2019北京师大附中高一（下）期末数学（教师版）

2019北京师大附中高一（下）期末

数    学

本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分。

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

1. 两圆和的位置关系是（）

A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切

2. 中，若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为（）

A. 30 B. 40 C. 70 D. 90

4. 下列命题中不正确的是（  ）

A. 平面∥平面，一条直线平行于平面，则一定平行于平面

B. 平面∥平面，则内的任意一条直线都平行于平面

C. 一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行

D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线

5. 如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则三棱锥的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，且平面，为的中点，则下列结论错误的是（   ）

A.  B.

C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为

7. 直线与、为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

8. “”是“直线：与直线：垂直”的（   ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（）

A.  B.  C.  D.

10. 已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　）

A. （0，1） B.  C.  D.

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

11. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为________.

12. 在中，若，，，则________．

13. 若实数满足，则取值范围是____________．

14. 已知直线，圆O：上到直线的距离等于2的点有________个．

15. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为___________．

16. 如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区域由所有满足的点组成，则的面积是__________．

三、解答题：其6个小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17. 在中，

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，，求的值

18. 在国内汽车市场中，国产SUV出现了持续不退的销售热潮，2018年国产SUV销量排行榜完整版已经出炉，某品牌车型以惊人的销量成绩击退了所有虎视眈眈的对手，再次霸气登顶，下面是该品牌国产SUV分别在2017年与2018年7～11月份的销售量对比表

（Ⅰ）若从7月至11月中任选两个月份，求至少有一个月份这两年该国产品牌SUV销量相同概率．

（Ⅱ）分别求这两年7月至11月的销售数据的平均数，并直接判断哪年的销售量比较稳定．

19. 如图，已知四棱锥，底面是边长为的菱形，，侧面为正三角形，侧面底面，为侧棱的中点，为线段的中点

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求三棱锥的体积

20. 如图，在三棱柱中，底面，，，，分别为的中点，为侧棱上的动点

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若为线段的中点，求证：平面；

（Ⅲ）试判断直线与平面是否能够垂直．若能垂直，求的值；若不能垂直，请说明理由

21. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求：

（Ⅰ）顶点的坐标；

（Ⅱ）直线的方程

22. 已知圆与轴交于两点，且（为圆心），过点且斜率为的直线与圆相交于两点

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若，求的取值范围；

（Ⅲ）若向量与向量共线（为坐标原点），求的值

2019北京师大附中高一（下）期末数学

参考答案

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

1. 【答案】B

【解析】

【分析】

由圆的方程可得两圆圆心坐标和半径；根据圆心距和半径之间的关系，即可判断出两圆的位置关系.

【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为：和；半径分别为：，

则圆心距：

    两圆位置关系为：相交

本题正确选项：

【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定；关键是明确两圆位置关系的判定是根据圆心距与两圆半径之间的长度关系确定.

2. 【答案】D

【解析】

【分析】

由正弦定理构造方程即可求得结果.

详解】由正弦定理得：

本题正确选项：

【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.

3. 【答案】C

【解析】

【分析】

根据高中抽取的人数和高中总人数计算可得抽样比；利用小学和初中总人数乘以抽样比即可得到结果.

【详解】由题意可得，抽样比为：

则小学和初中共抽取：人

本题正确选项：

【点睛】本题考查分层抽样中样本数量的求解，关键是能够明确分层抽样原则，准确求解出抽样比，属于基础题.

4. 【答案】A

【解析】

【分析】

逐一考查所给的选项是否正确即可.

【详解】逐一考查所给的选项：

A. 平面∥平面，一条直线平行于平面，可能a在平面内或与相交，不一定平行于平面，题中说法错误；

B. 由面面平行的定义可知：若平面∥平面，则内的任意一条直线都平行于平面，题中说法正确；

C. 由面面平行的判定定理可得：若一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，题中说法正确；

D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，题中说法正确.

本题选择A选项.

【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：

（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；

（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.

5. 【答案】A

【解析】

【分析】

利用等体法即可求解.

【详解】三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

因此，三棱锥的体积为，

故选：A.

【点睛】本题考查了等体法求三棱锥的体积、三棱锥的体积公式，考查了转化与化归思想的应用，属于基础题.

6. 【答案】B

【解析】

【分析】

根据余弦定理可求得，利用勾股定理证得，由线面垂直性质可知，利用线面垂直判定定理可得平面，利用线面垂直性质可知正确；假设正确，由和假设可证得平面，由线面垂直性质可知，从而得到，显然错误，则错误；由面面垂直判定定理可证得正确；由可求得三棱锥体积，知正确，从而可得选项.

【详解】，，   

平面，平面   

又平面，    平面

平面    ，则正确；

若，又且   

平面，    平面

平面   

又    ，与矛盾，假设错误，则错误；

平面，    平面

又平面    平面平面，则正确；

为中点   

，   

，则正确

本题正确选项：

【点睛】本题考查立体几何中相关命题的判断，涉及到线面垂直的判定与性质定理的应用、面面垂直关系的判定、三棱锥体积的求解等知识，是对立体几何部分的定理的综合考查，关键是能够准确判定出图形中的线面垂直关系.

7. 【答案】D

【解析】

【分析】

由直线方程可得直线恒过点，利用两点连线斜率公式可求得临界值和，从而求得结果.

【详解】直线恒过点

则，   

本题正确选项：

【点睛】本题考查利用直线与线段有交点确定直线斜率取值范围的问题，关键是能够确定直线恒过的定点，从而找到直线与线段有交点的临界状态.

8. 【答案】A

【解析】

试题分析：由题意得，直线与直线垂直，则，解得或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件，故选A．

考点：两条直线的位置关系及充分不必要条件的判定．

9. 【答案】C

【解析】

【分析】

过作，交于点，交于，根据线面垂直关系和勾股定理可知；由平面可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得为中点，从而得到最小值为重合，最大值为重合，计算可得结果.

【详解】过作，交于点，交于，则底面

平面，平面，

平面平面，又平面    平面

又平面平面，平面   

为中点    为中点，则为中点

即在线段上

，

，

则线段长度的取值范围为：

本题正确选项：

【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.

10. 【答案】B

【解析】

【分析】

先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．

【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为 1，

由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），

由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，

故0，故点M在射线OA上．

设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．

①若点M和点A重合，如图：

则点N为线段BC的中点，故N（，），

把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．

②若点M在点O和点A之间，如图：

此时b，点N点B和点C之间，

由题意可得三角形NMB的面积等于，

即，即 ，可得a0，求得 b，

故有b．

③若点M在点A的左侧，

则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．

设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），

此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|，

即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．

由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．

两边开方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得 b＞1，

故有1b．

综上可得b的取值范围应是 ，

故选B．

【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

11. 【答案】

【解析】

甲、乙两人下棋，只有三种结果，甲获胜，乙获胜，和棋；

甲不输，即甲获胜或和棋，

甲不输的概率为

12. 【答案】2；

【解析】

【分析】

利用余弦定理可构造关于的方程，解方程求得结果.

【详解】由余弦定理得：

解得：或（舍）   

本题正确结果：

【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.

13. 【答案】；

【解析】

【分析】

利用三角换元，设，；利用辅助角公式将化为，根据三角函数值域求得结果.

【详解】    可设，，

本题正确结果：

【点睛】本题考查利用三角换元法求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数值域的求解问题.

14. 【答案】3；

【解析】

【分析】

根据圆心到直线的距离和半径之间的长度关系，可通过图形确定所求点的个数.

【详解】由圆的方程可知，圆心坐标为，半径

圆心到直线的距离：

如上图所示，此时，

则到直线距离为的点有：，共个

本题正确结果：

【点睛】本题考查根据圆与直线的位置关系求解圆上点到直线距离为定值的点的个数，关键是能够根据圆心到直线的距离确定直线的大致位置，从而根据半径长度确定点的个数.

15. 【答案】3；

【解析】

【分析】

由三视图还原几何体，根据垂直关系和勾股定理可求得各棱长，从而得到最长棱的长度.

【详解】由三视图可得几何体如下图所示：

其中平面，，，

，，，

四棱锥最长棱为

本题正确结果：

【点睛】本题考查由三视图还原几何体的相关问题，关键是能够准确还原几何体中的长度和垂直关系，从而确定最长棱.

16. 【答案】

【解析】

,所以点平面区域是底面内以为圆心，以1为半径的外面区域, 则的面积是

三、解答题：其6个小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由正弦定理、二倍角公式，结合可将已知边角关系式化简为，从而求得，根据可求得；（Ⅱ）由三角形面积公式可求得；利用余弦定理可构造方程求得结果.

【详解】（Ⅰ）由正弦定理得：

        ，即

（Ⅱ）由得：

由余弦定理得：   

【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于常考题型.

18. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），，年销售量更稳定.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）列举出所有可能的情况，在其中找到至少一个月份两年销量相同的情况，根据古典概型概率公式求得结果；（Ⅱ）根据平均数和方差的计算公式分别计算出两年销量的平均数与方差；由可得结论.

【详解】（Ⅰ）从月至月中任选两个月份，记为，所有可能的结果为：

，，，，，，，，，，共种情况

记事件为“至少有一个月份这两年国产品牌销量相同”，则有：

，，，，，，，共种情况

，即至少有一个月份这两年国产品牌销量相同的概率为

（Ⅱ）年销售数据平均数为：

方差

年销售数据平均数为：

方差    年的销售量更稳定

【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、计算数据的平均数、利用方差评估数据的稳定性的问题；处理古典概型问题的关键是通过列举的方式得到所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，从而利用公式求得结果.

19. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）连接，交于点；根据三角形中位线可证得；由线面平行判定定理可证得结论；（Ⅱ）由等腰三角形三线合一可知；由面面垂直性质可知平面；根据线面垂直性质可证得结论；（Ⅲ）利用体积桥的方式将所求三棱锥体积转化为；根据已知长度和角度关系分别求得四边形面积和高，代入得到结果.

【详解】（Ⅰ）证明：连接，交于点

四边形为菱形    为中点

又为中点   

平面，平面    平面

（Ⅱ）为正三角形，为中点   

平面平面，平面平面，平面

平面，又平面   

（Ⅲ）为中点   

又，

，

由（Ⅱ）知，   

【点睛】本题考查立体几何中线面平行、线线垂直关系的证明、三棱锥体积的求解问题；涉及到线面平行判定定理、面面垂直性质定理和判定定理的应用、体积桥的方式求解三棱锥体积等知识，属于常考题型.

20. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线BC1与平面APM不能垂直，详见解析

【解析】

分析】

（Ⅰ）由等腰三角形三线合一得；由线面垂直性质可得；根据线面垂直的判定定理知平面；由面面垂直判定定理证得结论；（Ⅱ）取中点，可证得，；利用线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得平面平面；根据面面平行性质可证得结论；（Ⅲ）假设平面，由线面垂直性质可知，利用相似三角形得到，从而解得长度，可知满足垂直关系时，不在棱上，则假设错误，可得到结论.

【详解】（Ⅰ），为中点   

平面，    平面

又平面   

平面，    平面

又平面    平面平面

（Ⅱ）取中点，连接

分别为的中点    且

四边形为平行四边形   

又平面，平面    平面

分别为的中点   

又分别为的中点       

又平面，平面    平面

平面，    平面平面

又平面    平面

（Ⅲ）假设平面，由平面得：

设，

当时，    ∽

由已知得：，，

，解得：    假设错误

直线与平面不能垂直

【点睛】本题考查立体几何中面面垂直、线面平行关系的证明、存在性问题的求解；涉及到线面垂直的判定与性质、线面平行的判定、面面平行的判定与性质定理的应用；处理存在性问题时，常采用假设法，通过假设成立构造方程，判断是否满足已知要求，从而得到结论.

21. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）设，可得中点坐标，代入直线可得；将点坐标代入直线得，可构造出方程组求得点坐标；（Ⅱ）设点关于的对称点为，根据点关于直线对称点的求解方法可求得，因为在直线上，根据两点坐标可求得直线方程.

【详解】（Ⅰ）设，则中点坐标为：

，即：

又，解得：，

（Ⅱ）设点关于的对称点为

则，解得：

边所在的直线方程为：，即：

【点睛】本题考查直线方程、直线交点的求解；关键是能够熟练应用中点坐标公式和点关于直线对称点的求解方法，属于常考题型.

22. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由圆的方程得到圆心坐标和；根据、为等腰直角三角形可知，从而得到，解方程求得结果；（Ⅱ）设直线方程为；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；由垂径定理可得到，利用可构造不等式求得结果；（Ⅲ）直线方程与圆方程联立，根据直线与圆有两个交点可根据得到的取值范围；设，，利用韦达定理求得，并利用求得，即可得到；利用向量共线定理可得到关于的方程，解方程求得满足取值范围的结果.

【详解】（Ⅰ）由圆得：

圆心，

由题意知，为等腰直角三角形

设的中点为，则也为等腰直角三角形

    ，解得：

（Ⅱ）设直线方程为：

则圆心到直线的距离：

由，，可得：，解得：

的取值范围为：

（Ⅲ）联立直线与圆的方程：

消去变量得：

设，，由韦达定理得：

且，整理得：

解得：或

，

与向量共线，    ，

解得：或

不满足   

【点睛】本题考查直线与圆位置关系的综合应用，涉及到圆的方程的求解、垂径定理的应用、平面向量共线定理的应用；求解直线与圆位置关系综合应用类问题的常用方法是灵活应用圆心到直线的距离、直线与圆方程联立，韦达定理构造方程等方法，属于常考题型.