初中华师大版第14章 勾股定理综合与测试课时训练

这是一份初中华师大版第14章 勾股定理综合与测试课时训练，共13页。试卷主要包含了下列各组数据中，不是勾股数的是，观察图形，可以验证，如图，透明的圆柱形玻璃容器等内容，欢迎下载使用。

满分120分


姓名：___________班级：___________学号：___________


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）


A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，6，9


2．如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（ ）





A．9B．5C．53D．45


3．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是（ ）





A．3B．4C．5D．6


4．观察图形，可以验证（ ）





A．a2+b2＝c2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2


C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝a2+2ab+b2


5．满足下列关系的三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形的是（ ）


A．a＜b+cB．a＞b﹣cC．a＝b＝cD．a2＝b2﹣c2


6．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ）


A．25B．14C．7D．7或25


7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（ ）





A．5B．7C．D．


8．如图，在水塔O的东北方向5m处有一抽水站A，在水塔的东南方12m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）





A．10mB．13mC．14mD．8m


9．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（ ）





A．12cmB．14cmC．20cmD．24cm


10．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a4+b4的值为（ ）





A．35B．43C．89D．97


二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）


11．5、12、m是一组勾股数，则m＝ ．


12．若Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，则AC＝ ．


13．命题：“三角形中至多有两个角大于60度”，用反证法第一步需要假设 ．


14．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则BC2+AB2+AC2＝ ．


15．a，b，c是△ABC的三边长，满足关系式|a﹣b|+＝0，则△ABC的形状为 ．


16．已知一个三角形工件尺寸（单位dm）如图所示，则高h＝ dm．





17．如图，一架2.5m长的梯子斜靠在垂直的墙AO上，这时AO为2m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子的底端B向外移动 m．





三．解答题（共8小题，满分62分）


18．（6分）根据三角形的三边a，b，c的长，判断三角形是不是直角三角形：


（1）a＝11，b＝60，c＝61 （2）a＝，b＝1，c＝．


19．（7分）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状，解题过程如下：


∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4①


∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）②


∴c2＝a2+b2③


∴△ABC是直角三角形


上述解题过程有误，请指出错误在①②③的哪一步，并作改正．


20．（7分）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为多少？





21．（8分）如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2﹣CD2．求证：AB＝BC．





22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．


（1）连接AC，求证：△ACD是直角三角形；


（2）求△ACD中AD边上的高．





23．（8分）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．


（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；


（2）求新路CH比原路CA少多少千米？





24．（9分）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．


（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．


（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．





25．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．


（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；


（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．























参考答案


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．解：A、32+42＝52，是勾股数；


B、72+242＝252，是勾股数；


C、82+152＝172，是勾股数；


D、52+62≠92，不是勾股数．


故选：D．


2．解：在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，


∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，


∴S1＝S2+S3．


∵S2＝7，S3＝2，


∴S1＝7+2＝9．


故选：A．


3．解：过D点作DE⊥BC于E．


∵∠A＝90°，AB＝4，BD＝5，


∴AD＝＝＝3，


∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，


∴点D到BC的距离＝AD＝3．


故选：A．





4．解：梯形面积＝，


三个三角形面积之和＝，


可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2，


故选：D．


5．解：当a2＝b2﹣c2，可得：a2+c2＝b2，


所以三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形，


故选：D．


6．解：分两种情况：


①当3和4为两条直角边长时，


由勾股定理得：第三边长的平方＝斜边长的平方＝32+42＝25；


②当4为斜边长时，


第三边长的平方＝42﹣32＝7；


综上所述：第三边长的平方是7或25．


故选：D．


7．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，


∴AB＝＝5，


∵×AC×BC＝×CD×AB，


∴×3×4＝×5×CD，


解得CD＝．


故选：C．


8．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，


∴∠AOB＝90°，


又∵OA＝5m，OB＝12m，


∴AB＝（m）．


故选：B．


9．解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，


作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，





延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，


∵AE＝A'E＝DG＝4cm，


∴BD＝16cm，


Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝＝12cm，


∴则该圆柱底面周长为24cm．


故选：D．


10．解：依题意有：


a2+b2＝大正方形的面积＝13，


2ab＝四个直角三角形的面积和＝13﹣1＝12，


ab＝6，


则a4+b4


＝（a2+b2）2﹣2a2b2


＝（a2+b2）2﹣2（ab）2


＝132﹣2×62


＝169﹣72


＝97．


故选：D．


二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）


11．解：当12是最长边时，52+m2＝122，m＝（舍去）


当m是最长边时，m2＝52+122，m＝13．


故答案是：13．


12．解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，


∴AC＝，


故答案为：10．


13．解：用反证法证明命题“三角形中至多有两个角大于60度”，应先假设三个内角都大于60度．


故答案为：三个内角都大于60度．


14．解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝10，


∴AB2+AC2＝BC2＝100，


∴BC2+AB2+AC2＝2BC2＝200．


故答案是：200．


15．解：∵|a﹣b|+＝0，


∴c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0，


∴a2+b2＝c2，a＝b，


∴△ABC的形状为等腰直角三角形．


故答案为：等腰直角三角形．


16．解：


过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝h，


∵AB＝AC＝5dm，BC＝6dm，


∴AD是BC的垂直平分线，


∴BD＝BC＝3dm．


在Rt△ABD中，


AD＝dm，即h＝4（dm）．


答：h的长为4dm．


故答案为：4．


17．解：∵Rt△OAB中，AB＝2.5m，AO＝2m，


∴OB＝m；


同理，Rt△OCD中，


∵CD＝2.5m，OC＝2﹣0.5＝1.5m，


∴OD＝m，


∴BD＝OD﹣OB＝2﹣1.5＝0.5（m）．


答：梯子底端B向外移了0.5米，


故答案为：0.5．


三．解答题（共8小题，满分62分）


18．解：（1）112+602＝612，故是直角三角形；


（2）（）2+12＝≠（）2，故不是直角三角形．


19．解：错误在第③步，应改为


∴c2＝a2+b2或a2＝b2⇒a＝b，


∴△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．


20．解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，


∵∠QON＝30°，OA＝240米，


∴AC＝120米，


当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，


∵AB＝200米，AC＝120米，


∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，


∵72千米/小时＝20米/秒，


∴影响时间应是：320÷20＝16秒．


答：A处受噪音影响的时间为16秒．





21．证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，


∴AB2+BC2＝AC2．


∵在△ACD中，CD⊥AD，


∴AD2+CD2＝AC2，


∴AB2+BC2＝AD2+CD2，


又AD2＝2AB2﹣CD2，


∴AB2+BC2＝2AB2﹣CD2+CD2，


即AB2＝BC2，


∴AB＝BC．


22．（1）证明：在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，


∴AC＝5，


∵CD＝12，AD＝13，


∴AC2+CD2＝AD2，


∴∠ACD＝90°，


∴△ACD是直角三角形；





（2）解：过点C作CH⊥AD于点H，


则S△ACD＝AD×CH＝AC×CD，


∴×13×CH＝×5×12，


∴CH＝．





23．解：（1）是，


理由是：在△CHB中，


∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，


BC2＝2.25，


∴CH2+BH2＝BC2，


∴CH⊥AB，


所以CH是从村庄C到河边的最近路；


（2）设AC＝x千米，


在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，


由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2


∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，


解这个方程，得x＝1.25，


1.25﹣1.2＝0.05（千米）


答：新路CH比原路CA少0.05千米．


24．解：（1）是．


理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，


∴AM2+NB2＝MN2，


∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．


故答案为是．





（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，


①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，


即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；


②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．


即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．


综上所述BN的长为或．


25．（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，





∴BD＝CD，


∵BC＝10，


∴BD＝5，


Rt△ABD中，∵AB＝13，


∴AD＝＝＝12，


Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，


∴△BDF是等腰直角三角形，


∴DF＝BD＝5，


∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；





（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，





在△CHB和△AEF中，


∵，


∴△CHB≌△AEF（SAS），


∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，


∴∠CEF＝∠CHE，


∴CE＝CH，


∵BD＝CD，FD⊥BC，


∴CF＝BF，


∴∠CFD＝∠BFD＝45°，


∴∠CFB＝90°，


∴EF＝FH，


Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，


∴BF2+EF2＝AE2．





题号
一
二
三
总分
得分