2021北京首都师大附中高一（下）期末数学（教师版）

2021北京首都师大附中高一（下）期末

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1．（4分）已知复数，则　　

A． B． C．3 D．5

2．（4分）“点在直线上，在平面内”可表示为　　

A．， B．， C．， D．，

3．（4分）已知，，，则等于　　

A． B． C． D．

4．（4分）如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则三棱锥的体积为　　

A． B． C． D．

5．（4分）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：

①，，，②，

③，，④，

其中正确命题的个数有　　

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．（4分）已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的高为　　

A．1 B． C． D．2

7．（4分）函数是　　

A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为 

C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为

8．（4分）在中，，则的形状为　　

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

9．（4分）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是　　

A．为偶函数 

B． 

C．当时，在上有3个零点 

D．若在上单调递减，则的最大值为9

10．（4分）点，分别是棱长为2的正方体中棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动．若面，则的长度范围是　　

A． B． C． D．，

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．（4分）若，则　　．

12．（4分）已知，则　　．

13．（4分）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高　　．

14．（4分）用“五点法”作函数的图象时，列表如下：

则　　，　　．

15．（4分）如图，在四棱锥中，底面四边形的两组对边均不平行．

①在平面内不存在直线与平行；

②在平面内存在无数多条直线与平面平行；

③平面与平面的交线与底面不平行；

上述命题中正确命题的序号为　　．

三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）

16．（10分）已知函数．

（1）求的最小正周期及单调递增区间；

（2）求在，上的最大值和最小值．

17．（10分）已知的面积为，，，求：

（1）和的值；

（2）的值．

18．（10分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点．设平面与平面的交线为．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）在棱上是否存在点（异于点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

19．（10分）设为正整数，集合，，，，，，2，，，对于集合中的任意元素，，，和，，，记，．

（Ⅰ）当时，若，1，，，1，，求和的值；

（Ⅱ）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，，当，相同时，是奇数；当，不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，，，写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1．【分析】根据已知条件，直接求出的模．

【解答】解：复数，

．

故选：．

【点评】本题考查了复数的模，属于基础题．

2．【分析】根据点与线面的关系是和的关系，线与面是包含与不包含的关系，即可得到答案．

【解答】解：点在直线上，在平面内，

，，

故选：．

【点评】本题考查了平面上的线面关系的表示方法，属于基础题．

3．【分析】题干错误：，，应该：，，请给修改，谢谢．

利用同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号求得的值，从而求得的值．

【解答】解：已知，，，，，

故选：．

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．

4．【分析】取的中点，可知面，根据三棱锥的体积公式求三棱锥的底面积和高，再求出体积．

【解答】解：正三棱柱的所有棱长均为1，

三棱锥的体积等于的体积，也等于的体积，

取的中点，则由正三棱柱的性质可知，面，

．

三棱锥的体积，

故选：．

【点评】本题考查正三棱柱的性质以及三棱锥的体积的计算，利用三棱锥的体积相等进行转化是解决本题的关键，属于基础题．

5．【分析】由面面平行的判定定理，即可判断①的正误；运用线面平行的性质定理，即可判断②的正误；

由面面平行的定义和性质，即可判断③的正误；由线面的位置关系，及线面平行的性质即可判断④的正误．

【解答】解：①由，，且，，，故①不正确；

②，，如果则不可能有，可得②不正确；

③，，或，异面，则③不正确；

④，或，异面，则④不正确．

综上可得，没有正确的命题．

故选：．

【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，注意运用判定定理和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．

6．【分析】求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的高．

【解答】解：设圆锥的底面半径为，

根据圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，

可得，解得，

所以此圆锥的高为．

故选：．

【点评】本题考查了圆锥的结构特征，是基础题．

7．【分析】根据可得，从而可得为偶函数；可令，则，从而根据二次函数的性质可得的最大值．

【解答】解：，

则，所以为偶函数；

令，则，对称轴为，

所以在，上单调递增；在，上单调递减．

所以当时有最大值且最大值为．

故选：．

【点评】本题考查三角函数的最值，涉及同角三角函数的基本关系及二次函数的性质，考查学生的逻辑推理与运算求解的能力，属于基础题．

8．【分析】直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简求解即可判断三角形的形状．

【解答】解：，即，

由余弦定理可得：，

整理可得，

三角形是直角三角形．

故选：．

【点评】本题考查三角形形状的判断，余弦定理以及二倍角公式的应用，考查计算能力，属于基础题．

9．【分析】求出函数的解析式，判断函数的奇偶性，函数值，函数的零点以及函数的单调性判断选项的正误即可．

【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，可得，5，

所以，

为偶函数，正确；

．正确．

当时，，函数的周期为，，解得，，

可得，，在上有3个零点，正确．

如果的最大值为9，则：，在上单调递减，不正确；

故选：．

【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及三角函数的图象变换，函数的零点以及函数的单调性，是基本知识的考查．

10．【分析】取的中点，的中点，连结，，，取中点，连结，推导出平面平面，从而点的轨迹是线段，由此能求出的长度范围．

【解答】解取的中点，的中点，连结，，，取中点，连结，

点，分别是棱长为2的正方体中棱，的中点，

，，

，，

平面平面，

动点在正方形（包括边界）内运动，且面，

点的轨迹是线段，

，，

，

当与重合时，的长度取最小值，

当与（或重合时，的长度取最大值为．

的长度范围为，．

故选：．

【点评】本题考查线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可．

【解答】解：，

故答案为：．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

12．【分析】利用两角差的余弦公式化简已知等式可得，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式即可求解．

【解答】解：因为，所以，

所以，两边平方可得，

所以．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

13．【分析】由题意，可先求出的值，从而由正弦定理可求的值，在中，，，从而可求得的值．

【解答】解：在中，，，所以．

在中，，，从而，

由正弦定理得，，因此．

在中，，，由

得．

故答案为：150．

【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，考察了解三角形的实际应用，属于中档题．

14．【分析】由“五点法”作函数的图象时，列表得：，且，解得，，从而，由此能求出结果．

【解答】解：由“五点法”作函数的图象时，列表得：

，且，解得，，

，

，

，

，

．

故答案为：，0．

【点评】本题考查函数值的求法，考查三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15．【分析】①用反证法利用线面平行的性质即可证明．

②设平面平面，则平面，且在平面中有无数无数多条直线与平行，即可判断；

③用反证法利用线面平行的性质即可证明．

【解答】解：①用反证法．

设在平面内存在直线与平行，

则平面，

又平面平面，平面平面，

故，与已知矛盾，故原命题正确；

②设平面平面，

则平面，且在平面中有无数无数多条直线与平行，

故在平面内存在无数多条直线与平面平行，命题正确；

③用反证法．

设平面与平面的交线与底面平行，

则，，

可得：，与已知矛盾，故原命题正确．

故答案为：①②③．

【点评】本题主要考查了线面平行的判定与性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．

三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）

16．【分析】（1）首先利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的最小正周期和函数的单调区间；

（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．

【解答】解：（1）函数．

所以函数的最小正周期为，

令，整理得：，．

故函数的单调递增区间为．

（2）由于，

所以，

则，

当时，的最小值为，

当时，的最大值为．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

17．【分析】（1）根据已知条件，运用三角函数的同角公式，可得，即可得，解得，再结合余弦定理，即可求解的值．

（2）根据已知条件，运用正弦定理，可得，再结合三角函数的同角公式和正弦函数的两角差公式，即可求解．

【解答】解：（1），

，

，

，

，

，

，解得，

由余弦定理可得，，

．

（2），

，

，

，

．

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．

18．【分析】（1）由于底面为平行四边形，为中点，则，由线面平行的判定定理可得答案．

（2）先由线面平行的判定定理可得平面，又平面，平面平面，即可得出答案．

（3）假设存在上存在点（异于点，使得平面，又平面，推出平面，与平面与平面的交线为，矛盾，即可得出答案．

【解答】解：（1）证明：因为底面为平行四边形，

所以为中点，

又为中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）证明：因为底面为平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面，

又平面，

又平面平面，

所以．

（3）假设存在上存在点（异于点，使得平面，

在平行四边形中，，

因为平面，平面，

所以平面，

因为平面，

因为平面，平面，

，

所以平面平面，与平面与平面的交线为，矛盾，

所以在棱上不存在点（异于点，使得平面．

【点评】本题考查线面平行的判定，性质定理，解题中需要一定的逻辑推理能力，属于中档题．

19．【分析】（Ⅰ）直接根据定义计算．

（Ⅱ）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明．

（Ⅲ）根据抽屉原理即可得证．

【解答】解：，，．

考虑数对，只有四种情况：、、、，相应的分别为0、0、0、1，

所以中的每个元素应有奇数个1，

所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）

，0，0，、，1，0，、，0，1，、，0，0，，

，1，1，、，0，1，、，1，0，、，1，1，，

对于任意两个只有1个1的元素，都满足是偶数，

所以四元集合，0，0，、，1，0，、，0，1，、，0，0，满足题意，

假设中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，

除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素，

则互补元素中含有1个1的元素与之满足不合题意，

故中元素个数的最大值为4．

（Ⅲ），0，0，，，0，，，，1，0，，，0，，

，0，0，，，

此时中有个元素，下证其为最大．

对于任意两个不同的元素，，满足，则，中相同位置上的数字不能同时为1，

假设存在有多于个元素，由于，0，0，，与任意元素都有，

所以除，0，0，，外至少有个元素含有1，

根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时不满足题意，

故中最多有个元素．

【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大．