2019北京丰台高一（下）期末数学含答案

2019北京丰台高一（下）期末

数    学   2019.7

注意事项：

1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、自己清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

第一部分  （选择题  共40分）

一、选择题共10道小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 某学校的A，B，C三个社团分别有学生20人，30人，10人，若采用分层抽样的方法从三个社团中共抽取12人参加某项活动，则从A社团中应抽取的学生人数为

A. 2   B. 4   C. 5   D. 6

2. 直线的倾斜角是

A.    B.    C.    D.

3. 在△ABC中，已知b=3,c=8,A=,则△ABC的面积等于

A. 6   B. 12   C. 6   D. 12

4. 以点（1，2）为圆心，且经过点（2，0）的圆的方程为

A.    B.

C.   D.

5. 在区间[0,9]随取一个实数x，则x∈[0,3]的概率为

A.    B.    C.    D.

6. 若直线与直线平行，则a的值为

A. -1   B. 0   C. 1   D. -1或1

7. 已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是

A.    B.    C.    D.

8. 已知两条直线m,n两个平面α，β，下面说法正确的是

A. m⊥n    B. mn

C.    D.

9.如果将直角三角形的三边都增加1个单位长度，那么新三角形

A.一定是锐角三角形    B.一定是钝角三角形

C.一定是直角三角形    D.形状无法确定

10. 在正方体ABCD-中，当点E在（与，不重合）上运动时，总有：

①AE∥B   ②平面A平面BD

③AE∥平面B  ④

以上四个推断中正确的是

A. ①②   B. ①④

C. ②④   D. ③④

第二部分  （非选择题  共60分）

二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 如果事件A与事件B互斥，且P（A）=0.2，P（B）=0.3，则P（A∪B）=             。

12. 过点A（0，2），且与直线x+y+1=0垂直的直线方程为              。

13. 某幼儿园对儿童记忆能力的量化评价值x和识图能力的量化评价值y进行统计分析，得到如下数据：

由表中数据，求得回归直线方程,则           。

14. 某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上正方形的边长为1，那么该四棱锥最长棱的棱长为        。

15. 如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，此时乙船与灯塔A之间的距离为                            海里，两艘轮船之间的距离为                            海里

16. 已知点A（-a,0）,B(a,0)(a>0),点C在圆上，且满足∠ACB=90°，则a的最小值是           。

三、解答题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17. （本小题7分）

在△ABC中，a=7,c=3,且5sinC=3sinB

（I）求b的值；

（II）求A的大小。

18. （本小题9分）

为了评估A，B两家快递公司的服务质量，现从两家公司的客户中各随机抽取100名客户作为样本，进行服务质量满意度调查，现将A，B两公司的调查得分分别绘制成频率分布表和频率分布直方图。规定60分以下为对该公司服务质量不满意。

A公司     B公司

(I)求样本中对B公司的服务质量不满意的客户人数；

（II）现从样本对A，B两个公司服务质量不满意的客户中，随机抽取2名进行走访，求这两名客户都来自于B公司的概率；

（III）根据样本数据，试对两个公司的服务质量进行评价，并阐述理由。

19. （本小题10分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，且AD=，∠ABC=90°。

（I）求证：PA⊥BC；

（II）若E为PB的中点，求证：AE∥平面PCD。

20. （本小题10分）

已知圆M：.

（I）求过点（-1，-2）的圆M的切线方程；

（II）设圆M与x轴相交于A，B两点，点P为圆M上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与直线x=3交于C，D两点。

（i）当点P的坐标为（0，1）时，求以CD为直径的圆的圆心坐标及半径；

（ii）当点P在圆M上运动时，以CD为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？请说明理由。

2019北京丰台区高一（下）期末数学

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．

二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．

 注：第15题每空2分．

三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．（本小题共7分）

解：（Ⅰ）因为，

所以由正弦定理可得．                        ……………………2分

因为，      

所以．                                                    ……………………3分

（Ⅱ）由余弦定理 ．               ……………………5分

因为三角形内角，                                       ……………………6分

所以．                                                   ……………………7分

18．（本小题共9分）

解：（Ⅰ）样本中对B公司的服务质量不满意的频率为，

         所以样本中对B公司的服务质量不满意的客户有人．      ……………………2分

（Ⅱ）设“这两名客户都来自于B公司”为事件M．                       ……………………3分

对A公司的服务质量不满意的客户有人，分别记为，；

对B公司的服务质量不满意的客户有3人，分别记为，，．

现从这5名客户中随机抽取2名客户，不同的抽取的方法有，，，，

，，，，，共10个；     ……………………5分

其中都来自于B公司的抽取方法有，，共3个，  ……………………6分

所以．

所以这两名客户都来自于B公司的概率为．                      ……………………7分

（Ⅲ）答案一：由样本数据可以估计客户对A公司的服务质量不满意的频率比对B公司服务质量不满意的频率小，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量好．     ……………………9分

答案二：由样本数据可以估计A公司的服务质量得分的众数与B公司服务质量得分的众数相同，由此推断A公司的服务质量与B公司的服务质量相同．               ……………………9分

答案三：由样本数据可以估计A公司的服务质量得70分（或80分）以上的频率比B公司得70分（或80分）以上的频率小，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量差．

……………………9分

答案四：由样本数据可以估计A公司的服务质量得分的平均分比B公司服务质量得分的平均分低，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量差．             ……………………9分

（其他答案酌情给分）          

19．（本小题共10分）

证明：（Ⅰ）因为，

所以．

因为平面平面，且平面平面，

所以平面．                                         ……………………3分

因为平面，

所以．                        ……………………5分

（Ⅱ）证明：取中点，连接，．   ……………………6分

因为为中点，

所以，且．

因为，且，

所以，且，

所以四边形为平行四边形．

所以．                                               ……………………8分

因为平面，平面，

所以平面．                                         ……………………10分

20．（本小题共10分）

解：（Ⅰ）因为点在圆外，

         所以圆过点的切线有两条．                            

当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足条件．             ……………………1分

当直线的斜率存在时，可设为，

即．                                            ……………………2分

由圆心到切线的距离，解得．                  ……………………3分

此时切线方程为．                                  ……………………4分

综上，圆的切线方程为或．

（Ⅱ）因为圆与轴相交于，两点，所以，．

（ⅰ）当点坐标为时，

直线的斜率为，直线的方程为．

直线与直线的交点坐标为．                         ……………………5分

同理直线的斜率为，直线的方程为．

直线与直线的交点坐标为．                       ……………………6分

所以以为直径的圆的圆心为，半径．                  ……………………7分

（ⅱ）以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．

设点，则．

直线的斜率为，直线的方程为．

直线与直线的交点坐标为．

同理直线的斜率为，直线的方程为．

直线与直线的交点坐标为．

所以圆的圆心，半径为．

方法一：圆被轴截得的弦长为

．

所以以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．               ……………………10分

方法二：圆的方程为．

令，解得

．

所以．

所以圆与轴的交点坐标分别为，．

所以以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．               ……………………10分

（若用其他方法解题，请酌情给分）