华师大版八年级上册第14章 勾股定理综合与测试单元测试巩固练习

华师大版初中数学八年级上册第十四章《勾股定理》单元测试卷 

考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，若，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

2. 如图，为直角三角形，，，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的边长分别是、、、，则最大正方形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，把两个边长为的小正方形分别沿它的对角线剪开，将所得的个等腰直角三角形拼在一起，得到一个大正方形，则这个大正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应先假设(    )

A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中有一个内角大于
C. 三角形的三个内角都小于 D. 三角形的三个内角都大于

6. 以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

7. 如图，一棵树树干与地面垂直高米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了的路，却踩伤了花草．(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在处发现处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，一根长米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为米，若竹竿的顶端沿墙下滑米至处，则竹竿底端外移的距离(    )

A. 小于米
B. 等于米
C. 大于米
D. 以上都不对

11. 如图，一个长方体盒子，长，宽，高，若顶点处的一只蚂蚁，要吃顶点处的食物，同时要求它必须经过棱，则蚂蚁爬行的最短路径等于(    )

A.
B.
C.
D.

12. 在算法统宗中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它往前推送尺水平距离时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”绳索长为(    )

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 观察下列几组勾股数，并填空：，，，，，，，，，，，，则第组勾股数为______．
14. 已知是的边上的高，若，，，则的长为______．
15. 一艘轮船以的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以的速度向西南方向航行，则后两船相距______．
16. 九章算术是我国古代重要的数学著作之一．其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图所示，中，，，，求的长．在这个问题中，可求得的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，，，．
    求证：；
    求线段的长度．

18. 如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点处，试判断的形状，并说明理由．

19. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．

20. 如图，网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为四边形的四个点都在格点上．
    四边形的面积为______，周长为______；
    求证：是直角．

21. 如图，四边形中，已知，，，．
    求的度数；
    于，求之长．

22. 有一块田地的形状和尺寸如图所示，求出它的面积是多少．

23. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行海里，乙船每小时航行海里，它们离开港口小时后分别位于点、处，且相距海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．

24. 如图，将长为米的梯子斜靠在墙上，长米．如果将梯子的顶端沿墙下滑米，即等于米，则梯脚外移即长多少米？

25. 如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，工作人员以的速度拉绳子，后船移动到点的位置三点在同一直线上，请你计算船向岸边移动的距离．假设绳子是直的，结果保留根号

答案和解析

1.【答案】 

【解析】在中，，
由正方形面积公式得， ，，
，，
故选D．
 

2.【答案】 

【解析】解：在中，，，
由勾股定理得：，
，
故选：．
直接利用勾股定理求出的长即可．
本题主要考查了勾股定理和坐标系中，点的坐标的表示，求出的长是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：
根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，
，，
于是，
即可得．
故选：．
根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形，，，的面积和即为最大正方形的面积．
本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：两个小正方形的边长为，
两个小正方形的面积和为，
大正方形的面积为，
大正方形的边长为，
故选：．
求出大正方形的面积，再根据正方形的性质计算即可．
本题考查的是、正方形的性质勾股定理，得出两个小正方形的面积和等于大正方形的面积是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，
第一步应先假设三角形的三个内角都小于，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，根据勾股定理的逆定理，以、、为长度的线段无法构成直角三角形，那么不符合题意．
B.因为，根据勾股定理的逆定理，以、、为长度的线段无法构成直角三角形，那么不符合题意．
C.因为，根据勾股定理的逆定理，以、、为长度的线段可以构成直角三角形，那么符合题意．
D.因为，根据勾股定理的逆定理，以、、为长度的线段无法构成直角三角形，那么不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理解决此题．
本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是直角三角形，，，
，
即，
解得：，
故选：．
先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，正确运用勾股定理是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
则，
故选：．
在中，直接利用勾股定理得出的长，再利用进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，，
故选：．
解答此题要将楼梯展开，然后根据两点之间线段最短解答．
本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：在中，米，米，
米，
在中，米，米，
米，
米．
故选：．
要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得和的长即可．
本题考查了勾股定理的应用，注意此题中竹竿的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：展开成平面后，连接，则的长就是绳子最短时的长度，
分为三种情况：
如图，

，，
在中，由勾股定理得：；
如图，

，，
在中，由勾股定理得：，
如图，

同法可求
即绳子最短时的长度是，
故选：．
连接，求出的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时的长，再找出最短的即可．
本题考查平面展开最短路径问题，关键知道蚂蚁爬长方形的对角线长时，路径最短，关键确定长和宽，找到最短路径．
 

12.【答案】 

【解析】解：设绳索有尺长，则
，
解得：．
故绳索长尺．
故选：．
设绳索有尺长，此时绳索长，向前推出的尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
 

13.【答案】，， 

【解析】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是，第二个是：，第三个数是：，
故可得第组勾股数是，，．
故答案为选：，，．
据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第组数，则这组数中的第一个数是，第二个是：，第三个数是：根据这个规律即可解答．
本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．
 

14.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
当是锐角或直角三角形，如图，

，
，
，，
，
，
，
，
；
当是钝角三角形，如图，

同理得：，，
，
；
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
分两种情况：
当是锐角或直角三角形，如图，
当是钝角三角形，如图，
分别根据勾股定理计算和即可．
本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，由已知得，，，
在中，
，
由勾股定理得，
即，
解得：．
故答案为：．
根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答．
本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，
，
．
在中，，
，即．
解得：，
即．
故答案为：．
设，可知，再根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

17.【答案】证明：连接，

的垂直平分线分别交、于点、，
，
，，
，
；

解：，，
．
在中，，
． 

【解析】连接，根据线段垂直平分线的性质得出，求出，再根据勾股定理的逆定理得出答案即可；
根据勾股定理求出答案即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质等知识点，能熟记知识点是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
 

18.【答案】解：的形状是等腰直角三角形，
理由：由网格图可得：，
，
，
，
的形状是直角三角形，
，
的形状是等腰直角三角形， 

【解析】利用勾股定理计算出，，，再利用勾股定理逆定理证出结论即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．
 

19.【答案】解：在中，，
，
又，
，
，
． 

【解析】首先根据勾股定理计算出长，再根据勾股定理逆定理证明，然后再利用直角三角形的面积公式计算可得四边形的面积．
此题主要考查了勾股定理和逆定理，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

20.【答案】  

【解析】解：由题意得：
四边形的面积

，
，
，
，
，
，，，，
四边形的周长，
四边形的面积为，周长为，
故答案为：，；
证明：连接，

由题意得：
，
，
，
是直角三角形，
是直角．
根据题意可得四边形的面积，然后进行计算即可解答，再利用勾股定理求出，，，的长，从而求出四边形的周长；
连接，利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理进行计算，可证是直角三角形，即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：连接，

，，
，，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
的度数为；
，
的面积，
，
，
，
的长为． 

【解析】连接，根据已知可得，在中，根据勾股定理可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答；
利用面积法，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：连接，
在中，为斜边，
已知，，
则，
，
为直角三角形，
，
答：该四边形面积为． 

【解析】在直角中，已知，，根据勾股定理可以求得，根据，，的关系可以判定为直角三角形，根据直角三角形面积计算公式即可计算四边形的面积．
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中正确的判定为直角三角形是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意可得：，海里，海里，
在中，，
，
，
是直角三角形，且，
，
乙船沿南偏东方向航行． 

【解析】直接利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而得出方向角．
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出是直角三角形是解题关键．
 

24.【答案】解：由题意得：米，米，
在中，由勾股定理得：
米，
米，
在中，由勾股定理得：
米，
米，
梯脚外移即长米． 

【解析】直角利用勾股定理求出，的长，再利用，即可求出答案．
本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意，正确应用勾股定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：在中，，，，
，
此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，
，
，
．
答：船向岸边移动了． 

【解析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．