高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课后测评

人教A版（2019）高中数学必修第一册第五章5.6

函数y=Asin（ωxφ）练习题

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、解答题

1．已知函数，且当时的最小值为.

（1）求的值；

（2）先将函数的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求方程在区间上所有根之和.

2．写出将的图像变换后得到的图像的过程，并在同一个直角坐标平面内画出每一步变换对应的函数一个周期的图像（保留痕迹）．

3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）如何由函数y＝sinx的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．

4．用“五点法”画出函数在区间上的图象．

5．已知函数(，，)，在同一个周期内，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1．

(1)求函数的解析式．

(2)函数的图象经过怎样的变换可得到的图象?

(3)求方程在内的所有实数根之和．

6．已知函数.

(1)求函数图象的对称轴；

(2)将函数图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数k的取值范围.

7．2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．被称为火箭的质量比．

(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；

(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度千米/秒，并说明理由．（参考数据：，无理数）

二、单选题

8．为了得到函数的图象，只要将函数的图象（    ）

A．向左平移1个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移1个单位长度 D．向右平移个单位长度

9．函数的图象可以由函数的图象（    ）

A．向右平移个单位得到 B．向左平移个单位得到

C．向右平移个单位得到 D．向左平移个单位得到

10．要得到函数的图像，只需将的图像（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

11．为了得到函数的图像，只需把函数图像上所有点（    ）

A．向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的

B．向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍

C．向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的

D．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的

12．要得到函数的图像，需（    ）

A．将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）

B．将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）

C．将函数图像上所有点向左平移个单位长度

D．将函数图像上所有点向左平移个单位长度

13．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

三、填空题

14．将函数的图象向左平移个单位长度后得到（，，）的图象如图，则的解析式为_____．

15．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若，则所对应的弧长为______．

参考答案：

1．（1）；（2）.

【分析】（1）由于当时的最小值为，所以，从而可求出的值；

（2）由图像变化可得，由得，从而可求出的值

【详解】（1），∵，∴，

∴，∴；

（2）依题意得，由得，

∴()或()，

∴或，解得或，

∴所有根的和为.

【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题

2．答案见解析．图像见解析

【分析】由三角函数图像中的相位变换、周期变换、振幅变换叙述变换过程，然后作出图像变换的过程即可.

【详解】先将的图像上各点向右平移个单位得到函数的图像，

再将函数图像上的每一个点保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到函数的图像.

再将函数图像上的每一个点保持横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数的图像.

3．（1）f(x)＝sin ；（2） 答案见解析.

【分析】（1）由图像可得A＝1，，结合可求出的值，然后将点代入解析式可求出的值，从而可求出函数f(x)的解析式；

（2）利用三角函数图像变换规律求解

【详解】(1)由图像知A＝1.f(x)的最小正周期T＝4×＝π，故＝＝2，

将点代入f(x)的解析式得sin＝1，

又|φ|＜，∴φ＝.

故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.

(2)变换过程如下：

y＝sin x图像上的所有点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图像，再把y＝sin 2x的图像,向左平移个单位y＝sin的图像．

4．答案见解析

【分析】利用五点作图法，列表、描点、连线可作出函数在区间上的图象.

【详解】解：按五个关键点列表如下：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．

5．(1)

(2)答案见解析

(3)

【分析】(1)结合已知条件可求出，最小正周期，然后利用最小正周期公式求，通过代值求出即可；(2)利用平移变换和伸缩变换求解即可；(3)利用正弦型函数的对称性求解即可.

(1)

设的最小正周期为，

由题意可知，，，即，

∴，即，

∵，

∴，，    

又，∴，

∴．

(2)

利用平移变换和伸缩变换可知，的图象向右平移个单位长度，得到的图象，

再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象．

(3)

∵的最小正周期为，

∴在内恰有3个周期，

∴在内有6个实数根，从小到大设为，，，，，，

则，，，

故所有实数根之和为．

6．(1)，；

(2).

【分析】（1）求出，解方程，，即得解；

（2）求出，即函数的图象与直线在上有两个交点，再利用数形结合分析求解.

（1）

解：因为，所以.

令，，解得，，

所以函数图象的对称轴为直线，.

（2）

解：依题意，将函数的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为.

函数在上有两个零点，

即函数的图象与直线在上有两个交点，如图所示，

所以，即，

所以实数k的取值范围为.

7．(1)千米/秒

(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒，理由见解析

【分析】（1）明确各个量的值，代入即可;

（2）求出最大理想速度，利用放缩法比较与的大小即可.

（1）

，，，

，

该单级火箭的最大理想速度为千米/秒.

（2）

，，

，

，

，

.

该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒.

8．B

【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．

【详解】解：，

把函数的图形向左平移个单位可得到函数．

故选：B．

9．A

【分析】化简函数，结合三角函数的图象变换，即可求解.

【详解】由于函数，

故把函数的图象向右平移个单位，即可得到的图象.

故选：A.

10．B

【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可.

【详解】将的图像向右平移个单位长度可得.

故选：B.

11．A

【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可

【详解】将向左平移长度单位，得到，再把所得的各点的横坐标缩短到原来的，可得的图象，

故选：A

12．D

【分析】根据三角函数的图像变换逐项判断即可.

【详解】解：对于A，将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像，错误；

对于B，将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像，错误；

对于C，将图像上所有点向左平移个单位长度后，得到的图像，错误；

对于D，将图像上所有点向左平移个单位长度后，得到的图像，正确.

故选:D.

13．C

【分析】化简，再根据三角函数图象平移的方法求解即可

【详解】，因为向左平移个单位长度得到

故选：C

14．

【分析】由图像可知，函数的最值、最小正周期，可得的值，代入点，进而解得的值，根据函数的图像变换规律，可得答案.

【详解】由题图可知，，函数的最小正周期为，所以，所以．

又，所以，所以（），解得（）．

因为，所以，所以．将函数的图象向右平移个单位长度后可得到函数的图象，

故．

故答案为：.

15．

【分析】根据题意得到圆心角，结合弧长公式，即可求解.

【详解】由题意，可知圆心角，半径，

所以所对应的弧长为．

故答案为：.