5.1 任意角与弧度制-高一数学上学期同步讲与练(人教A版必修第一册)

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5.1 任意角与弧度制

一、任意角的定义
1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
2、角的表示：
（1）始边：射线的起始位置．
（2）终边：射线的终止位置．
（3）顶点：射线的端点O．
（4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”．
3、角的分类：
（1）正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
（2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
（3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角
二、象限角与其集合表示
1、终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和.
2、象限角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。
3、象限角的集合表示
象限角
集合表示
第一象限角

第二象限角

第三象限角

第四象限角

三、轴线角及其集合表示
1、轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。
2、轴线角的集合表示
角的终边位置
集合表示
轴的非负半轴

轴的非正半轴

轴上

轴非负半轴

轴非正半轴

轴上

四、弧度制
1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
3、弧度制与角度制的区别与联系
区别
（1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；
（2）定义不同.
联系
不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.
五、角度制与弧度制之间的互化
1、角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×°＝度数
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0










六、弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：
类别/度量单位
角度制
弧度制
扇形的弧长


扇形的面积





题型一 对任意角的概念理解与应用
【例1】平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角
B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C．第二象限角必大于第一象限角
D．钝角的终边在第二象限
【答案】D
【解析】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误；
三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；
α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误；
钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确．故选：D．


【变式1-1】下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等
【答案】C
【解析】A：角显然是第一象限角，但它是负角，本选项命题不正确；
B：锐角是小于的正角，所以本选项命题不正确；
C：钝角是大于小于的角，显然是第二象限的角，所以本选项命题正确；
D：角和角显然是终边相同的角，但它们不相等，
所以本选项命题不正确，故选：C


【变式1-2】已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．AÜC D．A＝B＝C
【答案】B
【解析】对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以该选项错误；
对B，钝角大于90°，小于180°，故BÜ C，故选项B正确；
对C，AÜC，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误；
对D，A＝B＝C错误. 如在第二象限，但是并不在集合B,C中.故选：B


【变式1-3】喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（ ）
A．30° B．﹣30° C．60° D．﹣60°
【答案】D
【解析】因为分针为顺时针旋转，
所以10分钟时间钟表的分针走过的角度是 .故选：D．


【变式1-4】如图，圆的圆周上一点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，之后从起始位置转过的角是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，
所以点逆时针方向旋转一分钟转的度数为，
设之后从起始位置转过的角为，故选：D．


题型二 求终边相同的角
【例2】将化为的形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由知.故选：B.


【变式2-1】与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴与终边相同的角是.故选：D


【变式2-2】在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为（ ）
A．β＝α+90° B．β＝α±90°
C．β＝α+90°+k•360°（k∈Z） D．β＝α±90°+k•360°（k∈Z）
【答案】D
【解析】∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°+k•360°（k∈Z）．故选：D．


【变式2-3】已知角的终边与角的终边关于轴对称，求.
【答案】
【解析】易知角与角的终边关于轴对称.  
所以角的终边与角的终边重合.
所以.


【变式2-4】求与角终边相同的最小正角和最大负角，并指出角是第几象限角.
【答案】最小正角为，最大负角为，角是第四象限角
【解析】，
角是第四象限角，与角终边相同的角可以表示为，
当时，；当时，；
与角终边相同的最小正角为，最大负角为.


题型三 确定已知角所在的象限
【例3】角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】因为，所以角和角是终边相同的角，
因为角是第二象限角，
所以角是第二象限角.故选：B.


【变式3-1】（多选）下列四个角为第二象限角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】对于A选项，，故为第二象限角；
对于B选项，是第二象限角；
对于C选项，是第三象限角；
对于D选项，，故为第一象限角.故选：AB.


【变式3-2】已知角，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【解析】因为
所以与是同一象限角，
因为是第三象限角，故为第三象限角．故选：C．


【变式3-3】若，则的终边在（ ）
A．第二或第三象限 B．第一或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
【答案】B【分析】分k为奇数和偶数讨论可得.
【解析】当k为奇数时，记，则，此时为第三象限角；
当k为偶数时，记，则，
此时为第一象限角.故选：B


题型四 根据图形写出角的范围
【例4】已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.故选：B．


【变式4-1】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此时的终边和0≤≤的终边一样，
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，
此时的终边和π≤≤π＋的终边一样．故选：B．


【变式4-2】如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________.

【答案】{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
【解析】终边落在阴影部分第二象限最左边的角为,
终边落在阴影部分第四象限最左边的角为.
所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}.
故答案为：{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}


【变式4-3】如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为______．

【答案】
【解析】终边在直线OM上的角的集合为：


．
同理可得终边在直线ON上的角的集合为，
所以终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为．
故答案为：


题型五 由已知角确定某角所在象限
【例5】若α是第四象限角，则90º－α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】由题知，，，
则，在第二象限，故选：B


【变式5-1】若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．
【答案】一
【解析】若α是第二象限角，则，，
所以，，
即，，
所以180°－α是第一象限角．
故答案为：一.


【变式5-2】已知为第四象限角，则为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A
【解析】表示将角α的终边逆时针旋转后所得的角，
因为α为第四象限角，
所以为第一象限角．故选：A


【变式5-3】已知是第四象限角，则是第象限角.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【解析】由题意知，则，
，
显然是第四象限角.故选：D


题型六 确定n分角和n倍角的象限
【例6】若角是第一象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】C
【解析】因为是第三象限角，所以，
所以，
当为偶数时，是第一象限角，
当为奇数时，是第三象限角.故选：C．


【变式6-1】若α是第一象限的角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第四象限角
C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】D
【解析】由题意知，，，
则，所以，．
当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．
所以是第二或第四象限角.故选：D.


【变式6-2】角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵角的终边在第一象限，
∴，，则，，
当时，此时的终边落在第一象限，
当时，此时的终边落在第二象限，
当时，此时的终边落在第三象限，
综上，角的终边不可能落在第四象限，故选：D.


【变式6-3】已知α锐角，那么2α是（ ）
A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角
【答案】A
【解析】∵α锐角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°，故选：A．


【变式6-4】角的终边在第二象限，则角的终边在_________．
【答案】第三、四象限或y轴非正半轴
【解析】是第二象限角，，．
，．
的终边的位置是第三或第四象限，的非正半轴．
故答案为：第三、第四象限或轴的非正半轴


题型七 角度制与弧度制的概念
【例7】下列说法中，错误的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．的角是周角的的角是周角的
C．的角比的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
【答案】D
【解析】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，
的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确；
1rad的角是，故C正确；
无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，
只与角的始边和终边的位置有关，故D错误.故选：D


【变式7-1】下列叙述中，正确的是（ ）
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角的和
D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
【答案】D
【解析】根据弧度的定义，在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.故选：D．


【变式7-2】圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（ ）
A．扇形的圆心角大小不变
B．扇形的圆心角增大到原来的2倍
C．扇形的圆心角增大到原来的4倍
D．不能确定
【答案】A
【解析】设圆心角的半径与弧长分别为、，此时圆心角的弧度数为，
当圆心角的半径与弧长都扩大2倍后分别为、，
此时圆心角的弧度数为，故选：A.


【变式7-3】下列说法中，错误的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【答案】D
【解析】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，
则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，
D的说法错误，很明显ABC的说法正确.
本题选择D选项.


题型八 角度与弧度之间的互化
【例8】角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】角对应的弧度数为，故选：B.


【变式8-1】下列结论错误的是（ ）
A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°
C．化成弧度是 D．化成度是15°
【答案】A
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确．故选：A


【变式8-2】教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转多少弧度?（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将钟表校正的过程中，需要顺时针旋转时针，其大小为，
故时针需要旋转弧度，故选：A.


【变式8-3】已知．
（1）把表示成的形式，其中，；
（2）求，使与的终边相同，且．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）.
（2），设，
由可得，解得，
，则，故.


题型九 扇形的弧长、面积计算
【例9】一个扇形的半径为3，圆心角为，且周长为8，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设扇形的弧长为l，则，则故选：B．


【变式9-1】如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（ ）

A． B．14π C．24π D．10π
【答案】B
【解析】扇形ABD的半径为1，圆心角为，所以的长，
同理可得之后的各段弧长分别为，，，
，，
所以“螺旋蚊香”图案的总长度.故选：B．


【变式9-2】已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因扇形的圆心角为，则此圆心角的弧度数是，设圆的半径为r，
则由扇形面积公式得：，而，解得，
所以该扇形所在圆的半径为2.故选：B


【变式9-3】玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设，，

由题图及弧长公式可得解得
设扇形COD、扇形AOB的面积分别为，，
则该玉雕壁画的扇面面积．故选：D.


题型十 扇形中的最值问题
【例10】已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【解析】设扇形半径为,易得,则由已知该扇形弧长为.
记扇形面积为,则,
当且仅当，即时取到最大值，
此时记扇形的圆心角为，则，故选：D


【变式10-1】已知扇形的半径为，弧长为，圆心角为.
（1）若扇形的面积为定值，求扇形周长的最小值及对应的圆心角的值；
（2）若扇形的周长为定值，求扇形面积的最大值及对应的圆心角的值.
【答案】（1）时的最小值为；（2）时的最大值为
【解析】（1）由题设，，又且，
∴，当且仅当时等号成立，
∴时的最小值为.
（2）由（1）知：，，
当且仅当时，的最大值为.


【变式10-2】已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
（1）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
（2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．
【答案】（1）；（2）取得最大值25，此时
【解析】（1）由题意得，解得(舍去)，．
所以扇形圆心角．
（2）由已知得，．
所以，
所以当时，取得最大值25，
,解得.
当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.


【变式10-2】某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.

（1）求关于x的函数表达式；
（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
【答案】（1）；；（2），.
【解析】（1）根据题意，可算得，．
因为，所以，
所以，.
（2）根据题意，
可知
，
当时，.
综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为.