【期末常考压轴题】湘教版八年级数学下册-专题02 勾股定理及逆定理压轴题十种模型 全攻略讲学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31708" 【典型例题】 PAGEREF _Tc31708 \h 1
\l "_Tc15010" 【考点一 勾股定理的证明方法】 PAGEREF _Tc15010 \h 1
\l "_Tc22093" 【考点二 勾股树(数)问题】 PAGEREF _Tc22093 \h 4
\l "_Tc24135" 【考点三 勾股定理与无理数】 PAGEREF _Tc24135 \h 5
\l "_Tc19607" 【考点四 用勾股定理解三角形】 PAGEREF _Tc19607 \h 6
\l "_Tc26979" 【考点五 以直角三角形三边为边长的图形面积】 PAGEREF _Tc26979 \h 9
\l "_Tc11385" 【考点六 判断三边能否构成直角三角形】 PAGEREF _Tc11385 \h 10
\l "_Tc25783" 【考点七 在网格中判断直角三角形】 PAGEREF _Tc25783 \h 13
\l "_Tc3501" 【考点八 利用勾股定理的逆定理求解】 PAGEREF _Tc3501 \h 16
\l "_Tc23337" 【考点九 勾股定理逆定理的实际应用】 PAGEREF _Tc23337 \h 19
\l "_Tc8524" 【考点十 勾股定理逆定理的拓展问题】 PAGEREF _Tc8524 \h 22
\l "_Tc27665" 【过关检测】 PAGEREF _Tc27665 \h 26
【典型例题】
【考点一 勾股定理的证明方法】
例题：（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，．
(1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______．
(2)求证：．
【变式训练】
1．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
【考点二 勾股树(数)问题】
例题：（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．5，12，13D．，，
【变式训练】
1．（2022秋·河南洛阳·八年级统考阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·八年级单元测试）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【考点三 勾股定理与无理数】
例题：（2023秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，数轴上点C所表示的数是___________
【变式训练】
1．（2022秋·浙江金华·七年级统考期中）长方形的边长为，长为，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是__________．
2．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）小刚学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数的点，然后过点作，使；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴负半轴于点，那么数轴上点所表示的数是________．
【考点四 用勾股定理解三角形】
例题：（2022秋·山东济南·八年级校考期末）如图，在中，，平分，垂直平分，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）直角三角形的两直角边分别为和，则斜边上的高为___________cm．
2．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）长方形中，长，宽，点为直线上一点，当为等腰三角形时，_______．
【考点五 以直角三角形三边为边长的图形面积】
例题：（2022秋·辽宁·八年级校考期末）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为___________．
【变式训练】
1．（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，已知直角三角形的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边的长为______．
2．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为，，，已知，，则______．
【考点六 判断三边能否构成直角三角形】
例题：（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图所示，已知中，于，，，．
(1)求的长；
(2)判断的形状，并说明理由．
【变式训练】
1．（2023春·八年级单元测试）如图，，垂足为D，且，．点E从B点沿射线向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为的中点，连接，设点E运动的时间为t．
(1)当t为何值时，；
(2)当时，判断的形状，并说明理由．
2．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）已知 满足．
(1)求的值；
(2)试问以为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【考点七 在网格中判断直角三角形】
例题：（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，的顶点在格点上．
(1)直接写出______，______，______；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)直接写出边上的高______．
【变式训练】
1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．
(1)求四边形的面积，
(2)是直角吗？为什么？
2．（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1，点，．
(1)建立平面直角坐标系；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)在轴上找一点，当最小时，此时点坐标是 ．
【考点八 利用勾股定理的逆定理求解】
例题：（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，．
(1)求的度数；
(2)四边形的面积为______．
【变式训练】
1．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，求的长．
2．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，四边形中，已知，，，，且．求四边形的面积．
【考点九 勾股定理逆定理的实际应用】
例题：（2022秋·辽宁·八年级校考期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原来的路线的长．
【变式训练】
1．（2022秋·河南平顶山·八年级校联考期中）某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与A、B两点的距离，以沙尘暴中心为圆心，周围以内都会受到沙尘暴影响．
(1)通过计算说明城镇C是否会受到影响；
(2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
2．（2022秋·云南楚雄·八年级统考期末）为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得，，，，，如果种植草皮费用是200元/，那么共需投入多少钱？
【考点十 勾股定理逆定理的拓展问题】
例题：（2022秋·八年级课时练习）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．
2．（2021秋·江西吉安·八年级统考期末）先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：，，； 第二组：，，；
第三组：，，； 第四组：，，；

（1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·八年级单元测试）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5 C．2，8，10 D．1，，
2．（2022秋·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）如图所示，，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）的三边为，，，下列条件不能确保为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，在中，，，，线段的垂直平分线交于点P和点Q，则的长度为（ ）
A．3B．4C．D．
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．点A到直线的距离为2D．
二、填空题
6．（2022秋·广东佛山·八年级大沥中学校考阶段练习）若、、为的三边长，且满足，则是______三角形．
7．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，中，，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且，则AB的长为___________．
8．（2022春·四川成都·八年级四川师范大学附属中学校考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________．
9．（2022秋·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，在中，，则的面积为 _____．
10．（2022秋·八年级单元测试）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．
三、解答题
11．（北京市平谷区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
12．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的长．
13．（2022秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，动点P从点B出发沿射线以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t．
(1)填空：的长为 ；
(2)若为直角三角形，求t的值；
(3)若为等腰三角形，求t的值．
14．（2021秋·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．
(1)若三边长分别是2，和4，试判断此三角形是否为常态三角形；
(2)如图，在中，点D在边上，连接，，，，若是常态三角形，求的长．
15．（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．
(1)如图1，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式______．
(2)如图2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系为______．
(3)如图3，如果以的三边长，，为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由．