2022北京通州高一（上）期末数学（教师版）

2022北京通州高一（上）期末

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合，0，，，则　　

A． B． C．， D．，

2．已知，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知函数，则　　

A．当且仅当时，有最小值为1 

B．当且仅当时，有最小值为2 

C．当且仅当时，有最大值为1 

D．当且仅当时，有最大值为2

4．下列各式中，正确的是　　

A． B． 

C． D．

5．计算　　

A． B． C． D．

6．已知函数，则的　　

A．最小正周期为，最大值为 

B．最小正周期为，最大值为2 

C．最小正周期为，最大值为 

D．最小正周期为，最大值为2

7．已知函数表示为：

设（1），的值域为，则　　

A．，，0， B．， 

C．，，0， D．，

8．甲、乙两位同学解答一道题：“已知，，求的值．”

则在上述两种解答过程中　　

A．甲同学解答正确，乙同学解答不正确 

B．乙同学解答正确，甲同学解答不正确 

C．甲、乙两同学解答都正确 

D．甲、乙两同学解答都不正确

9．已知函数，，的图象如图所示，则　　

A． 

B．对于任意，，且，都有 

C．，都有 

D．，使得

10．已知关于的方程的根为负数，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）不等式的解集为　　．

12．（5分）已知，，则　　；　　．

13．（5分）已知，且是第三象限角，则　　；　　．

14．（5分）化简　　．

15．（5分）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积（单位：平方米）与时间（单位：月）的关系式为，图象如图所示．则下列结论：

①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；

②浮萍蔓延3个月后的面积是浮萍蔓延5个月后的面积的；

③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是；

④浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经过的时间的和比蔓延到12平方米所经过的时间少．

其中正确结论的序号是 　　．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（13分）已知二次函数．

（Ⅰ）求的对称轴；

（Ⅱ）若，求的值及的最值．

17．（14分）已知函数的图象经过点．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求在区间上的最大值；

（Ⅲ）若，求证：在区间内存在零点．

18．（15分）如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，，求的值；

（Ⅲ）若点与关于轴对称，求的值．

19．（13分）已知函数．

（Ⅰ）求的最大值，并写出取得最大值时自变量的集合；

（Ⅱ）把曲线向左平移个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在，上的单调递增区间．

20．（14分）某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均最高气温可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，，例如表示1月份，和是正整数，，．

统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，1月份的月平均最高气温为3摄氏度，是一年中月平均最高气温最低的月份，随后逐月递增直到7月份达到最高为33摄氏度．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）某植物在月平均最高气温低于13摄氏度的环境中才可生存，求一年中该植物在该地区可生存的月份数．

21．（16分）若函数的自变量的取值范围为，时，函数值的取值范围恰为，就称区间，为的一个“和谐区间”．

（Ⅰ）先判断“函数没有“和谐区间””是否正确，再写出函数的“和谐区间”；（直接写出结论即可）

（Ⅱ）若是定义在，，上的奇函数，当时，．

（ⅰ）求的“和谐区间”；

（ⅱ）若函数的图象是以在定义域内所有“和谐区间”上的图象，是否存在实数，使集合，，，恰含有2个元素，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】利用交集定义直接求解．

【解答】解：集合，0，，，

，．

故选：．

【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．【分析】由不等式的性质结合充分必要条件的判定得答案．

【解答】解：由，且，得，反之，由，且，可得．

“”是“”的充要条件．

故选：．

【点评】本题考查充分必要条件的判定及应用，考查不等式的性质，是基础题．

3．【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．

【解答】解：当时，，当且仅当时取等号，此时函数取得最小值1．

故选：．

【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数最值中的应用，属于基础题．

4．【分析】结合指数函数与对数函数的单调性分别检验各选项即可判断．

【解答】解：因为单调递增，

所以，错误；

因为单调递减，

所以，错误；

因为在上单调递增，在上单调递减，

所以，正确，，错误．

故选：．

【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．

5．【分析】利用诱导公式计算即可．

【解答】解：．

故选：．

【点评】本题考查三角函数的诱导公式，属基础题．

6．【分析】，可求最小正周期和最大值．

【解答】解：，

最小正周期为，

当时，有最大值2．

故选：．

【点评】本题考查正弦型函数的最小正周期与最大值问题，属基础题．

7．【分析】根据函数对应关系进行判断即可．

【解答】解：由函数关系知（1），即，

函数的值域为，0，，

故选：．

【点评】本题主要考查函数值域的计算，利用函数对应关系是解决本题的关键，是基础题．

8．【分析】甲同学的解答在这一步是错的：．乙两同学解答在这一步是错的：．

【解答】解：甲同学的解答在这一步是错的：．

正确解答应为，甲同学的结果是正确的．

乙同学解答在这一步是错的：，

正确解答应为．

故甲、乙两同学解答都不正确．

故选：．

【点评】本题考查依据解答过程判断正确性，找错误的原因是关键，属基础题．

9．【分析】首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．

【解答】解：由于函数的图象：所以；

满足，整理得，故；

当时，，

由于，

故；

所以；

对于，故错误；

对于：由于，所以，所以函数在该区间上不单调，不满足对于任意，，且，都有，故错误；

对于：由于，

故，故正确；

对于：当时，，不存在满足．故错误．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的关系式的求法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

10．【分析】条件转化为的根为负数，即函数与图像交点的横坐标为负数，数形结合即可求解．

【解答】解：方程可变形为，

则条件等价于的根为负数，即函数与图像交点的横坐标为负数，

如图：

则只需，解得，

故选：．

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，转化思想，数形结合思想，属于中档题．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．【分析】把不等式化为，求出解集即可．

【解答】解：不等式可化为

，

解得或；

不等式的解集为或．

故答案为：或．

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．

12．【分析】由已知结合指数与对数的相互转化可求，然后结合对数运算性质可求．

【解答】解：因为，

所以，

又，

则．

故答案为：，2．

【点评】本题主要考查了指数与对数的相互转化及对数运算性质，属于基础题．

13．【分析】由公式、以及二倍角公式解答．

【解答】解：，且是第三象限角，

，

．

，．

故答案是：；．

【点评】本题主要考查函数值的计算，熟练运用同角三角函数间的基本关系和三角函数的倍角公式是解决本题的关键．

14．【分析】利用二倍角公式，同角三角函数间的关系化简即可得解．

【解答】解：

．

故答案是：．

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键．

15．【分析】根据条件先求出的值，根据指数函数的性质分别进行判断即可．

【解答】解：由图象知当时，，即，得，

则，

当时，，比一月增长，

当时，，比二月增长，则每个月增长的面积不相同，故①错误，

当时，，则，即浮萍蔓延3个月后的面积是浮萍蔓延5个月后的面积的，故②正确，

，后一个月是前一个月面积2倍，即增长率为，故③错误，

由，得，即，

由，得，即，

由，得，即，

则浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经过的时间的和为，

，，即浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经过的时间的和比蔓延到12平方米所经过的时间少，故④正确，

故答案为：②④．

【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，利用图象求出指数函数的解析式，利用指数函数的性质和运算法则是解决本题的关键，是中档题．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．【分析】根据已知条件，结合对称轴的公式，即可求解．

，求出的值，再结合二次函数的性质，即可求解．

【解答】解：，

，

故的对称轴为．

，

，解得，

，

，

开口向上，

又的对称轴为，

最小值为（1），无最大值．

【点评】本题主要考查二次函数的性质与图象，属于基础题．

17．【分析】（Ⅰ）把点代入可求得值；

（Ⅱ）根据在上单调递减可求得在区间上的最大值；

（Ⅲ），通过判断与（1）的符号可解决此问题．

【解答】（Ⅰ）解：函数的图象经过点，，，故的值；

（Ⅱ）解：在上单调递减，在区间上的最大值为；

（Ⅲ）证明：，，（1），

在区间内存在零点．

【点评】本题考查函数解析式求法、函数单调性应用及零点存在定理，考查数学运算能力及推理能力，属于中档题．

18．【分析】（Ⅰ）利用单位圆的定义即可求解；（Ⅱ）利用三角函数的定义即可求解；（Ⅲ）利用正切的倍角公式即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）由单位圆的定义可得；

（Ⅱ）由三角函数的定义可得：；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，设单位圆与轴的负半轴的交点为，

则

．

【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及正切的倍角公式的应用，涉及到单位圆的定义，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）直接利用函数的关系式求出函数的最大值；

（Ⅱ）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出函数的单调递增区间．

【解答】解：（Ⅰ）函数，当时，函数的最大值为2．

（Ⅱ）函数的图象向左平移个单位，得到的图象，再将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，

令，

整理得：，

故函数的单调递增区间为．

由于，，

所以函数的单调递增区间为，，，．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图像的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

20．【分析】（Ⅰ）先利用月平均气温最低、最高的月份求出周期和及值，再利用最低气温和最高气温求出、值，即得到所求函数的解析式；

（Ⅱ）先判定函数的单调性，再代值确定符合要求的月份即可求解．

【解答】（Ⅰ）解：因为1月份的月平均最高气温最低，7月份的月平均最高气温最高，

所以最小正周期，

所以，

所以，

因为，所以，

因为1月份的月平均最高气温为3摄氏度，7 月份的月平均最高气温为33摄氏度，

所以，，

所以，，

所以的解析式是为正整数．

（Ⅱ）解：因为为正整数，

所以在区间上，单调递增，在区间，上单调递减，

因为某植物在月平均最高气温低于13摄氏度的环境中才可生存，

且，

所以该植物在1月份，2月份，3月份可生存，

又（3），所以该植物在11月份，12月份也可生存，

即一年中该植物在该地区可生存的月份数是5．

【点评】本题考查了三角函数模型的应用，属于中档题．

21．【分析】（Ⅰ）根据和谐区间的定义判断两个函数即可；

（Ⅱ） 根据是奇函数求出的解析式，再利用“和谐区间”的定义求出的“和谐区间”；

由可得的解析式，由与，都是奇函数，问题转化为与，的图象在第一象限内有一个交点，由单调性求出的端点坐标，代入可得临界值即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为，，，且为奇函数，

当时，单调递减，

任意的，，则，

所以时，没有“和谐区间“，

同理 时，没有“和谐区间“，

所以“函数没有“和谐区间“是正确的，

在上单调递减，

所以在，上单调递减，

所以值域为，

即，所以，

所以，是方程 的两根，

因为，解得，，

所以函数的“和谐区间“为，．

（Ⅱ） 因为当 时，，

所以当时，，所以，

因为是定义在，，上的奇函数，

所以，

所以当时，，可得，

设，因为在上单调递减，

所以，

所以，，

所以，是方程的两个不相等的正数根，

即，是方程的两个不相等的正数根，且，

所以，，

所以在区间上的“和谐区间”是，，

同理可得，在区间上的“和谐区间”是，．

所以的“和谐区间”是，和，．

存在，理由如下：

因为函数的图象是以在定义域内所有“和谐区间“上的图象，

所以，

若集合，，， 恰含有 2 个元素，

等价于函数与函数，的图象有两个交点，且一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，

因为与，都是奇函数，

所以只需考虑与，的图象在第一象限内有一个交点，

因为在区间，上单调递减，

所以曲线的两个端点为，

因为，

所以，的零点是或，

所以当，的图象过点时，，

当，的图象过点时，，

所以当时，与，的图象在第一象限内有一个交点，

所以与，的图象有两个交点，

所以的取值范围是．

【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，属于难题．