2022北京平谷高一（上）期末数学（教师版）

2022北京平谷高一（上）期末

数    学

一､选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）

1. 设全集，集合，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 函数的最小正周期是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式化简后的结果为的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 下列不等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 函数的图象与函数的图象的交点个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6. 已知a，b，，那么下列命题中正确是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，，则 D. 若，，则

7. 已知函数．则“是偶函数“是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 某人围一个面积为32矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建（其平面示意图如下），墙高3，新墙的造价为1000元/，则当x取（    ）时，总造价最低？（假设旧墙足够长）

A. 9 B. 8 C. 16 D. 64

9. 已知定义在上的偶函数满足下列条件：①是周期为2的周期函数；②当时，.那么值为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

10. 某时钟的秒针端点到中心点的距离为5cm，秒针绕点匀速旋转，当时间：时，点与钟面上标12的点重合，当两点间的距离为（单位：cm），则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

二､填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）

11. 函数定义域是___________.

12. 已知奇函数f（x），当，，那么___________.

13. 已知，则__________．

14. 在平面直角坐标系xOy中，设角α始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.那么___________，=___________.

15. 从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果).

根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是____

①2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里;

②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率;

③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年;

④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增;

三､解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16. 已知集合，，全集.

（1）求，；

（2）求；

（3）如果，且，求的取值范围.

17. 已知α是第二象限角，且.

（1）求，的值；

（2）求的值.

18. 已知二次函数.

（1）当对称轴为时，

（i）求实数a的值；

（ii）求f（x）在区间上的值域.

（2）解不等式.

19. 已知函数最小正周期是π.

（1）求的值；

（2）求证：当时.

20. 已知函数

（1）求，的值；

（2）作出函数的简图；

（3）由简图指出函数的值域；

（4）由简图得出函数的奇偶性，并证明.

21. 已知函数，.

（1）列表，描点，画函数的简图，并由图象写出函数的单调区间及最值；

（2）若，，求值.

2022北京平谷高一（上）期末数学

参考答案

一､选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）

1. 设全集，集合，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【详解】根据题意，全集，而，

则，

故选：．

2. 函数的最小正周期是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【详解】根据三角函数的周期公式得，

函数的最小正周期是，

故选：．

3. 下列各式化简后的结果为的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【详解】解：A. ；

B. ；

C. ；

D. .

故选：A

4. 下列不等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【详解】因为， 

，

，所以，

故选：A.

5. 函数的图象与函数的图象的交点个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【详解】解：在同一个坐标系下作出两个函数的图象如图所示，

则交点个数为为2.

故选：C

6. 已知a，b，，那么下列命题中正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】C

【详解】．若，当时， ，所以不成立；

．若，当时，则，所以不成立；

．因为，将两边同除以，则，所以成立

．若且，当时，则，所以，则不成立．

故选：．

7. 已知函数．则“是偶函数“是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若，则，，所以为偶函数；

若为偶函数，则，，不一定等于.

所以“是偶函数“是“”的必要不充分条件.

故选：B

8. 某人围一个面积为32的矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建（其平面示意图如下），墙高3，新墙的造价为1000元/，则当x取（    ）时，总造价最低？（假设旧墙足够长）

A. 9 B. 8 C. 16 D. 64

【答案】B

【详解】由题设，总造价，

当且仅当时等号成立，即时总造价最低.

故选：B.

9. 已知定义在上偶函数满足下列条件：①是周期为2的周期函数；②当时，.那么值为（    ）

A  B.  C.  D. 2

【答案】B

【详解】因为是周期为2的周期函数，

所以，

又函数定义在上的偶函数，所以

又当时，，所以.

所以值为.

故选：B.

10. 某时钟的秒针端点到中心点的距离为5cm，秒针绕点匀速旋转，当时间：时，点与钟面上标12的点重合，当两点间的距离为（单位：cm），则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【详解】由题知，圆心角为，过O作AB的垂线，则．

故选：D

二､填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）

11. 函数的定义域是___________.

【答案】且

【详解】根据题意可得如下不等式组，

解得且.
 

答案：且.

12. 已知奇函数f（x），当，，那么___________.

【答案】

【详解】由f（x）为奇函数，可知，则

又当，，则

故

故答案为：

13. 已知，则__________．

【答案】

【详解】∵tanα=3，∴sinα•cosα .

故答案为.

14. 在平面直角坐标系xOy中，设角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.那么___________，=___________.

【答案】    ①. ##0.75    ②. ##-0.6

【详解】由三角函数的定义及已知可得：

，．

所以．

又．

故答案为：，

15. 从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果).

根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是____

①2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里;

②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率;

③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年;

④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增;

【答案】②③

【详解】①看2014，2015年对应的纵坐标之差小于，故①错误；

②连线观察2013年到2016年两点连线斜率更大，故②正确；

③2013年到2014年两点纵坐标之差最大，故③正确；

④看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故④错误；

故答案为：②③.

三､解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16. 已知集合，，全集.

（1）求，；

（2）求；

（3）如果，且，求的取值范围.

【答案】（1），   

（2）   

（3）

【小问1详解】

根据题意，可得：，函数在区间上单调递增，则有：

故有：

函数在区间上单调递增，则有：

综上，答案为：，

【小问2详解】

由（1）可知：，

则有：

故有：
 

故答案为：

【小问3详解】

由于，且，

则有：，

故的取值范围为：
 

故答案为：

17. 已知α是第二象限角，且.

（1）求，的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；   

（2）.

【小问1详解】

解：因为，所以

又，α是第二象限角，

所以.

【小问2详解】

解：

.

18. 已知二次函数.

（1）当对称轴为时，

（i）求实数a的值；

（ii）求f（x）在区间上的值域.

（2）解不等式.

【答案】（1）（i）；（ii）.   

（2）答案见解析.

【小问1详解】

解：（i）由题得；

（ii），对称轴为，

所以当时，.

.

所以f（x）在区间上的值域为.

【小问2详解】

解：，

当时，；

当时，，

当时，不等式解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，，

所以不等式的解集为.

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时， 不等式的解集为.

19. 已知函数最小正周期是π.

（1）求的值；

（2）求证：当时.

【答案】（1）2；    （2）证明见解析

（2）利用三角函数的图象和性质，结合不等式逐步求出函数的最值即得证.

【小问1详解】

解：由题得.

【小问2详解】

证明：，

因为，

，

，

所以当时.

即得证.

20. 已知函数

（1）求，的值；

（2）作出函数的简图；

（3）由简图指出函数的值域；

（4）由简图得出函数的奇偶性，并证明.

【答案】（1），；   

（2）作图见解析；    （3）；   

（4）为奇函数，证明见解析.

【小问1详解】

由解析式知：，.

【小问2详解】

由解析式可得：

∴的图象如下：

【小问3详解】

由（2）知：的值域为.

【小问4详解】

由图知：为奇函数，证明如下：

当，时，；

当，时，；

又的定义域为，则为奇函数，得证.

21. 已知函数，.

（1）列表，描点，画函数的简图，并由图象写出函数的单调区间及最值；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）图象见解析，在、上递增，在上递减，且最大值为1，最小值为-1；   

（2）答案见解析.

【解析】

【小问1详解】

由解析式可得：

∴的图象如下图示：

∴在、上递增，在上递减，且最大值为1，最小值为-1.

【小问2详解】

1、若，，则，故；

2、若，，

当，则；

当，此时无解；

当，则；

3、若，，则，故无解；