2023北京北师大附中高一（上）期末数学（教师版）

2023北京北师大附中高一（上）期末

数    学

一、单选题（本大题共8小题，共40．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（    ）

A.  B.  C.  D. 120

6. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，则函数的减区间是（    ）

A  B.  C.  D.

8. 已知实数，且，则最小值是（    ）

A. 21 B. 25 C. 29 D. 33

二、多选题（本大题共4小题，共20．在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ）

A. ， B. 存在，使得

C. 至少有一个无理数，使得是有理数 D. 有的有理数没有倒数

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 若，则为第一象限角

B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是

C. 终边经过点的角的集合是

D. 在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为

11. 已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A. 是偶函数 B. 在上单调递增

C. 的值域为R D. 当时，有最大值

12. 如图所示，边长为2的正方形ABCD中，O为AD的中点，点P沿着的方向运动，设为x，射线扫过的阴影部分的面积为，则下列说法中正确的是（    ）

A. 在上为减函数 B.

C.  D. 图象的对称轴是

三、填空题（本大题共4小题，共20）

13 求值：__________．

14. 已知幂函数是R上的增函数，则m的值为______．

15. 若“”的必要不充分条件是“”，则实数a的取值范围是______．

16. 已知函数，若方程的实根在区间上，则k的所有可能值是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （1）计算；

（2）计算．

18 已知集合，或．

（1）当时，求；

（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19. 已知是第四象限角．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值．

20. 已知函数．

（1）证明函数为奇函数；

（2）解关于t的不等式：．

21. 某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．

（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；

（2）求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，）

22. 已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且．

（1）判断的奇偶性；

（2）判断的单调性，求在区间上的最大值；

（3）是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、单选题（本大题共8小题，共40．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 【答案】B

【解析】

【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法求解.

【详解】由解得，所以，

由解得，所以，

所以，

故选:B.

2. 【答案】B

【解析】

【分析】A.其值域为，故不符合题意；B.符合题意；CD是函数图象，值域为，故不符合题意.

【详解】解：A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；

B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；

C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；

D是函数图象，值域为，故不符合题意.

故选：B

3. 【答案】D

【解析】

【分析】由题意得，从而得到，结合诱导公式求出答案.

【详解】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，

所以， 所以， 

其中，，

即点的坐标为：．

故选：D．

4. 【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数单调性解不等式，得到解集.

【详解】不等式，

∴，即．

∴或，

解得：或，

∴解集是．

故选：B．

5. 【答案】A

【解析】

【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据求出扇形圆心角.

【详解】因为直径16步，故半径为步，

（平方步），

设扇形的圆心角为，则，

即．

故选：A

6. 【答案】A

【解析】

【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小.

【详解】因为，，，

所以．

故选：A

7. 【答案】C

【解析】

【分析】

先求得的定义域，然后根据复合函数同增异减确定的减区间.

【详解】由解得或，

所以的定义域为.

函数的开口向上，对称轴为，

函数在上递减，

根据复合函数单调性同增异减可知函数的减区间是.

故选：C

8. 【答案】A

【解析】

【分析】根据基本不等式即可求解.

【详解】∵，等式恒成立，

∴，

由于，所以

∵，

当且仅当时，即时取等号．

∴，∴，故的最小值为21．

故选：A

二、多选题（本大题共4小题，共20．在每小题有多项符合题目要求）

9. 【答案】ACD

【解析】

【分析】根据存在量词可判断存在量词命题，进而根据数与式的性质即可判断真假.

【详解】对于A.命题是存在量词命题，所以，使，所以A是真命题，故A正确；

对于B．对应方程，，方程无解，故B错误；

对于C．命题是存在量词命题，，使得是有理数，所以C是真命题；

对于D．有理数0没有倒数 ，故D正确；

故选:ACD．

10. 【答案】BC

【解析】

【分析】A选项，根据同号，确定角所在象限；

B选项，顺时针转动了30°，故B正确；

C选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；

D选项，由扇形面积公式进行求解

【详解】A选项，若，则为第一象限角或第三象限角，故A错误；

B选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动30°，故分针转过的角度是，故B正确；

C选项，终边经过点的角的终边在直线上，故角的集合是，C正确；

D选项，扇形面积为，故D错误．

故选：BC．

11. 【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，根据分母不为0得到定义域，再由奇偶性的定义判断A正确；

B选项，先求出在上均单调递减，结合奇偶性得到B正确；

C选项，由在和上的单调性结合奇偶性得到的值域，C错误；

D选项，根据在上的单调性得到最大值.

【详解】对于A，由得函数定义域为，

所以．

由，

可得函数为偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；

对于B，当且时，函数，

该函数图象可由函数图象向右平移2个单位得到，

所以函数在和上均单调递减，

由偶函数性质，可知在上单调递增，故B正确；

对于C，由B可得，当且时，

函数在和上均单调递减，

所以该函数在的值域为；

又因为函数为偶函数，且，

所以在其定义域上的值域为，故C错误；

对于D，当时，函数在上单调递增，

在上单调递减，所以有最大值为，故D正确．

故选：ABD．

12. 【答案】BC

【解析】

【分析】当点在的中点时，此时，即可判断B，根据阴影部分的面积变化可知的单调性，进而可判断A，根据面积的之和为4，可判断对称性，进而可判断CD.

【详解】对于A选项，取的中点为，当时,点在之间运动时，阴影部分的面积增加，所以在上单调递增，A选项错误；

对于B选项，当点在的中点时，此时，所以，，故B正确，

对于C选项，取BC的中点G，连接OG，

作点P关于直线OG的对称点F，则，所以，

OF绕O点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知，

因为，即，C选项正确；

对于D选项，由C选项可知，，则，

所以，，

所以，函数的图象不关于直线对称，D选项错误．

故选：BC

三、填空题（本大题共4小题，共20）

13. 【答案】

【解析】

【分析】利用终边相同的角同名三角函数值相等和诱导公式即可求解

【详解】，

，

所以

故答案：.

14. 【答案】3

【解析】

【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出的值．

【详解】由题意是幂函数，

，解得或，

又是R上的增函数,则 .

故答案为：3.

【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于的方程和不等式，是基础题．

15. 【答案】

【解析】

【分析】将必要不充分条件转化为集合之间在关系，即可列不等式求解.

【详解】由于“”的必要不充分条件是“”，所以

则且两个等号不同时取得，解得，经检验和均符合要求，

故a的取值范围是．

故答案为：

16. 【答案】－3，－2或1

【解析】

【分析】先由求出，确定，再变形得到，画出两函数图象，数形结合得到两个根，结合零点存在性定理得到两根分别在与内，从而确定k的所有可能值.

【详解】①由方程，解得：，

因为，

故；

②由于方程即方程，分别作出左右两边函数的图象，

从图象上可得出：方程在区间内有一个实根．

故方程在区间内有且仅有一个实根．此时，

下面证明：方程在区间内有一个实根，

函数，在区间和内各有一个零点，

因为时，，故函数在区间是增函数，

又，，

即， 由零点存在性定理知，函数在区间内仅有一个零点，

即方程在区间内有且仅有一个实根，

此时.

故答案为：－3，－2或1．

四、解答题（本大题共6小题，共70．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17 【答案】（1）0；（2）3.

【解析】

【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行计算；

（2）利用对数运算法则及性质进行计算.

【详解】（1）

；

（2）

.

18. 【答案】（1）或；（2）

【解析】

【分析】（1）先求出集合，再求；

（2）先求出，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数的取值范围.

【详解】（1）当时，.

因为或，

所以或；

（2）因为或，所以.

因为“”是“”的充分不必要条件，

所以A.

当时，符合题意，此时有，解得：a<0.

当时，要使A，只需，解得：

综上：a<1.

即实数的取值范围.

19. 【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再结合诱导公式，化弦为切，代入求值即可；

（2）变形得到，求出的值.

【小问1详解】

∵是第四象限角，，所以，

∴，

∴．

【小问2详解】

∵，

∴，

∴或．

20. 【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明，

（2）根据函数的单调性以及奇偶性即可转化成自变量的大小关系，解不等式即可.

【小问1详解】

因为函数的定义域为，关于原点对称，

且，

所以函数是奇函数；

【小问2详解】

由，由于为定义域内的单调递增函数且，所以单调递减，因此函数是定义域为的增函数，

而不等式可化为，

再由可得，

所以，解得，

故不等式的解集为．

21. 【答案】（1）选择模型符合要求；该函数模型的解析式为，，；   

（2）六月份.

【解析】

【分析】（1）根据两函数特征选择模型，并用待定系数法求解出解析式；

（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合，解出，得到答案.

【小问1详解】

函数与在上都是增函数，

随着的增加，函数的值增加的越来越快，

而函数的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，

因此选择模型符合要求．

根据题意可知时，；时，，

∴，解得．

故该函数模型的解析式为，，；

【小问2详解】

当时，，元旦治愈效果的普姆克系数是，

由，得，

∴，

∵，∴，

即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份．

22 【答案】（1）奇函数；   

（2）为上的减函数；在上的最大值为6；   

（3）存在，实数a的取值范围为．

【解析】

【分析】（1）赋值法得到，，得到函数的奇偶性；

（2）先由时，利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到，从而得到在区间上的最大值；

（3）先根据单调性得到，问题转化为，恒成立，令，为一次函数，得到不等式组，求出实数a的取值范围.

【小问1详解】

取，则，

∴，

取，，则，

∴对任意恒成立，

∴奇函数；

【小问2详解】

任取且， 则，

因为，故，

令，则有，

即，

∵时，，

故时，，

∴，

∴．

故为上的减函数．

∴，，

∵，，

令，则，故，

因为

令，则，即，

由（1）知：为奇函数，故，

故，解得：，

故，

故在上的最大值为6；

【小问3详解】

∵在上是减函数，

∴，

∵，对所有，恒成立．

∴，恒成立；

即，恒成立，

令，则，即，

解得：或．

∴实数a的取值范围为．