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新教材2023版高中数学章末质量检测五第六章立体几何初步北师大版必修第二册
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章末质量检测(五) 第六章 立体几何初步一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形不可能的是( )A．等边三角形 B．矩形C．等腰梯形 D．正方形3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( )A．4S B．4πSC．πS D．2πS4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm3，则其表面积为( )A．18eq \r(3) cm2 B．18 cm2C．12eq \r(3) cm2 D．12 cm25．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，要得到直线m⊥平面β，还需要补充的条件是( )A．m⊂α B．m∥αC．m⊥l D．m⊂α且m⊥l6．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1, eq \r(6)，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A．16π B．32πC．36π D．64π7.如图，在棱长为4的正方体ABCD A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝eq \f(1,4)A1B1，则多面体P BCC1B1的体积为( )A.eq \f(8,3) B.eq \f(16,3)C．4 D．58．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿BF所在的直线进行翻折，将△CDE沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是( )A．无论翻折到什么位置，A、C两点都不可能重合B．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°C．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90°D．存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90°二、多项选择题(大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β10．已知m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βC．若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥βD．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β11．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是( )A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P BC A的大小为45°D．BD⊥平面PAC12．在正方体ABCD A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M为线段AP的中点，则( )A．CM与PN是异面直线B．CM＞PNC．平面PAN⊥平面BDD1B1D．过P、A、C三点的正方体的截面一定是等腰梯形三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________．14．已知正四棱锥的侧棱长为2eq \r(3)，侧棱与底面所成的角为60°，则该四棱锥的高为________．15．设α，β，γ是三个不同平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：(1)a∥γ，b∥β；(2)a∥γ，b⊂β；(3)b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．16.如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知正方体ABCD A1B1C1D1.(1)证明：D1A∥平面C1BD；(2)求异面直线D1A与BD所成的角．18．(12分)如图，正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′ BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′ BC′D的体积．19．(12分)在如图的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，点E，G，F分别为棱MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：(1)平面EFG∥平面PMA；(2)平面PDC⊥平面EFG.20．(12分)如图平行四边形ABCD中，BD＝2eq \r(3)，AB＝2，AD＝4，将△BCD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE.(2)求三棱锥E ABD的侧面积．21．(12分)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．22．(12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，AC＝1，AA1＝BC＝2，点D在侧棱AA1上．(1)若D为AA1的中点，求证：C1D⊥平面BCD；(2)若A1D＝eq \r(2)，求二面角BC1DC的大小．章末质量检测(五) 第六章 立体几何初步1．解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．解析：当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)；当点Q不与点D、D1重合时，令Q、R分别为DD1、C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)．D是不可能的．答案：D3．解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，则2R·2R＝4S，得R2＝S.所以底面面积为πR2＝πS.答案：C4．解析：设正四面体的棱长为a cm，则底面积为eq \f(\r(3),4)a2 cm2，易求得高为eq \f(\r(6),3)a cm，则体积为eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)a2×eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(\r(2),12)a3＝9，解得a＝3eq \r(2)，所以其表面积为4×eq \f(\r(3),4)a2＝18eq \r(3)(cm2)．答案：A5．解析：选项A，B，C的条件都不能得到直线m⊥平面β.而补充选项D后，可以得到直线m⊥平面β.理由如下：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．故选D.答案：D6．解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为eq \r(12＋\r(6)2＋32)＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr2＝16π.答案：A7．解析：V多面体P BCC1B1＝eq \f(1,3)S正方形BCC1B1·PB1＝eq \f(1,3)×42×1＝eq \f(16,3).答案：B8．解析：在A中，点A与点C一定不重合，故A正确；在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°，故B正确；在C中，当平面ABF⊥平面BEDF，平面DCE⊥平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D错误．故选D.答案：D9．解析：若m⊥α，则∃a，b⊂α且a∩b＝P使得m⊥a，m⊥b，又m∥n，则n⊥a，n⊥b，由线面垂直的判定定理得n⊥α，故A对；若m∥α，α∩β＝n，如图，设m＝AB，平面A1B1C1D1为平面α，m∥α，设平面ADD1A1为平面β，α∩β＝A1D1＝n，则m⊥n，故B错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，则α∥β，故D对；故选ACD.答案：ACD10．解析：若m∥α，n∥β且α∥β，则可以m∥n，m，n异面，或m，n相交，故A错误；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正确；若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，又α∥β，m⊄β，故m∥β，C正确；若m∥n，n⊥α，则m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，D错误．故选BC.答案：BC11．解析：对于A，取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，PM，BM⊂平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正确．对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P BC A的平面角，设AB＝1，则BM＝eq \f(\r(3),2)，PM＝eq \f(\r(3),2)，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝eq \f(PM,BM)＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P BC A的大小为45°，故C正确．对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误．故选ABC.答案：ABC12．解析：C、N、A共线，即CN、PM交于点A，共面，因此CM、PN共面，A错误；记∠PAC＝θ，则PN2＝AP2＋AN2－2AP·ANcos θ＝AP2＋eq \f(1,4)AC2－AP·ACcos θ，CM2＝AC2＋AM2－2AC·AMcos θ＝AC2＋eq \f(1,4)AP2－AP·ACcos θ，又AP＜AC，CM2－PN2＝eq \f(3,4)(AC2－AP2)＞0，CM2＞PN2，即CM＞PN，B正确；由于正方体中，AN⊥BD，BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥AN，BB1∩BD＝B，可得AN⊥平面BB1D1D，AN⊂平面PAN，从而可得平面PAN⊥平面BDD1B1，C正确；取C1D1中点K，连接KP，KC，A1C1，易知PK∥A1C1，又正方体中，A1C1∥AC，∴PK∥AC，PK、AC共面，PKCA就是过P、A、C三点的正方体的截面，它是等腰梯形，D正确．故选BCD.答案：BCD13．解析：设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr＝2π，解得r＝1，根据勾股定理，得圆锥的高为eq \r(22－12)＝eq \r(3)，所以圆锥的表面积S＝eq \f(1,2)×π×22＋π×12＝3π，体积V＝eq \f(1,3)×π×12×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),3)π.答案：3π eq \f(\r(3),3)π.14.解析：如图，过点S作SO⊥平面ABCD，连接OC，则∠SCO＝60°，∴SO＝sin 60°·SC＝eq \f(\r(3),2)×2eq \r(3)＝3.答案：315．解析：(1)a∥γ，b∥β，不可以，举出反例如下：使β∥γ，b⊂γ，a⊂β，则此时能有a∥γ，b∥β，但不一定有a∥b；(2)a∥γ，b⊂β，可以，由a∥γ得a与γ没有公共点，由b⊂β，α∩β＝a，b⊂γ知，a，b在面β内，且没有公共点，故平行；(3)b∥β，a⊂γ可以，由b∥β，α∩β＝a知，a，b无公共点，再由a⊂γ，b⊂γ，可得两直线平行．综上可知满足的条件有(2)和(3)．答案：(2)(3)16．解析：对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，从而可得EA⊥PB，故①正确．对于②，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故②不正确．对于③，由于在正六边形中BC∥AD，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故③不正确．对于④，由条件得△PAD为直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°，故④正确．综上①④正确．答案：①④17．解析：(1)证明：在正方体ABCD A1B1C1D1中，∵AB∥D1C1，AB＝D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，∵AD1⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴D1A∥平面C1BD.(2)由(1)知，AD1∥BC1，∴异面直线D1A与BD所成的角即为∠C1BD.易知△C1BD为等边三角形，∴∠C1BD＝60°，即异面直线D1A与BD所成的角为60°.18．解析：(1)∵ABCD A′B′C′D′是正方体，∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq \r(2)a，∴三棱锥A′ BC′D的表面积为4×eq \f(1,2)×eq \r(2)a×eq \f(\r(3),2)×eq \r(2)a＝2eq \r(3)a2.而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′ BC′D的表面积与正方体表面积的比值为eq \f(2\r(3)a2,6a2)＝eq \f(\r(3),3).(2)三棱锥A′ ABD，C′ BCD，D A′D′C′，B A′B′C′是完全一样的．故V三棱锥A′ BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′ ABD＝a3－4×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)a2×a＝eq \f(a3,3).19．证明：(1)∵点E、G、F分别为棱MB、PB、PC的中点，∴EG∥PM，GF∥BC.又∵PM⊂平面PMA，EG⊄平面PMA，∴EG∥平面PMA.∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.∵AD⊂平面PMA，GF⊄平面PMA，∴GF∥平面PMA.又∵EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面PMA.(2)由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，∵G，F分别为PB，PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面PDC⊥平面EFG.20．解析：(1)证明：∵AB＝2，BD＝2eq \r(3)，AD＝4，∴AB2＋BD2＝AD2.∴AB⊥BD.∵平面EBD⊥平面ABD，且平面EBD∩平面ABD＝BD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.(2)由(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而折叠后DE⊥BD.在Rt△DBE中，∵DB＝2eq \r(3)，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE＝eq \f(1,2)DB·DE＝2eq \r(3)，又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝eq \f(1,2)AB·BE＝4.∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD.又∵AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD.∴S△ADE＝eq \f(1,2)AD·DE＝4.综上，三棱锥E ABD的侧面积S＝8＋2eq \r(3).21．解析：(1)如图(1)，取AA1的中点M，连接EM，BM.∵E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，∴EM∥AD.在正方体ABCD A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，∴EM⊥平面ABB1A1，从而∠EBM为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝eq \r(AB2＋AM2＋ME2)＝ eq \r(22＋22＋12)＝3.在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq \f(EM,BE)＝eq \f(2,3).即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为eq \f(2,3).(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：如图(2)，分别取C1D1和CD的中点F和G，连接EG，BG，CD1，FG，B1F.∵A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴D1C∥A1B.又∵E，G分别为D1D，CD的中点，∴EG∥D1C，∴EG∥A1B.∴A1，B，G，E四点共面，∴BG⊂平面A1BE.在正方体AC1中，F和G分别为C1D1和CD的中点，∴GF綊C1C綊B1B，∴四边形B1BGF为平行四边形，∴B1F∥BG.又∵B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE.22．解析：(1)证明：由已知，得AA1⊥ BC，AC⊥BC，则BC⊥平面AA1C1C.又C1D⊂平面AA1C1C，则BC⊥C1D.①因为D为AA1的中点，所以AD＝AC＝1.又AD⊥AC，则△CAD为等腰直角三角形，所以∠ADC＝45°.同理∠A1DC1＝45°.所以∠CDC1＝90°，即CD⊥C1D.②结合①②得，C1D⊥平面BCD.(2)作CE⊥C1D，垂足为E，连接BE，如图．因为BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥C1D，所以C1D⊥平面BCE.则C1D⊥BE，所以∠BEC为二面角BC1DC的平面角．因为A1D＝eq \r(2)，A1C1＝1，所以C1D＝eq \r(3).在△CC1D中，CC1＝2，CC1边上的高为1，则其面积为1.所以由eq \f(1,2)×eq \r(3)CE＝1得CE＝eq \f(2,\r(3)) .在Rt△BCE中，tan∠BEC＝eq \f(BC,CE)＝eq \r(3)，则∠BEC＝60°.所以二面角BC1DC的大小为60°.
章末质量检测(五) 第六章 立体几何初步一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形不可能的是( )A．等边三角形 B．矩形C．等腰梯形 D．正方形3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( )A．4S B．4πSC．πS D．2πS4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm3，则其表面积为( )A．18eq \r(3) cm2 B．18 cm2C．12eq \r(3) cm2 D．12 cm25．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，要得到直线m⊥平面β，还需要补充的条件是( )A．m⊂α B．m∥αC．m⊥l D．m⊂α且m⊥l6．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1, eq \r(6)，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A．16π B．32πC．36π D．64π7.如图，在棱长为4的正方体ABCD A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝eq \f(1,4)A1B1，则多面体P BCC1B1的体积为( )A.eq \f(8,3) B.eq \f(16,3)C．4 D．58．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿BF所在的直线进行翻折，将△CDE沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是( )A．无论翻折到什么位置，A、C两点都不可能重合B．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°C．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90°D．存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90°二、多项选择题(大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β10．已知m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βC．若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥βD．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β11．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是( )A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P BC A的大小为45°D．BD⊥平面PAC12．在正方体ABCD A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M为线段AP的中点，则( )A．CM与PN是异面直线B．CM＞PNC．平面PAN⊥平面BDD1B1D．过P、A、C三点的正方体的截面一定是等腰梯形三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________．14．已知正四棱锥的侧棱长为2eq \r(3)，侧棱与底面所成的角为60°，则该四棱锥的高为________．15．设α，β，γ是三个不同平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：(1)a∥γ，b∥β；(2)a∥γ，b⊂β；(3)b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．16.如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知正方体ABCD A1B1C1D1.(1)证明：D1A∥平面C1BD；(2)求异面直线D1A与BD所成的角．18．(12分)如图，正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′ BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′ BC′D的体积．19．(12分)在如图的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，点E，G，F分别为棱MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：(1)平面EFG∥平面PMA；(2)平面PDC⊥平面EFG.20．(12分)如图平行四边形ABCD中，BD＝2eq \r(3)，AB＝2，AD＝4，将△BCD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE.(2)求三棱锥E ABD的侧面积．21．(12分)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．22．(12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，AC＝1，AA1＝BC＝2，点D在侧棱AA1上．(1)若D为AA1的中点，求证：C1D⊥平面BCD；(2)若A1D＝eq \r(2)，求二面角BC1DC的大小．章末质量检测(五) 第六章 立体几何初步1．解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．解析：当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)；当点Q不与点D、D1重合时，令Q、R分别为DD1、C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)．D是不可能的．答案：D3．解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，则2R·2R＝4S，得R2＝S.所以底面面积为πR2＝πS.答案：C4．解析：设正四面体的棱长为a cm，则底面积为eq \f(\r(3),4)a2 cm2，易求得高为eq \f(\r(6),3)a cm，则体积为eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)a2×eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(\r(2),12)a3＝9，解得a＝3eq \r(2)，所以其表面积为4×eq \f(\r(3),4)a2＝18eq \r(3)(cm2)．答案：A5．解析：选项A，B，C的条件都不能得到直线m⊥平面β.而补充选项D后，可以得到直线m⊥平面β.理由如下：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．故选D.答案：D6．解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为eq \r(12＋\r(6)2＋32)＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr2＝16π.答案：A7．解析：V多面体P BCC1B1＝eq \f(1,3)S正方形BCC1B1·PB1＝eq \f(1,3)×42×1＝eq \f(16,3).答案：B8．解析：在A中，点A与点C一定不重合，故A正确；在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°，故B正确；在C中，当平面ABF⊥平面BEDF，平面DCE⊥平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D错误．故选D.答案：D9．解析：若m⊥α，则∃a，b⊂α且a∩b＝P使得m⊥a，m⊥b，又m∥n，则n⊥a，n⊥b，由线面垂直的判定定理得n⊥α，故A对；若m∥α，α∩β＝n，如图，设m＝AB，平面A1B1C1D1为平面α，m∥α，设平面ADD1A1为平面β，α∩β＝A1D1＝n，则m⊥n，故B错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，则α∥β，故D对；故选ACD.答案：ACD10．解析：若m∥α，n∥β且α∥β，则可以m∥n，m，n异面，或m，n相交，故A错误；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正确；若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，又α∥β，m⊄β，故m∥β，C正确；若m∥n，n⊥α，则m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，D错误．故选BC.答案：BC11．解析：对于A，取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，PM，BM⊂平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正确．对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P BC A的平面角，设AB＝1，则BM＝eq \f(\r(3),2)，PM＝eq \f(\r(3),2)，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝eq \f(PM,BM)＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P BC A的大小为45°，故C正确．对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误．故选ABC.答案：ABC12．解析：C、N、A共线，即CN、PM交于点A，共面，因此CM、PN共面，A错误；记∠PAC＝θ，则PN2＝AP2＋AN2－2AP·ANcos θ＝AP2＋eq \f(1,4)AC2－AP·ACcos θ，CM2＝AC2＋AM2－2AC·AMcos θ＝AC2＋eq \f(1,4)AP2－AP·ACcos θ，又AP＜AC，CM2－PN2＝eq \f(3,4)(AC2－AP2)＞0，CM2＞PN2，即CM＞PN，B正确；由于正方体中，AN⊥BD，BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥AN，BB1∩BD＝B，可得AN⊥平面BB1D1D，AN⊂平面PAN，从而可得平面PAN⊥平面BDD1B1，C正确；取C1D1中点K，连接KP，KC，A1C1，易知PK∥A1C1，又正方体中，A1C1∥AC，∴PK∥AC，PK、AC共面，PKCA就是过P、A、C三点的正方体的截面，它是等腰梯形，D正确．故选BCD.答案：BCD13．解析：设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr＝2π，解得r＝1，根据勾股定理，得圆锥的高为eq \r(22－12)＝eq \r(3)，所以圆锥的表面积S＝eq \f(1,2)×π×22＋π×12＝3π，体积V＝eq \f(1,3)×π×12×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),3)π.答案：3π eq \f(\r(3),3)π.14.解析：如图，过点S作SO⊥平面ABCD，连接OC，则∠SCO＝60°，∴SO＝sin 60°·SC＝eq \f(\r(3),2)×2eq \r(3)＝3.答案：315．解析：(1)a∥γ，b∥β，不可以，举出反例如下：使β∥γ，b⊂γ，a⊂β，则此时能有a∥γ，b∥β，但不一定有a∥b；(2)a∥γ，b⊂β，可以，由a∥γ得a与γ没有公共点，由b⊂β，α∩β＝a，b⊂γ知，a，b在面β内，且没有公共点，故平行；(3)b∥β，a⊂γ可以，由b∥β，α∩β＝a知，a，b无公共点，再由a⊂γ，b⊂γ，可得两直线平行．综上可知满足的条件有(2)和(3)．答案：(2)(3)16．解析：对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，从而可得EA⊥PB，故①正确．对于②，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故②不正确．对于③，由于在正六边形中BC∥AD，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故③不正确．对于④，由条件得△PAD为直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°，故④正确．综上①④正确．答案：①④17．解析：(1)证明：在正方体ABCD A1B1C1D1中，∵AB∥D1C1，AB＝D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，∵AD1⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴D1A∥平面C1BD.(2)由(1)知，AD1∥BC1，∴异面直线D1A与BD所成的角即为∠C1BD.易知△C1BD为等边三角形，∴∠C1BD＝60°，即异面直线D1A与BD所成的角为60°.18．解析：(1)∵ABCD A′B′C′D′是正方体，∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq \r(2)a，∴三棱锥A′ BC′D的表面积为4×eq \f(1,2)×eq \r(2)a×eq \f(\r(3),2)×eq \r(2)a＝2eq \r(3)a2.而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′ BC′D的表面积与正方体表面积的比值为eq \f(2\r(3)a2,6a2)＝eq \f(\r(3),3).(2)三棱锥A′ ABD，C′ BCD，D A′D′C′，B A′B′C′是完全一样的．故V三棱锥A′ BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′ ABD＝a3－4×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)a2×a＝eq \f(a3,3).19．证明：(1)∵点E、G、F分别为棱MB、PB、PC的中点，∴EG∥PM，GF∥BC.又∵PM⊂平面PMA，EG⊄平面PMA，∴EG∥平面PMA.∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.∵AD⊂平面PMA，GF⊄平面PMA，∴GF∥平面PMA.又∵EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面PMA.(2)由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，∵G，F分别为PB，PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面PDC⊥平面EFG.20．解析：(1)证明：∵AB＝2，BD＝2eq \r(3)，AD＝4，∴AB2＋BD2＝AD2.∴AB⊥BD.∵平面EBD⊥平面ABD，且平面EBD∩平面ABD＝BD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.(2)由(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而折叠后DE⊥BD.在Rt△DBE中，∵DB＝2eq \r(3)，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE＝eq \f(1,2)DB·DE＝2eq \r(3)，又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝eq \f(1,2)AB·BE＝4.∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD.又∵AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD.∴S△ADE＝eq \f(1,2)AD·DE＝4.综上，三棱锥E ABD的侧面积S＝8＋2eq \r(3).21．解析：(1)如图(1)，取AA1的中点M，连接EM，BM.∵E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，∴EM∥AD.在正方体ABCD A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，∴EM⊥平面ABB1A1，从而∠EBM为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝eq \r(AB2＋AM2＋ME2)＝ eq \r(22＋22＋12)＝3.在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq \f(EM,BE)＝eq \f(2,3).即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为eq \f(2,3).(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：如图(2)，分别取C1D1和CD的中点F和G，连接EG，BG，CD1，FG，B1F.∵A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴D1C∥A1B.又∵E，G分别为D1D，CD的中点，∴EG∥D1C，∴EG∥A1B.∴A1，B，G，E四点共面，∴BG⊂平面A1BE.在正方体AC1中，F和G分别为C1D1和CD的中点，∴GF綊C1C綊B1B，∴四边形B1BGF为平行四边形，∴B1F∥BG.又∵B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE.22．解析：(1)证明：由已知，得AA1⊥ BC，AC⊥BC，则BC⊥平面AA1C1C.又C1D⊂平面AA1C1C，则BC⊥C1D.①因为D为AA1的中点，所以AD＝AC＝1.又AD⊥AC，则△CAD为等腰直角三角形，所以∠ADC＝45°.同理∠A1DC1＝45°.所以∠CDC1＝90°，即CD⊥C1D.②结合①②得，C1D⊥平面BCD.(2)作CE⊥C1D，垂足为E，连接BE，如图．因为BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥C1D，所以C1D⊥平面BCE.则C1D⊥BE，所以∠BEC为二面角BC1DC的平面角．因为A1D＝eq \r(2)，A1C1＝1，所以C1D＝eq \r(3).在△CC1D中，CC1＝2，CC1边上的高为1，则其面积为1.所以由eq \f(1,2)×eq \r(3)CE＝1得CE＝eq \f(2,\r(3)) .在Rt△BCE中，tan∠BEC＝eq \f(BC,CE)＝eq \r(3)，则∠BEC＝60°.所以二面角BC1DC的大小为60°.
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