第14章 勾股定理 单元测试卷 2023-2024学年华东师大版八年级数学上册

第14章　勾股定理

一、选择题(每小题3分,共30分)

1.直角三角形中∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且∠C=90°.若a2=9,b2=16,则c2等于 (　　)

A.5   B.7   C.25   D.49

2.下列各组数中,以它们为边不能构成直角三角形的是                (　　)

A.3,4,5   B.6,8,10  C.9,12,15  D.5,6,7

3.如图,长方形ABCD中,AB=3,AD=1,点A,B在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M,则点M表示的数为              (　　)

A.-1  B.   C.-1   D.

4.如图,点E在正方形ABCD的内部,且∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是 (　　)

A.80    B.76  C.60    D.48

5.一架长10 m的梯子,斜靠在一面竖直的墙上,这时梯足距离墙角6 m,若梯子的顶端下滑2 m,则梯足将滑动                                                                                                                                                               (　　)

A.0 m   B.2 m   C.1 m   D.3 m

6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=10,如果△DAB的面积为40,那么DC的长为              (　　)

A.6   B.7   C.8   D.9

7.如图,网格中的小正方形的边长为1,且点A,B,P都在小正方形的格点上,则∠PAB+∠PBA= (　　)

A.30°  B.60°   C.45°   D.75°

8.如图,有一个由传感器控制的灯A,装在门上方离地4.5 m的墙上,任何物体只要移至该灯周围5 m及5 m以内,灯就会自动发光.一个身高1.5 m的学生要走到离门多远的地方,灯刚好发光?              (　　)

A.5 m  B.7 m   C.4 m   D.3 m

9.在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样一个问题:

“今有开门去阃一尺,不合二寸.问门广几何?”其大意是:如图,推开两扇门(AD和BC),门边缘D,C两点到门槛AB的距离是1尺,两扇门的间隙CD为2寸,则门宽AB是(1尺=10寸)              (　　)

A.101寸　  B.100寸  C.52寸  D.96寸

10.如图,圆柱形容器的高为0.9 m,底面周长为1.2 m,在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子.此时,一只壁虎正好在容器外壁,离容器顶部0.2 m,且与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为                   (　　)

A.1.3 m  B.1.2 m  C.1.1 m  D.1 m

二、填空题(每小题3分,共18分)

11.木工师傅要做一扇长方形纱窗,做好后量得长为6分米,宽为4分米,对角线为7分米,则这扇纱窗　　　　(填“合格”或“不合格”). 

12.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系+|a-b|=0,则△ABC的形状为　　　　　　　. 

13.如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条通过小圆孔到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的取值范围是　　　　　　. 

14.已知直角三角形的周长为24,斜边长为10,则三角形的面积为　　　　. 

15.如图,我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为b,那么(a+b)2的值为　　　　. 

16.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P分别作PD

⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是　　　　. 

三、解答题(共52分)

17.(6分)如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地的垂直高度DE=1 m,将它往前推送6 m(水平距离BC=6 m)时,秋千的踏板离地的垂直高度BF=3 m,秋千的绳索始终拉得很直,求绳索AD的长度.

18.(7分)古埃及人曾用下面的方法得到直角.如图1,他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段(以结为端点),一个人站在A处同时握住绳子的第1个结和第13个结,另外两个人分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子,就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.

(1)你能说说其中的原理吗?

(2)请你仿照上面的方法,用绳子在图2中设计一种不同于图1的直角三角形.(只需画出示意图)

　　　图1　　　　　　　　　图2

19.(8分)如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥BC于点D,交AB边于点E,且BE2-EA2=AC2.

(1)判断△ABC的形状并说明理由;

(2)若DE=3,BD=4,求AE的长.

20.(9分)如图,两个村子A,B在河的同侧,A,B两村到河边CD的距离分别为AC=1千米,BD=3千米,已知CD=3千米.现要在河边CD上建造一水厂,向A,B两村送自来水.铺设水管的费用为每千米 20 000 元.

(1)请你在CD上确定水厂位置O,使铺设水管的费用最省;

(2)求出(1)中铺设水管的总费用W.

21.(10分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙之处也各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.

证明:如图1,连接DB,CD,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵S四边形ADCB

=S△ACD+S△ABC=b2+ab,S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),∴b2+ab=c2+a(b-a),

∴a2+b2=c2.

请参照上述证法,利用图2完成下面的证明:

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.

　　　　图1　　　　　　图2

22.(12分)如图,在△ABC中,AB=5 cm,BC=3 cm.若点P从点A出发,以每秒2 cm的速度沿折线A—C—B—A运动,设运动时间为t s(t>0).

(1)当点P在AC上,且满足PA=PB时,求t的值;

(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上,求t的值;

(3)在运动过程中,直接写出当t为何值时,△BCP为等腰三角形(PC≠BC).

参考答案与解析

1.C  2.D  3.A　4.B　5.B   6.A　7.C　8.C　9.A　10.D　

11.不合格　

12.等腰直角三角形　

13.12≤a≤13　

14.24　

15.25　

16.4.8　

17.解：设秋千的绳索长为x m,则AB=x m,AC=(x-2)m.(2分)

在Rt△ABC中,根据勾股定理可得x2=62+(x-2)2,解得x=10. (5分)

答:绳索AD的长度是10 m.                          (6分)

18.解：(1)设相邻两结点之间的距离为a,则此三角形三边的长分别为3a,4a,5a.

∵(3a)2+(4a)2=(5a)2,∴以3a,4a,5a为边长的三角形是直角三角形,且长为5a的边所对的角为直角.              (5分)

(2)如图所示.(答案不唯一,符合题意即可)

 (7分)

19.解：(1)△ABC是直角三角形. (1分)

理由:连接CE,如图.

∵D是BC边上的中点,DE⊥BC,∴CE=BE.

∵BE2-EA2=AC2,∴CE2-EA2=AC2,即EA2+AC2=CE2,

∴△ACE是直角三角形,且∠A=90°,∴△ABC是直角三角形. (4分)

(2)∵DE⊥BC,DE=3,BD=4,

∴BE==5=CE,∴AC2=EC2-AE2=25-AE2.

∵D是BC边上的中点,BD=4,∴BC=2BD=8.

在Rt△BAC中,BC2-BA2=64-(5+AE)2=AC2,

∴64-(5+AE)2=25-AE2,解得AE=.(8分)

20.解：(1)如图,延长AC到点M,使CM=AC,连接BM交CD于点O,点O就是所选择的位置. (4分)

(2)如图,连接OA,过点M作MN⊥BD,交BD的延长线于点N. (5分)

在Rt△BMN中,BN=BD+DN=4千米,MN=CD=3千米,

∴MB===5(千米), (7分)

∴最短路线AO+BO=MB=5千米,∴铺设水管的总费用W=5×20 000=100 000(元).

答:最省的铺设水管的总费用是100 000元. (9分)

21.解：证明:连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a. (2分)

∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab, (5分)

S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a), (8分)

∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),∴a2+b2=c2. (10分)

22.解：(1)∵AB=5 cm,BC=3 cm,∠C=90°,∴AC==4(cm).

由PA=PB,PA=2t cm,可得PB=2t cm,PC=(4-2t)cm.

在Rt△PCB中,PC2+CB2=PB2,即(4-2t)2+32=(2t)2,解得t=,

∴当t=时,PA=PB.  (4分)

(2)当点P在∠BAC的平分线上时,如图1,过点P作PE⊥AB于点E,

此时BP=(7-2t)cm,PE=PC=(2t-4)cm,BE=5-4=1(cm).

在Rt△BEP中,PE2+BE2=BP2,即(2t-4)2+12=(7-2t)2,解得t=,

∴当t=时,点P在∠BAC的平分线上. (8分)

(3)t=或5时,△BCP为等腰三角形,且PC≠BC.                      (12分)

当点P在AC上时,∵△BCP为等腰三角形,∠ACB=90°,且PC≠BC,

∴不存在符合题意的点P.

当点P在AB上时,△BCP为等腰三角形,分为以下两种情况:

①当CP=PB时,如图2,过点P作PF⊥BC于点F,∴BF=BC= cm,

易得PB=AB,即2t-3-4=,解得t=.

②当PB=BC时,2t-3-4=3,解得t=5.

　 图1　　　　　 图2