华东师大版八年级数学上册第十四单元《勾股定理》教案

第14章 勾股定理

14.1 勾股定理

1.直角三角形三边的关系

【基本目标】

1.体验勾股定理的探索.

2.会用勾股定理求直角三角形的边长.

【教学重点】

用勾股定理求直角三角形的边长.

【教学难点】

用拼图法证明勾股定理.

一、创设情景，导入新课

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各类图形等.我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前，是非常了不起的成就.

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

二、师生互动，探究新知

1.勾股定理的证明.

【活动】

方法一：

如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明.

【分析】左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.

【教学说明】以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.求直角三角形的边长.

【活动】出示习题：

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=____；

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=____；

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是____.

【答案】（1）13（2）15（3）10或2

【教学说明】先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，按8为直角边或斜边.最后教师板书：在Rt△ABC中，∠C=90°，

三、随堂练习,巩固新知

完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评.

四、典例精析，拓展新知

例如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高.

解：设BD=x，则DC=14-x,

由勾股定理得：AB2-BD2=AC2-CD2,

即132-x2=152-(14-x)2,

解得x=5,

∴AD=132-52=12.

【教学说明】引导勾股定理可由直角三角形中两边求出第三边，也可以为建立三边之间联系提供依据.设BD=x，可否建立方程关系.

五、运用新知，深化理解

完成教材P112习题第1、2题.

【教学说明】第2题中若学生有困难可引导如何构建直角三角形.

六、师生互动，课堂小结

这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上，教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲有所不同，新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单实际的问题.本节课教师从引导构造的图形入手，用面积法证明勾股定理难度不大，但面积法在教材中首次用到，基于此教师在教学过程中应给予适当的引导，让学生体会成功的快乐.

2.直角三角形的判定

【基本目标】

1.理解勾股定理的逆定理的证明方法.

2.能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.

【教学重点】

用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.

【教学难点】

勾股定理逆定理的证明.

一、创设情景，导入新课

【实验观察】

实验方法：用一根打上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起，然后用角尺量出最大角的度数.（90°），可以发现这个三角形是直角三角形.

【显示投影片1】

二、师生互动，探究新知

【教师活动】古埃及人曾经用过这种方法来得到直角，这个三角形三边长分别为多少？（3,4,5）.这三边满足了怎样的条件呢？（32+42=52），是不是只有三边长为3,4,5的三角形才能构成直角三角形呢？请同学们动手画一画，如果三角形的三边分别为2.5cm,6cm,6.5cm,满足关系式“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为5cm,12cm,13cm或8cm,15cm,17cm呢？

【学生活动】动手画图，体验发现，得到猜想.

【教师活动】操作投影仪，提出探究的问题，引导学生思考，然后再提问个别学生.

【学生活动】拿出事先准备好的纸片、剪刀，实验、领会、感悟：（1）它们完全重合；

（2）理由是在△A′B′C′中，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2，因为a2+b2=c2，因此，A′B′=c,从△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′,AC=b=A′C′,AB=c=A′B′，推出△ABC≌△A′B′C′，所以∠C=∠C′=90°，可见△ABC是直角三角形.

【教师归纳】如果一个三角形的三边长a、b、c有关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角.

【教学说明】采用实验、观察、比较的教学方法，突破难点.

出示习题：（投影显示）

1.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A.5,6,7    B.10,8,4

C.7,25,24   D.9,17,15

2.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（）

【教学说明】引导学生用勾股定理的逆定理判别直角三角形的方法.两小边的平方和等于第三边的平方.

三、随堂练习，巩固新知

完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评.

四、典例精析，拓展新知

例 某港口位于东西方向的海岸线上，“远航号”和“海天号”轮船同时离开港口，各自沿固定的方向航行，“远航号”每小时行16海里，“海天号”每小时行12海里，它们离开港口1.5小时后相距30海里，如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？

解：由题意画出示意图，如图，

由“远航号”沿东北方向，知道“海天号”沿西北方向航行.

【教学说明】引导学生画出正确的示意图，体现数学建模思想.

五、运用新知，深化理解

若△ABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.

【教学说明】根据所给条件，只有从关于a,b,c的等式入手，找出a,b,c三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+(b-12)2+(c-13)2=0，求出a=5,b=12,c=13,∵a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.

六、师生互动，课堂小结

这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

这节课在勾股定理的基础上，让学生学会如何从三边的关系来判定一个三角形是直角三角形，即“勾股定理的逆定理”.在证明它时，学生可能有些困难，因此课堂教学时先动手操作观察，进而得出用勾股定理证明A′B′=AB.

教案中设计题型前呼后应，使知识有序推进，有助于学生理解与掌握；通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究的兴趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.

3.反证法

【基本目标】

1.理解反证法.

2.会用反证法证明较简单的题.

【教学重点】

用反证法证明几何命题.

【教学难点】

反证法中渗透“正难则反”的思想.

一、创设情景，导入新课

出示多媒体，展示《路旁苦李》的故事的动画场景，引入反证法的课题.

二、师生互动，探究新知

活动

1反证法的步骤.

教师给出问题：如果你当时也在场，你会怎么办？五戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断正确吗？

学生讨论交流，选代表发言.

如果李子不是苦的，路旁的人很多，早就没有这么多李子.

教师出示，若a2+b2≠c2（a≤b≤c）,则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才五戎的方法推理吗？

学生活动，代表展示.若∠C是直角，则a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，这是不可能的，即△ABC不是直角三角形.

【教师归纳】先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.即：一、反设；二、推理得矛盾；三、假设不成立，原命题正确.

活动2用反证法证明.

教材P116例5.

【教师活动】原命题结论的反向是什么？按照假设可以得到矛盾吗？

【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.

教材P116例6.

【教师活动】△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么？按照假设可以推出矛盾吗？

【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.

【教学说明】在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时，直接不易证明，可考虑反证法.

三、随堂练习，巩固新知

完成练习册中本课时对应的课后作业部分,教师巡视并及时点评，主要是证明格式是否规范.

四、典例精析，拓展新知

例求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

【教师活动】（1）你首选的是哪一种证明方法？（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？（3）能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？

要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）.

【学生活动】讨论交流后独立完成.

五、运用新知，深化理解.

完成教材P117练习第1、2题.

六、师生互动，课堂小结

这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学的难点，如何突破这一难点，并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍：1.思维方向的转换，不能总用直接法；2.证明步骤存在障碍；3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法，应积极引导学生克服上述思维上的障碍，并通过有关题目训练，使学生掌握反证法.

教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时，应穷举；“归谬”这一步应包含“归导”与“揭谬”两个层次.

14.2勾股定理的应用

第1课时 勾股定理的应用（1）

【基本目标】

1.会用勾股定理解决较综合的问题.

2.树立数形结合的思想.

【教学重点】

勾股定理的综合应用.

【教学难点】

勾股定理的综合应用.

一、创设情景，导入新课

如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：

（1） 从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；

（2） 画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数.

二、师生互动，探究新知

如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上运动，量的滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑竿顶端A下滑多少米？

【分析】滑竿在下滑中它的长度是不变的，先在直角三角形ACB中利用勾股定理求出AC的长，然后再在直角三角形ECD中利用勾股定理求出CE的长，即可求出AE的长.

【教师点拨】勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，他的前提是直角三角形，在求解时常运用题目中的条件构造直角三角形，而构造直角三角形方式有两种：一是根据已知条件中的直角构造，二是作垂线构造.

三、随堂练习，巩固新知

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

四、典例精析，拓展新知

例 如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离.

【分析】显然△ABC是直角三角形，根据示意图可求出AC和BC的长，从而根据勾股定理可以求出AB的长.

解：由示意图可知

AC=150－60=90(mm)，BC=180-60=120(mm)

答：两圆孔中心A和B的距离为150mm.

五、运用新知，深化理解.

完成教材P123习题14.2中的第5题.

六、师生互动，课堂小结

这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题（或数学问题）.在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题，也就是通过构造直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量，或者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意化“曲”为“平”，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系.

第2课时 勾股定理的应用（2）

【基本目标】

1.会用勾股定理解决简单的实际问题.

2.树立数形结合的思想.

【教学重点】

勾股定理的应用.

【教学难点】

实际问题向数学问题的转化.

一、创设情景，导入新课

从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性.

二、师生互动，探究新知

例1如右图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

【分析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图），得到矩形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长．（精确到0.01cm）

解：如下图，在Rt△ABC中，BC＝底面周长的一半＝10cm，

∴ AC＝Ab2+Bc2＝42+102＝116≈10.77（cm）（勾股定理）.

答：最短路程约为10.77cm．

三、随堂练习，巩固新知

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

四、典例精析，拓展新知

例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如右图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

【分析】由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB， 与地面交于H．

解：在Rt△OCD中，由勾股定理得

CH＝0.6＋2.3＝2.9（米）＞2.5（米）．

因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.

五、运用新知，深化理解.

完成教材P123习题14.2中的第5题.

六、师生互动，课堂小结

这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题（或数学问题）.在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题，也就是通过构造直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量，或者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意化“曲”为“平”，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系.

本章复习

【基本目标】

进一步理解勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题.

【教学重点】

用勾股定理及逆定理解决问题.

【教学难点】

用勾股定理的逆命题证明几何问题.

一、知识框图，整体建构

二、知识梳理，快乐晋级

本章通过问题的形式来梳理知识，以加深对基础知识的理解，对基本方法的把握.

问题1：勾股定理与逆定理的内容是什么？

问题2：勾股定理与逆定理的证明方法是怎样的，它们各体现什么样的数学思想？你是怎样理解的？

问题3：如何判定一个三角形是直角三角形？

问题4：反证法的步骤是什么？

【教学说明】教师提出的问题以小组竞赛的形式回答，教师根据回答的情况，做必要的讲解与说明.

三、典例精析，升华旧知

例1（1）下列命题中正确的是（）

A.1.5, 2, 2.5是勾股数

B.至少有一个角大于60°的反面是至多有一个角大于60°

C.边长为3a,4a,5a的三角形是直角三角形

D.直角三角形的两边是3和4，它的面积是6

（2）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC=_________.

（3）如图，长方形ABCD中，AB=15cm,点E在AD上，且AE=9cm,连结EC将长方形沿BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处，则A′C=____cm.

【答案】（1）C

（2）45°提示：连结AC，由勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，AB=BC=5即可.

（3）8  由条件知△BA′C≌△CDE,∴A′C=DE，在Rt△CDE中，设A′C=x，∵A′E=AE，∴CE=9+x，∵CE2=CD2+DE2，∴（9+x）2=x2+152，解得x=8(cm).

例2如图圆柱形的玻璃杯，高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是多少厘米？

解：画出全半侧面的展开图，如图，则EF=9cm,AE=4cm,CM=4cm,取点A关于直线EF的对称点A′，则A′E=4cm,连结A′C交EF于P，则PA+PC最短，作GC⊥EN于G，在Rt△A′GC中，AP+PC==15(cm).

【教学说明】本例是“将军饮马”的数学模型与用勾股定理求立体图形表面两点间最短距离的有机融合.注意以处理这两个数学模型的方法讲解.

例3在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为pcm，斜边长为qcm，求这个三角形的面积.

【教学说明】因为Rt△ABC的面积等于ab，所以只要求出ab就可以完成本道题.分析已知条件可知a+b=p,c=q,再联想到勾股定理a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p,a2+b2=q2，求出ab.

例4如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？

【教学说明】对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，BC=x米，AC=(x+1)米，因为池边长为4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得x2+22=(x+1)2解得x=1.5.

例5如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC.

解：因为AD是边BC上的中线，且BC=20，

所以∠ADB=90°，即AD⊥BC.(勾股逆定理)

【教学说明】要求AC的长度，首先确定AC所在的△ACD，而关键是要判断出△ADC是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中线AD=24，所以可以先通过勾股定理判断出△ABD是Rt△，这样就可以得到∠ADC=90°，从而再应用勾股定理求出AC的长.

例6已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD于点D,且CD2+AD2=2AB2.

(1)求证AB=BC;

(2)当BE⊥AD于点E时，试证明：BE=AE+CD.

解：由条件CD2+AD2=2AB2，并结合图形，有CD2+AD2=AC2，又AC2=AB2+BC2（连结AC），从而2AB2=AB2+BC2，有BC=AB（勾股定理功不可没）；（2）过C作CF⊥BE于F,由AB=BC,∠ABE=∠BCF,∠AEB=∠CFB,知△ABE≌△BCF，有BF=AE，且CD=FE,∴BE=BF+EF=AE+CD.

【教学说明】本题将全等三角形与勾股定理有机结合，注意由其平方条件联想勾股定理.

四、师生互动，课堂小结

这节课你有什么收获？还有什么疑惑？复习到哪些数学思想方法？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结归纳.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本章复习应紧紧围绕“勾股定理”为中心，师生共同建构知识网络，回顾各个知识考点、落实四基.在教学过程中发现的疑惑应及时解答.此外教案中的六个例题应试着让学生解答，教师再予以点拨，以达到复习提升的效果.