2023年山东省淄博市博山区中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省淄博市博山区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在实数，，，中，有理数的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  下列说法正确的是(    )

A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，不能裁掉的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出个球，发现个是红球，估计袋中红球的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如果点在第三象限内，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

8.  几个大小相同，且棱长为的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为(    )
 

A.
B.
C.
D.

10.  如图，由边长为的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  试卷上一个正确的式子，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式为______．

12.  观察如图所示的频数分布直方图，其中组界为这一组的频数为        ．

13.  如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是        ．

14.  关于，的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为        ．

15.  如图，三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是        ．

三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

17.  本小题分
如图，已知，，是的一个外角．
请用尺规作图法，求作射线，使保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点，，且，求证：四边形是平行四边形．

19.  本小题分
如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高，斜坡的坡比为：，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？结果精确到

参考数据表

20.  本小题分
中国共产党的助手和后备军中国共背团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了：青年大学习；：青年学党史；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了______名学生；
补全条形统计图；
若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生数；
小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．

21.  本小题分
如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连、、，且．
求证：直线是的切线；
若，求的值；
在的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值．

22.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于为坐标原点，两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，轴上一点．
求二次函数的表达式；
二次函数在第四象限的图象上有一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；
在二次函数图象上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
 

23.  本小题分
在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究如图，在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．

【观察发现】与是什么位置关系？
【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由；
如图，延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；
【综合运用】如图，当时，连接，延长交于点，连接，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在实数，，，中，有理数是，，
所以，有理数的个数是，
故选：．
根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．
本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，
B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用二次根式的加减、合并同类项、积的乘方运算法则分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是，
故选：．
根据正方体的表面展开图，即可解答．
本题考查了展开图折叠成几何体，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：摸到红球的频率为，
估计袋中红球的个数是个，
故选：．
先求摸到红球的频率，再用乘以摸到红球的频率即可．
本题考查了用样本估计总体，关键是求出摸到红球的频率．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
解得．
则不等式组的解集是．
故选：．
根据点在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得的范围．
本题考查了一元一次不等式组的解法，点的坐标特征．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故选：．
利用一元二次方程有实数根的条件得到关于的不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于的不等式组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由俯视图可以得出几何体的左视图为：

则这个几何体的左视图的面积为，
故选：．
根据俯视图中正方体的个数画出左视图即可得出结论．
本题主要考查三视图的知识，根据俯视图作出左视图是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
证明∽，求得：，再根据三角形的面积关系求得结果．
【解答】
解：，
∽，
，
，

故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：为直径，
，
又点，，都在格点上，
，
在中，
，
故选：．
由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案．
本题考查圆周角定理，直角三角形的边角关系，掌握圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

11.【答案】． 

【解析】解：，
被墨汁遮住部分的代数式是：
，


．
故答案为：．
根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是，再根据分式的运算法则进行计算即可．
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由直方图可得，
组界为这一组的频数是，
故答案为：．
根据直方图中的数据，可以得到组界为这一组的频数．
本题考查频数分布直方图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，
，
由图象可知，当时，的取值范围是或，
故答案为：或．
根据反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用函数的对称性求得点的坐标，以及数形结合思想的运用是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，得，
根据题意得：，
解得．
所以的取值范围是．
故答案为：．
两个方程相减可得出，根据列出关于的不等式，解之可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式，解二元一次方程组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力、不等式的性质等知识点．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据折叠，可知，，
，，
，
，
，
，
设，
，，
，，
，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
，
故答案为：．
根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可．
本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
，
，，
原式

． 

【解析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
 

17.【答案】解：如图，射线即为所求． 

【解析】利用尺规作图作出的平分线，得到射线．
本题考查的是尺规作图、平行线的判定，能够利用基本尺规作图作出已知角的角平分线是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
．
．
在与中，
．
≌．
．
四边形是平行四边形． 

【解析】结合已知条件推知；然后由全等三角形的判定定理证得≌，则其对应边相等：；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．
本题主要考查了平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
 

19.【答案】解：如图：

由题意得：
，
斜坡的坡比为：，
，，
，，
，
，
在中，，
查表可得：，
为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于度． 

【解析】根据题意可得，然后根据斜坡的坡比为：，可求出，的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键．
 

20.【答案】解：；
的人数为：名，
补全条形统计图如下：

名，
答：估计参加项活动的学生为名；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为． 

【解析】由的人数除以所占的比例即可求得，一共抽取的学生为：名；
求出的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生乘以参加项活动的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
又，
，
又，
，
即，
，
又为半径，
直线是的切线；
解：，，
∽，
，
设半径，
，
，，
在中，
，
 在中，
，
；
解：在的条件下，，
，
，
在中，
，，
解得，，
平分，
，
又，
∽，
，
． 

【解析】连接，先得出，再得出，进而得出，最后根据切线的判定得出结论；
先得出∽，进而得出，设半径，根据勾股定理得出，最后根据三角函数得出结果；
由的结论，得出，结合直角三角形的性质得出，，然后得出∽，最后根据得出结论．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活运用性质解决实际问题是解题的关键．
 

22.【答案】解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
二次函数顶点为，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
，
；
连接，

当时，，
或，
，
点在抛物线上，
点的纵坐标为，


；
或或． 

【解析】见答案；
见答案；
设，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
，
，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
，
，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
，
，
综上：或或．
根据题意知，二次函数顶点为，设二次函数解析式为，将点代入得，，即可得出答案；
连接，根据题意得点的坐标，则，代入化简即可；
设，分或或分别为对角线，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求出的值，进而得出答案．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图中，由翻折的性质可知，．
故答案为：；

结论：．
理由：如图中，连接．
，
，
，
由翻折变换的性质可知，
，
；

结论：．
理由：如图中，连接，，
由翻折的性质可知，
设，．
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

结论：．
理由：如图中，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点．
设，，
，
，
，
，，
在中，则有，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用翻折变换的性质判断即可；
结论：证明即可；
证明，推出，即可解决问题．
结论：如图中，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点想办法证明，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．