．
又，
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
求证：；
拓展运用：计算．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
的倒数是，
故选：．
先求出的相反数，再求这个数的倒数即可．
本题考查了倒数和相反数的定义，注意倒数和相反数的定义的区别．
2.【答案】
【解析】解：，且
，选项A错误；
，选项B正确；
，选项C错误；
，选项D错误；
故选：．
根据数轴上点的位置判断出与的正负，以及绝对值的大小，利用有理数的加减和相反数的意义判断即可．
此题考查了数轴，根据数轴确定出与的正负及绝对值大小是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：个实数，，相邻两个之间的个数依次加中，无理数有，相邻两个之间的个数依次加个，
无理数，
故选：．
用无理数的个数除以所有数据的个数即可求得答案．
本题考查的是概率的求法．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率
4.【答案】
【解析】解：．，此选项计算错误；
B.，此选项错误；
C.，此选项正确；
D.无意义，此选项错误；
故选：．
根据算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定逐一判断即可得．
本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，即，
，
．
故选：．
利用条件得到，两边平方得，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：完全平方公式的灵活运用是解决问题的关键．利用整体代入的方法可简化计算．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
利用完全平方公式对进行判断；利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出，则可对进行判断；根据等腰三角形的性质对进行判断；根据多边形的内角和和外角和对进行判断．
【解答】
解：若是完全平方式，则，所以错误；
若，，三点在同一直线上，而直线的解析式为，则时，，所以正确；
等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，所以错误；
一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形是六边形，所以正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，
故选：．
多项式有公因式，首先考虑用提公因式法提公因式，提公因式后，得到多项式，再利用平方差公式进行分解．
此题主要考查了提公因式法和平方差公式综合应用．
8.【答案】
【解析】解：原式．
故选：．
同分母分式减法，根据法则分母不变分子相减，再约分即可．
本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式加减运算法则是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：、原式，所以选项不符合题意；
B、与不能合并，所以选项不符合题意；
C、为最简二次根式，所以选项不符合题意；
D、原式，所以选项符合题意．
故选：．
利用二次根式的性质对、进行判断；根据二次根式的加减法对进行判断；根据最简二次根式的定义对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：连接，，
的直径，，，
，，
当点位置如图所示时，
，，，
，
，
；
当点位置如图所示时，同理可得，
，
，
在中，．
故选：．
先根据题意画出图形，由于点的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，不符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，符合题意；
故选：．
根据平行线的性质、圆周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、圆周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性质等知识，难度不大．
12.【答案】
【解析】解：，是的两条切线，，为切点，
，所以正确；
，，
垂直平分，所以正确；
，是的两条切线，，为切点，
，，
，
点、在以为直径的圆上，
四边形有外接圆，所以正确；
只有当时，，此时，
不一定为外接圆的圆心，所以错误．
故选：．
利用切线长定理对进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对进行判断；由于只有当时，，此时，则可对进行判断．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．
13.【答案】
【解析】解：，，，
．
故答案为：．
利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
根据算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值和负整数指数幂可以解答本题．
本题考查算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值和负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
15.【答案】
【解析】解：由图可知，
第一行个数字，
第二行个数字，
第三行个数字，
，
则第行个数字，
前行一共有个数字，
，，
是表中第行第列，
故答案为：，．
根据表格中的数据，可以写出前几行的数字个数，然后即可写出前行的数字个数，从而可以得到在图中的位置．
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是发现数字的变化特点，写出前行的数字个数．
16.【答案】
【解析】解：由题意得：四叶幸运草的周长为个半圆的弧长个圆的周长，
四叶幸运草的周长；
故答案为：．
由题意得出：四叶幸运草的周长为个半圆的弧长个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果．
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长个圆的周长是解题的关键．
17.【答案】或
【解析】解：分为两种情况：
当点在圆内时，如图，
点到圆上的最小距离，最大距离，
直径，
半径；
当点在圆外时，如图，
点到圆上的最小距离，最大距离，
直径，
半径；
故答案为：或．
点应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论：当点在圆内时，直径最小距离最大距离；当点在圆外时，直径最大距离最小距离．
本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：连接，
为直径，
，
，，
，
，
图中阴影部分的面积
，
故答案为．
根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
19.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20.【答案】解：如图中，即为所求．
如图中，即为所求．
即为所求．
【解析】构造边长，，的直角三角形即可．
构造直角边为，斜边为的直角三角形即可答案不唯一．
构造三边分别为，，的直角三角形即可．
本题考查作图应用与设计，无理数，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：是“好数”，因为，，都不为，且，能被整除，
不是“好数”，因为，不能被整除；
，，，，，，共个，理由：
设十位数数字为，则百位数字为的整数，
，
当时，，
能被，整除，
满足条件的三位数有，，
当时，，
能被，，整除，
满足条件的三位数有，，，
当时，，
能被整除，
满足条件的三位数有，
当时，，
能被整除，
满足条件的三位数有，
即满足条件的三位自然数为，，，，，，共个．
【解析】此题主要考查了数的整除问题，新定义，理解并灵活运用新定义是解本题的关键．
根据“好数”的意义，判断即可得出结论；
设十位数数字为，则百位数字为的整数，得出百位数字和十位数字的和为，再分别取，，，，计算判断即可得出结论．
22.【答案】解：连接并延长，与交于点，
，
米，
在中，，
，
即米，
，
即米，
则米．
点到弦所在直线的距离为米．
【解析】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
连接并延长，与交于点，由与垂直，利用垂径定理得到为的中点，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出，进而求出，由求出的长即可．
23.【答案】解：在中，设，
，，
，
在中，，，
，
即，
解得：，
，
钢索的长度为．
【解析】本题设，在等腰直角三角形中表示出，从而可以表示出，再在中利用三角函数即可求出的长，进而即可求出的长度．
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的特点以及锐角三角函数在直角三角形的应用是解题的关键．
24.【答案】解：证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
．
，
，即，
直线是的切线．
连接，
，，
，．
又，
为等边三角形，
．
．
图中阴影部分的面积为．
【解析】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及扇形和三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
连接，由直径所对的圆周角为直角，可得；利用等腰三角形的性质及已知条件，可求得，按照切线的判定定理可得结论．
由，可得，从而可得的度数，进而判定为等边三角形，则的度数可得；利用，可求得答案．
25.【答案】 ，，
设，，则，，
，由对数的定义得，
又，
；
原式
．
【解析】解：，，；
故答案为：，，；
见答案
见答案
直接根据定义计算即可；
先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
根据公式：和的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．
本题考查了有理数的混合运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系．
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