2022北京师大附中高一（上）期末数学（教师版）

2022北京师大附中高一（上）期末

数    学

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合，，1，2，，则　　

A．， B．，0， C．，1， D．，0，1，

2．命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

3．下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为　　

A． B． C． D．

4．已知，，，则　　

A． B． C． D．

5．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成，等级性考试成绩位次由高到低分为、、、、，各等级人数所占比例依次为：等级，等级，等级，等级，等级．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得等级的学生人数为、、、、，各等级人数所占比例依次为：等级，等级，等级，等级，等级．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得等级的学生人数为　　

A．30 B．60 C．80 D．28

6．函数的零点所在的区间是　　

A． B． C． D．

7．向量“，不共线”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为（单位：，鲑鱼的耗氧量的单位数为．科学研究发现与成正比．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900．当时，其耗氧量的单位数为　　

A．1800 B．2700 C．7290 D．8100

9．关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，，

10．已知函数，，其中，若，，，，使得成立则　　

A． B． C． D．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．　　．

12．已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，若甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是 　　．

13．已知甲、乙两组数据已整理成如图所示的茎叶图，则甲组数据的中位数是 　　，乙组数据的分位数是 　　．

14．已知函数

①当时，函数的值域是　　；

②若函数的图象与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是　　．

15．在矩形中，，．

设．

①当，时，　　；

②若，，，2，3，4，5，6，则的最大值是 　　．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（14分）已知向量，，．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）若，求实数，的值；

（Ⅲ）若，求实数的值．

17．（13分）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：

（Ⅰ）求出图中的值；

（Ⅱ）求该班学生这个周末的学习时间不少于20小时的人数；

（Ⅲ）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．

18．（15分）已知函数且．

（Ⅰ）试判断函数的奇偶性，并说明理由；

（Ⅱ）当时，求函数的值域；

（Ⅲ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

19．（14分）空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如表：

现分别从甲、乙两个城市12月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取6天的数据，记录如表：

（Ⅰ）估计甲城市12月份某一天空气质量类别为良的概率；

（Ⅱ）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；

（Ⅲ）记甲城市这6天空气质量指数的方差为．从甲城市12月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为，若，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为；若，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为，试比较，，的大小．（结论不要求证明）

20．（15分）已知函数．

（Ⅰ）判断函数的单调性，并用定义给出证明；

（Ⅱ）解不等式：；

（Ⅲ）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围．

21．（14分）设是不小于3的正整数，集合，，，，，，2，，，对于集合中任意两个元素，，，，，，，．

定义．

定义2：若，则称，，，，，，，互为相反元素，记作，或．

（Ⅰ）若，，1，，，1，，试写出，，以及的值；

（Ⅱ）若，，证明：；

（Ⅲ）设是小于的正奇数，至少含有两个元素的集合，且对于集合中任意两个不相同的元素，，，，，，，，都有，试求集合中元素个数的所有可能值．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．【分析】进行交集的运算即可．

【解答】解：，，1，2，，

，1，．

故选：．

【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“，”的否定是：，．

故选：．

【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．

3．【分析】根据函数奇偶性的定义和基本初等函数的单调性，逐项进行判断即可．

【解答】解：为奇函数，不符合题意，

为非奇非偶函数，不符合题意，

为偶函数，在上单调递减，不符合题意，

为偶函数，且时，单调递增，符合题意．

故选：．

【点评】本题考查函数奇偶性的定义，以及基本初等函数的单调性，属于基础题．

4．【分析】容易得出，，，从而可得出，，的大小关系．

【解答】解：，，，

．

故选：．

【点评】本题考查了对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．

5．【分析】根据分层抽样原理计算等级应抽取的人数．

【解答】解：根据分层抽样原理知，等级应抽取（人．

故选：．

【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．

6．【分析】求出函数的定义域，判断函数的单调性，根据零点判定定理进行判断．

【解答】解：定义域为，

在上是减函数，在上是增函数，

在上是减函数．

（1），（2），

函数在连续，根据函数的零点判定定理可知，

的零点所在的区间是．

故选：．

【点评】本题考查了函数的零点判定定理，属于基础题．

7．【分析】根据向量三角形的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：当向量“，不共线”时，由向量三角形性质得“”成立，即充分性成立，

反之当向量“，方向相反时，满足“”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，

即向量“，不共线”是“”的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量三角形的性质是解决本题的关键，是基础题、

8．【分析】根据正比例函数关系设，代入，可求出，进而可求出时，的值

【解答】解：根据题意设，把，代入可得，

所以，

当时，代入得，解得，

故选：．

【点评】本题考查函数模型的实际应用，运用待定系数法进行解析式的求解是关键，属于基础题．

9．【分析】由题意，分与两类讨论，后者可分离参数，利用基本不等式求得的范围，最后取交集可得答案．

【解答】解：，恒成立，

①当时，成立，；

②当时，原不等式可化为，

，当且仅当，即时取等号，

，

综上所述，实数的取值范围是，，

故选：．

【点评】本题考查函数恒成立问题与绝对值不等式的解法，考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，属于中档题．

10．【分析】由题意可得成立，判断当时不成立，考虑，由题意可得在，内，的值域为的值域的子集，解的不等式可得的值．

【解答】解：，，，，使得成立，

即为，即成立，

显然当时，在，的值域为，，而，，

即的函数值中出现0，不成立，舍去；

则，可得在，的值域为，．

在，的值域为，，

由题意可得在，内，的值域为的值域的子集，

可得，

可得，解方程可得，

故选：．

【点评】本题考查函数的值域求法，以及恒成立与有解问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．【分析】根据幂指数及对数运算性质计算即可．

【解答】解：．

故答案为：．

【点评】本题考查幂指数及对数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．

12．【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解．

【解答】解：设甲运动员命中为事件，乙运动员命中为事件，

则（A），（B）

所以恰有一人命中的概率（A）（B），

故答案为：0.38．

【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．

13．【分析】根据茎叶图中的数据，分别找出甲组数据的中位数和乙组数据的分位数．

【解答】解：根据茎叶图知，甲组数据按从小到大排列为28，31，39，42，45，55，57，58，66；排在中间的一位是中位数，是45；

乙组数据从小到大排列为29，34，35，42，46，48，53，55，67；计算，所以分位数是第3个数，为35．

故答案为：45；35．

【点评】本题考查了中位数与百分位数的定义与应用问题，是基础题．

14．【分析】①，代入解析式可求出的值域；

②根据的图象与直线只有一个公共点，则有且，进而可求出的取值范围

【解答】解：①当时，，

则此时当时，，当时，，所以的值域为，；

②根据解析式可知，当时，；

当时，，

若函数的图象与直线只有一个公共点，

则且，解得，

则实数的取值范围是，．

故答案为，；，．

【点评】本题考查分段函数值域问题，涉及函数单调性等知识点，属于中档题．

15．【分析】建立直角坐标系，向量坐标化求模长的最值即可．

【解答】解：建立如图所示坐标系：

则，，，，

故，，，，，，

①当，时，，，，，，，，，

所以；

②由题意若使模长最大，则，，

不妨设为，，

则，，

当，时模长最大为，

故答案为：①．

【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，模长的最值问题，属于中档题．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．【分析】（Ⅰ）根据坐标运算求出，的值即可；

（Ⅱ）分别求出，和的坐标，根据向量相等得到关于，的方程组，解出即可；

（Ⅲ）根据共线向量的定义得到关于的方程，解出即可．

【解答】解：，，

，，

，

，，，，，

，得，

故，；

，，

，

，

解得．

【点评】本题考查了求向量的模，考查共线向量的定义以及向量的坐标运算，是基础题．

17．【分析】由频率分布直方图列方程，能求出．

由图求出该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率，由此能求出40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数．

不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．

【解答】解：由频率分布直方图得：

，

解得．

由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为：

，

则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为．

不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．

【点评】本题考查频率、频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18．【分析】（Ⅰ）利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；

（Ⅱ）当时，，由及对数的性质可求得函数的值域；

（Ⅲ）依题意，得恒成立，对对数的底数分与两类讨论，即可求得对任意，恒成立时，实数的取值范围．

【解答】解：因为函数的定义域为，所以时，．（1分）

又因为，

所以是偶函数．

当时，．

因为，

所以．

所以（7分）

所以，，即．（8分）

所以当时，函数的值域为，，（9分）

因为恒成立，即恒成立，

所以恒成立．（10分）

①当时，即恒成立．

因为，

所以当时不合题意，（11分）

②当时，即恒成立．

因为，所以．（14分）

所以对任意，恒成立时，实数的取值范围为．（15分）

【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了转化与化归思想和分类讨论思想的应用，考查运算能力，属中档题．

19．【分析】（Ⅰ）根据甲城市这6天内空气质量类别为良的有2天，即可得到答案；

（Ⅱ）先确定总的基本事件数，再求出符合条件的基本事件数，利用概率的计算公式求解即可；

（Ⅲ）直接比较即可．

【解答】解：（Ⅰ）甲城市这6天内空气质量类别为良的有2天，

则估计甲城市12月份某一天空气质量类别为良的概率为．

（Ⅱ）由题意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，

因为，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

所以基本事件数一共有36种，

表示“这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染”，

则，，，，包含4个样本点，

则．

（Ⅲ）．

【点评】本题考查了概率和统计的综合应用，涉及了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解题的关键是正确表示出总的基本事件数．

20．【分析】（Ⅰ）根据题意，利用作差法分析可得结论；

（Ⅱ）由函数的解析式可得，则有，结合函数的单调性分析可得答案；

（Ⅲ）根据题意，原问题等价于方程有且只有一个实数解．利用换元法分析可得答案．

【解答】解：根据题意，在上单调递增；

证明：任取，，且，则；

又由，则有，．

故函数在上单调递增；

根据题意，函数．则，

，

又函数在上单调递增，则有

故不等式的解集为．

（Ⅲ）根据题意，若关于的方程只有一个实根，

即方程有且只有一个实数解．

令，则，问题转化为：

方程有且只有一个正数根，

①当时，，不合题意，

②当时，

若△，则或，

若，则，符合题意；

若，则，不合题意，

若△，则或，

由题意，方程有一个正根和一个负根，即，解得；

综上，实数的取值范围是．

【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数与方程的关系，属于中档题．

21．【分析】（Ⅰ）根据相反元素的定义进行计算即可

（Ⅱ）根据相反元素的定义分别计算出和，进行计算即可

（Ⅲ）根据相反元素的定义结合条件，利用反证法进行证明求解即可

【解答】解：（Ⅰ），，（3分）

（Ⅱ）设，，，，，，，，，

由，，，，，2，，，可得，，2，，

所以，

当且仅当，，2，，，即，，2，，时上式“”成立

由题意可知

即

所以，，2，，（8分）

（Ⅲ）解法1：假设，，，，，，，，，，，为集合中的三个不相同的元素．

则

即

又由题意可知或1，，2，，，，，恰有个1，与个0

设其中个等于1的项依次为个等于0的项依次为

由题意可知

所以，同理

所以

即

因为

由（2）可知

因为

所以，

设，由题意可知

所以，得与为奇数矛盾

所以假设不成立，即集合中至多有两个元素

当时符合题意

所以集合中元素的个数只可能是（13分）

解法2：假设，，，，，，，，，，，为集合中的三个不相同的元素．

则

即

又由题意可知或1，，2，，，，，恰有个1，与个0

设其中个等于1的项依次为个等于0的项依次为

由题意可知

所以①

同理②

①②得

又因为为奇数

与矛盾所以假设不成立，即集合中至多有两个元素

当，，，0，时符合题意

所以集合中元素的个数只可能是2

【点评】本题主要考查集合元素的性质和应用，考查学生的推理能力，综合性较强，难度较大．