北师大版 (2019)必修 第二册5.2 平面与平面垂直课堂检测

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1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列说法正确的是( )
A．若m⊥n，则α⊥β B．若m∥n，则α⊥β
C．若m⊥n，则α∥β D．若m∥n，则α∥β
2.
如图所示，在三棱锥P ­ ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B ­ PA ­ C的大小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
3.
如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )
A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
4．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为eq \r(3)，则侧面与底面所成二面角的大小为________．
5．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；③若a⊥α，b⊂β，a∥b，则α⊥β.
其中不正确的命题是________．
6．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是eq \x\t(AB)上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.
[提能力]
7．[多选题]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，ADBCAB＝234，E，F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出以下四个结论，可能成立的是( )
A．DF⊥BC
B．BD⊥FC
C．平面DBF⊥平面BFC
D．平面DCF⊥平面BFC
8．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出下列四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．(用序号表示)
9．如图(1)，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠BCD＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图(2)．
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD.
(2)求二面角B­AD­C的大小．
[战疑难]
10．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足∠ABC＝90°，M为AP的中点．若AB＝1，AC＝2，AP＝eq \r(2)，则二面角M­BC­A的正切值为________．
课时作业46 平面与平面垂直
1．解析：若m⊥n，则α与β可以平行或相交，故A，C错误；若m∥n，则α⊥β，D错，选B.
答案：B
2．解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B ­ PA ­ C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.
答案：A
3．解析：∵PA⊥平面ABCD，BC，AD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BC，PA⊥AD.
又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.
∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.显然平面PAD与平面PBC不垂直．故选A.
答案：A
4．解析：如图，设S在底面内的投影为O，
取AB的中点M，
连接OM，SM，
则∠SMO为所求二面角的平面角，
在Rt△SOM中，
OM＝eq \f(1,2)AD＝1，
SM＝ eq \r(SA2－\f(1,4)AB2)＝eq \r(2)，
所以cs∠SMO＝eq \f(OM,SM)＝eq \f(\r(2),2)，
所以∠SMO＝45°.
答案：45°
5．解析：如图，在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知③正确．
答案：①②
6.
证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，
D是AC的中点，所以AC⊥OD.
又PO⊥底面AOC，AC⊂底面AOC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.
7．解析：对于A，因为BC∥AD，AD与DF相交，不垂直，所以BC与DF不垂直，故A不可能成立；
对于B，如图，设点D在平面BCF上的投影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而ADBCAB＝234可使条件满足，故B可能成立；对于C，当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故C可能成立；对于D，因为点D的投影不可能在FC上，所以D不可能成立．故选BC.
答案：BC
8．解析：m⊥n，将m和n平移到相交的位置，此时确定一平面，
∵n⊥β，m⊥α，
∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，
从而平面α和平面β形成的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.
故①③④⇒②.
答案：①③④⇒②(答案不唯一)
9.
图(3)
解析：(1)证明：根据图(1)，
∵AB＝BC，∠B＝90°，∠BCD＝135°，
∴∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC.
已知二面角B－AC－D是直二面角，如图(3)，过点B作BO⊥AC，垂足为O.由AB＝BC，知O为AC的中点．过点O作OE⊥AC交AD于点E，则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.
∵BO⊥AC，∴BO⊥平面ACD.
又∵CD⊂平面ACD，∴BO⊥CD.
又∵CD⊥AC，AC∩BO＝O，
∴CD⊥平面ABC，
∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥CD.
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又∵BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.
又∵AB⊂平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD.
(2)在图(4)中，过AC的中点O作OF⊥AD，垂足为F，连接BF，BO.
图(4)
由(1)知BO⊥平面ACD，∴BO⊥AD.
∵BO∩OF＝O，∴AD⊥平面BOF.
又∵BF⊂平面BOF，∴AD⊥BF.
∴∠BFO是二面角B ­ AD ­ C的平面角．
∵AB＝BC＝CD＝a，∠ABC＝90°，
∴AC＝eq \r(2)a，∴BO＝AO＝eq \f(\r(2),2)a.
由(1)知AC⊥CD，∴AD＝eq \r(3)a.
∵△AOF∽△ADC，∴eq \f(OF,DC)＝eq \f(AO,AD)，∴OF＝eq \f(a·\f(\r(2),2)a,\r(3)a)＝eq \f(\r(6),6)a.
在Rt△BOF中，tan∠BFO＝eq \f(BO,OF)＝eq \f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),6)a)＝eq \r(3)，
∴∠BFO＝60°，
即二面角B ­ AD ­ C的大小为60°.
10．解析：由∠ABC＝90°知，AC为底面圆的直径．
如图所示，设底面圆圆心为O，连接PO，则PO⊥平面ABC，易知AO＝eq \f(1,2)AC＝1，PO＝eq \r(AP2－AO2)＝1.
设H为点M在底面上的投影，则H为AO的中点．在底面中作HK⊥BC于点K，连接MK，则BC⊥平面HMK，MK⊥BC，从而∠MKH为二面角M ­ BC ­ A的平面角．因为MH＝AH＝eq \f(1,2)，HK∥AB，所以eq \f(HK,AB)＝eq \f(HC,AC)＝eq \f(3,4).得HK＝eq \f(3,4)，所以tan∠MKH＝eq \f(MH,HK)＝eq \f(2,3)，故二面角M ­ BC ­ A的正切值为eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)