【期末常考压轴题】湘教版七年级数学下册-专题14 平均数、中位数、众数、方差压轴题十种模型 全攻略讲学案

这是一份【期末常考压轴题】湘教版七年级数学下册-专题14 平均数、中位数、众数、方差压轴题十种模型 全攻略讲学案，文件包含专题14平均数中位数众数方差压轴题十种模型全攻略解析版docx、专题14平均数中位数众数方差压轴题十种模型全攻略原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共47页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc6929" 【典型例题】 PAGEREF _Tc6929 \h 1
\l "_Tc23363" 【考点一 求一组数据的平均数】 PAGEREF _Tc23363 \h 1
\l "_Tc13740" 【考点二 已知平均数求未知数据的值】 PAGEREF _Tc13740 \h 3
\l "_Tc18530" 【考点三 利用已知的平均数相关数据的平均数】 PAGEREF _Tc18530 \h 4
\l "_Tc4512" 【考点四 求加权平均数】 PAGEREF _Tc4512 \h 6
\l "_Tc15413" 【考点五 运用加权平均数做决策】 PAGEREF _Tc15413 \h 8
\l "_Tc18998" 【考点六 求中位数】 PAGEREF _Tc18998 \h 10
\l "_Tc21734" 【考点七 利用中位数求未知数据的值】 PAGEREF _Tc21734 \h 12
\l "_Tc15594" 【考点八 求众数】 PAGEREF _Tc15594 \h 14
\l "_Tc14866" 【考点九 利用众数求未知数据的值】 PAGEREF _Tc14866 \h 16
\l "_Tc31412" 【考点十 求方差，并运用方差做决策】 PAGEREF _Tc31412 \h 18
\l "_Tc18802" 【过关检测】 PAGEREF _Tc18802 \h 21
【典型例题】
【考点一 求一组数据的平均数】
例题：（2023春·浙江温州·八年级期中）数据10，8，10，9，10的平均数是_________．
【答案】
【分析】根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，平均数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平均数．解题的关键在于正确的运算．
【变式训练】
1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）南京2023年1月份天气变化趋势如下表，其中春节七天（22日至28日）最低温的平均值约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平均数的定义进行求解即可．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题主要考查了求平均数，熟知平均数的定义是解题的关键．
2．（2023·上海浦东新·统考二模）某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图所示，已知二月份产值是36万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是_____万元．
【答案】40
【分析】先求出二月份产值所占的百分比，用二月份的产值除以其所占百分比，求出第一季度总产值，再求出平均数即可．
【详解】解：第一季度总产值：（万元），
该企业第一季度月产值的平均数：（万元），
故答案为：40．
【点睛】本题考查了扇形统计图，以及求平均数，解题的关键是掌握扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
3．（2023·北京平谷·统考一模）为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该社区的10名中学生参与了该项活动，回收的旧电池数盘如下表：
根据以上数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为______．
【答案】6
【分析】要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可．
【详解】解：，
10名中学生回收废电池的平均数是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是平均数，熟练掌握平均数的算法是解题的关键．
【考点二 已知平均数求未知数据的值】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为3，则（ ）
A．0B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据平均数的计算公式即可求出a．
【详解】解：由题意得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了平均数的概念．熟记公式是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）一组数据：3，2，x，6，5的平均数是4，则x的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据平均数的定义计算即可．
【详解】解：∵这组数据3，2，x，6，5的平均数是4，
∴，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查平均数的定义，解题的关键是根据平均数的定义构建方程解决问题．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）若数据a，b，c的平均数是2，数据d，e平均数是4，则a，b，c，4，d，e这组数据的平均数是______．
【答案】
【分析】根据平均数的定义求得，，根据平均数的求解方法求解即可．
【详解】解：由数据a，b，c的平均数是2，数据d，e平均数是4，可得，，
则a，b，c，4，d，e这组数据的平均数为，
故答案为：
【点睛】此题考查了求解平均数，解题的关键是利用平均数的求解方法正确求得，．
3．（2023春·全国·八年级期末）若一组数据的平均数是a，另一组数据的平均数是b，则a______b（填写“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】根据的平均数是a，可得，再根据的平均数是b，可得进而即可得到解答．
【详解】解：∵的平均数是a，
∴，
∴
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平均数的的定义（是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
【考点三 利用已知的平均数相关数据的平均数】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出、、、、的和，然后根据平均数的定义可求，，，，的平均．
【详解】解：∵、、、、的平均数是，
∴，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平均数的计算，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）已知数据a，b，c的平均数为8，那么数据的平均数是_________．
【答案】10
【分析】根据数据a，b，c的平均数为8，求出，进而求出的平均数为10．
【详解】解：∵数据a，b，c的平均数为8，
∴，
∴，
∴的平均数．
故答案为10．
【点睛】本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数所得的商，熟悉掌握算术平均数的公式是本题的解题关键．
2．（2023秋·江西景德镇·八年级统考期末）有一组数据，，，…，的平均数为2，则另一组数据，，，…，的平均数为_____________.
【答案】5
【分析】根据数据：，，，…，的平均数为2，得出数据，，，…，的平均数，再根据每个数据都减１，即可得出数据： ，，，…，的平均数为5．
【详解】∵，，，…，的平均数为2，
即，
那么
，
∴，，，…，的平均数6，
那么
，
∴，，，…，的平均数为
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是算术平均数的求法．一般地设有n个数据，，，…，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化．
【考点四 求加权平均数】
例题：（2023·浙江温州·校考二模）小金参加校“阳光少年”评选，其中综合荣誉分占30%，现场演讲分占70%，已知小金这两项成绩分别为80分和90分，则小金的最终成绩为______分．
【答案】87
【分析】根据加权平均数的计算方法，综合荣誉分占，现场演讲分占，小金综合荣誉与现场演讲成绩分别为分和分列出算式，再进行计算即可．
【详解】解：综合荣誉分占，现场演讲分占，小金综合荣誉与现场演讲成绩分别为分和分，
小金的最终成绩为，
故答案为87．
【点睛】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的公式列出算式是本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·上海静安·统考二模）某旅游风景区为满足不同游客的需求，推出了100、150、200（单位：元）三种价格的套票．景区统计了这三种套票一年的销售情况，并将销售量数据绘制成扇形统计图（如图所示）．那么这一年销售的套票的平均价格是______元．
【答案】175
【分析】根据加权平拘束求解即可．
【详解】解：这一年销售的套票的平均价格（元），
故答案为：175．
【点睛】本题主要考查了加权平均数，熟记加权平均数公式是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示：
如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3：3：2：2的比例确定，那么甲的得分为______，乙的得分为______．
【答案】
【分析】根据加权平均数的计算方法分别计算出甲、乙的加权平均数即可得出答案．
【详解】解：∵听、说、读、写成绩按照3：3：2：2的比例确定，
∴甲的综合成绩：；
乙的综合成绩：．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解本题的关键．
【考点五 运用加权平均数做决策】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，教育部组织开展第七届全国学生“学宪法讲宪法”系列活动．某校积极响应教育部的号召，开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，下表是参加冠亚军决赛的两名选手的各项测试成绩（单位：分) ．
(1)若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项成绩的平均分作为最后成绩，谁将会获得冠军?
(2)若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩按的比例计算最后成绩，谁将会获得冠军?
【答案】(1)乙
(2)甲
【分析】（1）分别计算甲、乙的算术平均数，然后比较即可；
（2）分别计算甲、乙的加权平均数，然后比较即可．
【详解】（1）解：由题意知，甲的平均分为：分；
乙的平均分为：分；
∵，
∴乙会获得冠军；
（2）解：由题意知，甲的最后成绩为：；
乙的最后成绩为：；
∵，
∴甲会获得冠军．
【点睛】本题考查了算术平均数与加权平均数．解题的关键在于熟练掌握平均数的计算方法．
【变式训练】
1．（2023春·浙江杭州·八年级期中）某公司欲招聘一名部门经理，对甲、乙、丙三名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩如表格所示：
(1)如果根据三次测试的平均成绩确定人选，那么谁将被录用？
(2)根据实际需要，公司将专业知识、语言能力和综合素质三项测试得分按的比例确定每个人的测试总成绩，此时谁将被录用？
【答案】(1)甲将被录取；
(2)丙将被录取．
【分析】（1）根据平均数的定义分别计算出甲、乙、丙的测试总成绩，从而得出答案；
（2）根据加权平均数的定义分别计算出甲、乙、丙的测试总成绩，从而得出答案．
【详解】（1）解：甲的最终成绩为（分），
乙的最终成绩为（分），
丙的最终成绩为（分），
∴甲将被录取；
（2）解：甲的最终成绩为（分），
乙的最终成绩为（分），
丙的最终成绩为（分），
∴丙将被录取．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
2．（2023·浙江温州·统考一模）某校为迎接校庆活动，组织了九年级各班的合唱比赛，其中两个班的各项得分如下表：
(1)如果将服装得体、音准节奏、形式创新三项得分按的比例确定各班的最终成绩，通过计算比较哪个班成绩更好？
(2)请你判断按（1）中分配比例是否合理．若合理，请说明理由；若不合理，请给出一个你认为合理的比例．
【答案】(1)九（1）班成绩更好
(2)不合理，见解析
【分析】（1）根据“服装得体、音准节奏、形式创新三项得分按的比例确定各班的最终成绩”，计算出两个班的成绩，再进行比较即可；
（2）根据题意进行分析，合唱比赛应该更加注重音准节奏和形式创新，服装得体占比应减小，言之有理即可．
【详解】（1）解：（分）
（分）
∵，
∴九（1）班成绩更好
（2）不合理，合唱比赛应该更加注重音准节奏和形式创新，服装得体占比应减小．
你认为合理的比例为：．
【点睛】本题主要考查了计算加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法．
【考点六 求中位数】
例题：（2023·江苏连云港·统考一模）一组数据：2，3，4，5，6的中位数为______．
【答案】4
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：将2，3，4，5，6从小到大排列第3个数为：4，即中位数是4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级期末）开学前，根据学校防疫要求，小宁同学连续天进行了体温测量，结果统计如下表：
这天中，小宁体温的中位数为___________．
【答案】
【分析】根据中位数的定义求第7和第8个的数据的平均数即可．
【详解】解：在所给14个数据中，第7和第8个的数据均为，
∴小宁体温的中位数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了中位数的定义，熟知中位数的定义：中位数是指把一组数据从小到大排列，最中间的那个数，如果这组数据的个数是奇数，那最中间那个就是中位数；如果这组数据的个数为偶数，那就把中间的两个数之和除以2，所得的结果就是中位数；是解本题的关键．
2．（2023·江苏扬州·统考一模）2023年3月7日上午，江苏省青少年射击（步手枪）冠军赛在扬州市射击运动中心鸣枪开赛．来自全省12个设区市的200余名青少年射击选手齐聚扬州，一较高下，赛前，某位射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示，则该名选手十次射击训练成绩的中位数是_____．
【答案】8
【分析】根据中位数的定义，利用图中的数据，求出答案即可．
【详解】解：由图可得：
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，
第5个和第6个数据都是8，
所以中位数是，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
3．（2023·山东东营·统考一模）如图所示的是莉莉次购买某水果的重量（单位，）的统计图，则次重量的中位数是___．
【答案】
【分析】根据条形统计图得出次购买某水果的重量，将这组数据从小到大排列，再根据中位数的定义求解即可．
【详解】将这组数据从小到大排列为，，，
这组数据的中位数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【考点七 利用中位数求未知数据的值】
例题：（2023·内蒙古包头·模拟预测）已知一组数据的中位数是，那么x的值等于_____．
【答案】
【分析】中位数是，这组数据有6个，是偶数个，所以就是最中间的两个数的平均数；再把这组数据按从小到大的顺序排一排，都比中位数小，所以x排在的后面，进而求得x的值．
【详解】解：根据题意，x的位置按从小到大排列只可能是：
根据中位数是得：．
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了中位数的概念，关键是依据中位数，对数据排序，确定x的位置．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知一组数据7，9，5，x，3的中位数是6，则这组数据的平均数为_______
【答案】6
【分析】根据一组数据7，9，5，x，3的中位数是6，可以得到x的值，然后即可计算出这组数据的平均数．
【详解】解：∵一组数据7，9，5，x，3的中位数是6，
∴x=6，
∴这组数据的平均数是：（3+5+6+7+9）÷5=30÷5=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查中位数、算术平均数，解答本题的关键是明确中位数的含义，计算出x的值．
2．（2023·全国·九年级专题练习）下表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员______人．
【答案】146
【分析】根据中位数的概念计算即可．
【详解】解：由中位数为13.5岁，可知中间的两个数为13，14，
∴这个俱乐部共有学员（28+22+23）×2=146（人）．
故答案为：146．
【点睛】本题主要考查了中位数的概念，读懂列表，从中得到必要的信息是解答本题的关键．
【考点八 求众数】
例题：（2023·湖北鄂州·统考一模）为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为，，，，，，则这组数据的众数是____________．
【答案】
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数进行求解即可．
【详解】解：，，，，，，这组数据中，出现了次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的众数，熟知众数的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）小王统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的众数是______，中位数是________．
【答案】 1 1
【分析】根据众数和中位数的定义解答即可．
【详解】根据统计图可知用水量为1的天数为3天，最多，故这周用水量的众数是1；
将这周用水量按从小到大排列为：0.5，1，1，1，1.5，1.5，2，
∴这周用水量的中位数是1．
故答案为：1，1．
【点睛】本题考查众数和中位数的定义．解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数值为众数；按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数为中位数，当数据为偶数个时，为最中间两个数的平均值．
2．（2023·广东广州·广州市第二中学校考一模）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育老师随机抽取了名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
则这组数据的中位数是______；众数是______．
【答案】
【分析】根据中位数与众数的定义即可求解．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：这组数据的中位数是第个与第个数据的平均数，即，
出现了5次，则众数是，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了求中位数与众数，熟练掌握中位数与众数的定义是解题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）为了普及环保知识，增强环保意识，滨海大学数学学院从本专业人中随机抽取了名学生参加环保知识测试，得分（十分制）情况如图所示．这名学生的测试成绩的众数是________，中位数是________．

【答案】 7
【分析】根据众数，中位数定义直接判断即可得到答案．
【详解】解：由图像可得，
7出现次数最多为8次，
故众数为7，
∵，
∴最中间两个数是6，7，
∴中位数为；
故答案为：7，．
【点睛】本题考查众数：出现次数最多的数；中位数：一组数据排列后最中间的数，当数字是偶数时是最中间两个的平均数．
【考点九 利用众数求未知数据的值】
例题：（2023春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）若一组数据，2，2，x，3，6，6的众数是6，则这组数据的平均数是______．
【答案】/
【分析】先根据众数定义求出x，再把这组数据的平均数．
【详解】解：∵数据，2，2，x，3，6，6的众数为6，
∴6出现的次数是3次，
∴，
这组数据是：，2，2，6，3，6，6，平均数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；理解众数的意义，掌握平均数的计算方法是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江杭州·八年级期中）已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和6，则这组数据的中位数是__________．
【答案】4
【分析】先根据众数的定义求出，再根据中位数的定义进行求解即可得．
【详解】解：∵数据6，x，3，3，5，1的众数是3和6，
∴，
则这组数据为1、3、3、5、6、6，
∴这组数据的中位数为，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义以及求解方法是解题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）已知一组从小到大排列的整数：，3，，，4，有唯一的众数4，则这组数据的中位数是______．
【答案】4
【分析】根据题意，可假设x分别为0、1、2、3，代入原数中判断即可得出答案．
【详解】∵这列数都为整数，且已从小到大排列，有唯一众数4，
∴假设x＝0、1、2、3，
当x＝0时，原数分别为0，3，y，0，4，不符合题意；
当x＝1时，原数分别为1，3，y，2，4，不符合题意；
当x＝2时，原数分别为2，3，y，4，4，符合题意，此时中位数为y，
①当y＝3时，原数分别为2，3，3，4，4，不符合题意；
②当y＝4时，原数分别为2，3，4，4，4，符合题意；
当x＝3时，原数分别为3，3，y，6，4，不符合题意．
故答案为：4．
【点睛】本题考查众数与中位数，一列数据中，出现次数最多的数是众数；一组数据从小到大排列，当数据是奇数个时，中间的那个数是中位数，当数据是偶数个时，中间的两个数的平均数就是中位数，熟练掌握相关概念并正确理解题意是解题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图是容容前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则___________．
【答案】8
【分析】根据统计图中的数据利用中位数和众数的定义即可得到a的值．
【详解】由统计图可知，前三次的中位数是8，
∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，
∴当时，中位数是8.5，众数是9，不合题意；
当时，中位数是8，众数是8，符合题意；
当时，中位数是7，众数是6，不符合题意；
故答案为：8．
【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【考点十 求方差，并运用方差做决策】
例题：（2023春·浙江·八年级期中）某校举行了主题为“新冠肺炎防护”的知识竞赛活动，对八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班，，，，；八（2）班，，，，．通过数据分析，列表如下：
(1)直接写出表中a，b，c的值；
(2)求d的值，并根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)，八（2）班前名同学的成绩较好,理由见解析
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的概念进行解答即可；
（2）先根据方差公式计算方差，然后根据它们的平均数和方差进行判断即可解答本题．
【详解】（1），
将八（1）的成绩排序、、、、，
可知中位数是，众数是，
所以，；
（2）解：
∵，平均数，
∴八（2）班前名同学的成绩较好
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数、方差，解题的关键熟练掌握平均数、众数、中位数的求解方法，以及方差的意义．
【变式训练】
1．（2023春·浙江丽水·八年级浙江省缙云县实验中学校考期中）某校对甲，乙两人的射击成绩进行了测试，测试成绩如表：
(1)分别求出甲，乙两人射击成绩的平均数和方差；
(2)现要从甲，乙两人中选拔一人参加比赛，你认为挑选哪一位较合适，请说明理由．
【答案】(1)甲的平均成绩是8，乙的平均成绩是8，甲的方差是，乙的方差是；
(2)推荐甲参加比赛较合适．理由见解析
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式即可得甲，乙两人射击成绩的平均数和方差；
（2）根据甲、乙两名运动员的方差，即可判断出荐谁参加省比赛更合适．
【详解】（1）解：甲的平均成绩是：，
乙的平均成绩是：，
甲的方差是：，
乙的方差是：；
（2）解：推荐甲参加比赛较合适．理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的五次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛较合适．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
2．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）刚刚举行的九年级体育模拟中，甲、乙两位同学在进行投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：甲：9，9，9，6，7；乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
(1) ， ；
(2)试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；
(3)如果你是体育老师，请你从平均成绩和成绩的稳定性两个方面分析哪位同学的成绩更好？（请说明理由）
【答案】(1)9，9
(2)8，1.6
(3)甲，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据平均数和方差的定义求解即可；
（3）通过比较平均数和方程，在平均数相同的情况下，选择方差较小的参加．
【详解】（1）解：∵将甲的5个数据按照由小到大的顺序排列：6，7，9，9，9，位置在最中间的是9，
∴这组数据的中位数为9，
∴，
∵乙的5个数据中9出现了两次，出现次数最多，
∴乙组数据的众数为：9；
∴．
（2）解：乙的平均数为，
甲的方差；
（3）解：选择甲选手参加比赛．
理由：∵甲，乙的平均成绩都为8，但甲的方差乙的方差4.4，
∴在平均数相同的情况下，甲的方差比乙小，
故甲比乙稳定，选择甲．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的计算方法，并利用以上指标对数据进行判断．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·全国·八年级专题练习）已知一组数据：，这组数据的平均数和极差分别是( )
A．0，8B．，7C．0，7D．，8
【答案】A
【分析】根据平均数和极差的计算方法，即可求解．
【详解】解：由题意得，
这组数据的平均数是，
∵．
∴这组数据的最大值是4，最小值是．
∴这组数据的极差是．
故选：A
【点睛】本题主要考查了求平均数和极差，熟练掌握平均数和极差的计算方法是解题的关键．
2．（2023·江苏无锡·校考一模）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的26名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．98，98B．98，97C．96，98D．96，96
【答案】B
【分析】根据众数及中位数的求法可进行求解．
【详解】解：由统计图可知：成绩为98分有10人，人数最多，所以该组数据的众数是98；一共有26名参赛同学，所以中位数为第13和14名的平均值，即；
故选：B．
【点睛】本题主要考查中位数及众数，熟练掌握中位数及众数的求法是解题的关键．
3．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）某初中为了鼓励学生参加体育锻炼，开展一分钟跳绳比赛，此次比赛前十名同学跳绳的数量如下表所示，则跳绳数量的中位数和众数分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据中位数与众数的定义即可求解．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：第5个和第6个数据分别为，则中位数为，
出现次数最多，则众数为，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数与众数的定义，熟练掌握中位数与众数的定义是解题的关键．
4．（2023·山东青岛·统考二模）某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数，众数和平均数分别是（ ）
A．18，12，12B．12，12，12C．15，12，14.8D．15，10，14.5
【答案】C
【分析】利用折线统计图得到50个数据，其中第25个数为12，第26个数是18，从而得到数据的中位数，再求出众数和平均数．
【详解】解：由折线统计图得这组数据的中位数为，
众数为12，
平均数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了数据的集中趋势，理解相关统计量的意义及从折线统计图准确读取数据是解题的关键．
5．（2023·安徽滁州·校联考二模）若样本，，，的平均数为，方差为，则对于样本，，，，下列结论正确的是（）
A．平均数为，方差为B．平均数为，方差为
C．平均数为，方差为D．平均数为，方差为
【答案】A
【分析】根据平均数、方差随数据的变化规律进行判断，将一组数的每个数据都增加n，所得到的新一组数据的平均数就增加n，而方差不变．
【详解】解∶样本，对于样本来说，
每个数据均在原来的基础上增加了3，根据平均数、方差的变化规律得∶平均数较前增加3，而方差不变，即平均数为，方差为2．
故选∶A．
【点睛】本题考查平均数和方差，本题解题的关键是看出两组数据之间的关系，特别是系数之间的关系，本题是一个基础题．
二、填空题
6．（2023春·湖北鄂州·九年级统考期中）一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为_________
【答案】5
【分析】先根据平均数的定义列方程求出 x 的值，再依据众数的定义得出答案．
【详解】解：∵数据4，5，x，7，9的平均数为6，
∴，
解得，
所以这组数据为数据4，5，5，7，9则这组数据的众数为5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查众数和平均数，解题的关键是掌握众数和算术平均数的定义．
7．（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）已知一组数据1，5，2，4，x的平均数是3，则_____；这组数据的方差为 _____．
【答案】
【分析】根据平均数确定出x后，再根据方差的公式进行计算即可．
【详解】解：由平均数的公式得：，
解得；
则方差．
故答案为：3；2．
【点睛】本题考查了平均数和方差，根据n个数据的平均数求出x是解题的关键．
8．（2023春·浙江·八年级期中）数据，，…，的平均数为5，方差为2，则，，…的平均数为 ___，方差为 ___．
【答案】 17 18
【分析】分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出结果．
【详解】解：根据题意，数据，，…，的平均数为5，方差为2，
即，
，
则，，…的平均数
，
，，…的方差
．
故答案为：17，18．
【点睛】本题主要考查了求平均数和方差的方法，理解并掌握平均数和方差的定义是解题关键．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知4个正数的平均数是a，且，则数据的平均数和中位数分别是_______，_______．
【答案】
【分析】直接利用算术平均数求法，再利用中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即可得出答案．
【详解】解：由算术平均数定义可知：；
将这组数据按从小到大排列为；
由于有奇数个数，取最中间的数，
∴其中位数为．
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了中位数和算术平均数，正确掌握定义是解题关键．
10．（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）某校体育期末考核“立定跳远”、“米”、“仰卧起坐”三项，按的比重算出期末成绩．已知小林这三项的考试成绩分别为分、分、分，则小林的体育期末成绩为___________分．
【答案】90
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：（分）；
即小林的体育期末成绩为90分，
故答案为：90．
【点睛】此题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出算式是本题的关键；本题易出现的错误是求80、90、100这三个数的平均数．
三、解答题
11．（2023·广东广州·统考一模）近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天50名出行学生使用共享单车次数的情况，并整理如下统计表．
(1)这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是________，众数是________；
(2)这天中，这50名出行学生平均每人使用共享单车多少次？
【答案】(1)3，2
(2)次
【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解可得；
（2）利用加权平均数的概念列式计算可得．
【详解】（1）解：这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是第25和26名同学的平均数：（次），众数为2，
故答案为：3，2；
（2）这50名出行学生平均每人使用共享单车（次）
【点睛】本题考查了中位数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错．
12．（2023春·福建福州·九年级统考期中）某校九年级共有四个班，在一次数学考试中，各班的学生人数、平均成绩和任课教师如下表：
(1)求四个班平均成绩的中位数；
(2)在本次的考试中，某学生家长说，“两位老师所任教的班级的平均成绩一样”你认为这个家长的说法正确吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不正确，理由见解析
【分析】（1）根据表中数据结合中位数定义求解可得；
（2）根据题意和加权平均数的计算方法计算后比较可得．
【详解】（1）解：四个班平均成绩从小到大排列为、、、，
所以这个班平均成绩的中位数为；
（2）解：两位老师所任教的班级的平均成绩不一定一样，理由如下：
王老师所任教的班级的平均成绩：；
李老师所任教的班级的平均成绩：．
故两位老师所任教的班级的平均成绩不一定一样．
【点睛】本题主要考查中位数、加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
13．（2023·河北廊坊·校考一模）某市中考体育必考科目是长跑（男生1000米，女生800米）；抽考科目有4项[50米、立定和跳远、跳绳、男生引体向上或实心球（女生仰卧起坐或实心球）]；选考科目有足球、篮球和排球，每个考生任选一项作为选考考试项目．嘉嘉和淇淇在中考体育中各项成绩（每一项满分10分的）条形统计图如图所示．
(1)分别求出嘉嘉和淇淇的成绩之和，并说明他们两个谁更优秀；
(2)如果中考体育长跑，抽考科目、选考科目按照6∶5∶4的比例计算成绩，分别计算他们的中考体育综合成绩，并判断（1）中的结果是否会改变．
【答案】(1)两人一样优秀
(2)嘉嘉的成绩更优秀，（1）中的结果会改变
【分析】（1）分别计算两人成绩之和，即可进行解答．
（2）根据长跑，抽考科目、选考科目按照6∶5∶4的比例计算成绩，分别计算出两人的成绩，即可进行解答．
【详解】（1）解：嘉嘉的成绩之和：（分）；
淇淇的成绩之和：（分），
两人一样优秀；
（2）解：，
嘉嘉的综合成绩：；
淇淇的综合成绩：．
，
嘉嘉的成绩更优秀，（1）中的结果会改变．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和计算加权平均数，解题的关键是正确理解题意，根据条形统计图得出数据，掌握计算加权平均数的方法和步骤．
14．（2023·河南洛阳·统考二模）菲尔兹奖是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项. 每四年颁发一次，颁发给有卓越贡献的年轻数学家，每次最多四人得奖. 得奖者须在该年元旦前未满四十岁. 它是根据加拿大数学家约翰•査尔斯•菲尔兹的要求设立的，被视为数学界的诺贝尔奖. 从1936年至2022年，共有64位数学家获得菲尔兹奖，其中有两位华人（丘成桐、陶哲轩）.
下列数据是截止2022年菲尔兹奖得主获奖时的年龄：
29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38
36 31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36
33 29 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38
34 33 40 36 36 37 40 31 38 38 40 40 37
35 39 37 37 39 34 31 37 39 35 37 38
(1)上面这64个数据的中位数是_________，众数是_________；
(2)菲尔兹奖得主获奖时年龄的极差是_________；
(3)求这组数据的平均数；
【答案】(1)36.5；37
(2)
(3)
【分析】（1）将这组数据从小到大排列后取最中间两位数的平均数即可求得中位数，找到出现次数最多那个数就是众数；
（2）利用极差的定义求得最大值与最小值的差即可；
（3）利用求平均数公式求得平均值即可．
【详解】（1）∵将这组数据从小到大排列后处于最中间的两个数分别是36，37
∴中位数
∵37出现次数最多
∴众数是37
故答案为：36.5，37
（2）极差
故答案为：12
（3）
【点睛】本题考查了中位数，众数，极差及平均数等知识点，，熟练掌握其知识点是解决此题的关键．
15．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）某校举办“防疫”知识问答竞赛，每班参加的学生人数相同，按每班总分多少排列名次．甲、乙是成绩最好的两个班，甲、乙两班学生竞赛成绩的统计图如图1、图2所示（甲、乙两班得7分的人数相同），其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分，数据分析如下表所示．经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可以通过考察数据中的其他信息作为参考．
注：方差
(1)求条形统计图中被遮盖的数；
(2)求出表中a，b的值；
(3)根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？简述你的理由．
【答案】(1)
(2)
(3)甲班，理由见解析（答案不唯一）
【分析】（1）根据甲、乙两班得7分的人数相同，直接求出每班参加竞赛的学生总人数，然后在条形图统计图中计算即可；
（2）先将甲班的10名学生的比赛成绩由小到大排列，然后取中间两个数据的平均数即可求得a，根据方差公式直接求得b即可；
（3）根据中位数和方差进决策判断即可．
【详解】（1）每班参加竞赛的学生的人数为（人），
∴条形统计图中被遮盖的数为；
（2）甲班的10名学生的比赛成绩由小到大排列为7，7，8，8，8，9，9，9，10，10，
∴甲班的成绩的中位数为，即a的值为8.5
乙班的10名学生的比赛成绩由小到大排列为7，7，8，8，8，8，9，10，10，10，
∴；
（3）应该把冠军奖状发给甲班；
∵甲班的中位数比乙班大，且甲班的方差比乙班小，
∴甲班的成绩比乙班好，
∴应该把冠军奖状发给甲班．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图信息综合，理解并掌握中位数，方差等数据的求解方法以及运用它们做决策是解题关键．
16．（2023·河南商丘·校考一模）某市举办中学生田径赛，某中学准备选派一名立定三级跳选手参加比赛，对甲、乙两名同学进行了8次立定三级跳选拔比赛，他们的原始成绩（单位：）如表：
两名同学的8次立定三级跳成绩数据分析如下表：
根据图表信息回答下列问题：
(1)求出a、b、c、d的值；
(2)这两名同学中，______的成绩更为稳定；（填甲或乙）
(3)若预测立定三级跳就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择哪位同学参赛，并说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)甲
(3)应该选择甲同学参赛，理由见解析
【分析】（1）根据平均数，中位数，众数和方差的定义求解即可；
（2）根据方差越小成绩越稳定即可得到答案；
（3）根据甲的每次成绩都能获得冠军并且成绩还比乙稳定即可得到答案.
【详解】（1）解：；
∴；
将甲的8次成绩按照从低到高排列，处在第4个数和第5个数的成绩为，
∴中位数；
∵甲的成绩中，出现了3次，出现的次数最多，
∴众数；
（2）解：∵，即甲的方差小于乙的方差，
∴甲的成绩更加稳定，
故答案为：甲；
（3）解：应该选择甲同学参赛，理由如下：
∵甲的8次成绩每次都为或以上，且成绩比乙更加稳定，
∴应选择甲同学参赛.
【点睛】本题主要考查了平均数，中位数，众数，方差及利用合适的量作决策，掌握平均数公式、中位数、众数定义和方差公式及其意义是解决此题的关键．电池数量（节）
2
5
6
8
10
人数
1
4
2
2
1
应试者
听
说
读
写
甲
乙
选手
项目
在线学习
知识竞赛
演讲比赛
甲
84
96
90
乙
89
99
85
测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
专业知识
74
87
90
语言能力
58
74
70
综合素质
87
43
50
服装得体（分）
音准节奏（分）
形式创新（分）
九（1）班
90
78
85
九（2）班
75
92
84
体温（）
天数（天）
3
3
4
2
2
年龄
13
14
15
16
频数
28
22
23
一分钟跳绳个数（个）
学生人数（名）
班级
平均分
中位数
众数
方差
八（）
八（）
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲命中环数
7
8
8
8
9
乙命中环数
10
6
10
6
8
选手
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
8
b
9
d
乙
a
9
c
4.4
数量（个）
人数（人）
使用次数
1
2
3
4
5
人数
8
13
11
12
6
班级
班
班
班
班
学生人数
平均成绩
任课教师
王老师
李老师
班级
平均数
中位数
方差
甲班
8.5
a
1.05
乙班
8.5
8
b
学生/成绩/次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲
乙
学生/成绩/名称
平均数（单位：）
中位数（单位：）
众数（单位：）
方差（单位：）
甲
a
b
c
d
乙