【期末常考压轴题】湘教版八年级数学下册-专题06 中心对称与中心对称图形、三角形的中位线压轴题十种模型 全攻略讲学案

这是一份【期末常考压轴题】湘教版八年级数学下册-专题06 中心对称与中心对称图形、三角形的中位线压轴题十种模型 全攻略讲学案，文件包含专题06中心对称与中心对称图形三角形的中位线压轴题十种模型全攻略解析版docx、专题06中心对称与中心对称图形三角形的中位线压轴题十种模型全攻略原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共48页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc15242" 【典型例题】 PAGEREF _Tc15242 \h 1
\l "_Tc11874" 【考点一 中心对称图形的识别】 PAGEREF _Tc11874 \h 1
\l "_Tc26774" 【考点二 求关于原点对称的点的坐标】 PAGEREF _Tc26774 \h 3
\l "_Tc19765" 【考点三 已知两点关于原点对称求参数】 PAGEREF _Tc19765 \h 3
\l "_Tc17238" 【考点四 已知中心对称图形求对称中心的坐标】 PAGEREF _Tc17238 \h 5
\l "_Tc7147" 【考点五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 PAGEREF _Tc7147 \h 6
\l "_Tc11377" 【考点六 画已知图形关于某点对称的图形】 PAGEREF _Tc11377 \h 9
\l "_Tc2687" 【考点七 与三角形中位线有关的求解问题】 PAGEREF _Tc2687 \h 12
\l "_Tc26147" 【考点八 三角形中位线与三角形面积问题】 PAGEREF _Tc26147 \h 14
\l "_Tc17347" 【考点九 与三角形中位线有关的证明】 PAGEREF _Tc17347 \h 17
\l "_Tc9068" 【考点十 三角形中位线的实际应用】 PAGEREF _Tc9068 \h 20
\l "_Tc31811" 【过关检测】 PAGEREF _Tc31811 \h 22
【典型例题】
【考点一 中心对称图形的识别】
例题：（2022秋·广东广州·九年级广州市第十六中学校考期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，即可求出答案．
【详解】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选： B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟练其定义是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是中心对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医D．少出门少聚集
【答案】C
【分析】直接利用中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A．选项的图形不是中心对称图形，不符合题意；
B．选项的图形不是中心对称图形，不符合题意；
C．选项的图形是中心对称图形，符合题意；
D．选项的图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的知识点，解答本题的关键是能够熟练掌握中心对称图形的概念．中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级校考期中）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．
【考点二 求关于原点对称的点的坐标】
例题：（2022秋·广东广州·九年级统考期末）已知点与点关于原点对称，则点坐标为________．
【答案】
【分析】关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数．
【详解】解：点与关于原点对称，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解决本题的关键是熟记关于原点对称的点的坐标特征．
【变式训练】
1．（2022秋·广东广州·九年级广州华侨外国语学校校考期末）已知点与点B关于原点对称，则点B的坐标为______．
【答案】
【分析】利用关于原点对称的坐标特征直接解答即可．
【详解】解：∵点与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为，
故答案为：
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟记关于原点对称的两个点横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．
2．（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考期末）平面直角坐标系中，一点关于原点的对称点的坐标是_________．
【答案】
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点坐标为”即可求解．
【详解】解：关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，熟知两个点的坐标特点是解题关键．
【考点三 已知两点关于原点对称求参数】
例题：（2023秋·山东滨州·九年级滨州市滨城区第三中学校考期末）已知点与点是关于原点O的对称点，则___________．
【答案】2
【分析】直接利用关于原点对称点的性质即可求得结果．
【详解】解：∵点与点是关于原点O的对称点，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则______．
【答案】
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，得出的值，进而代入代数式即可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
2．（2022秋·辽宁抚顺·九年级校考阶段练习）已知点与点关于原点对称，则_____．
【答案】##
【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．
【考点四 已知中心对称图形求对称中心的坐标】
例题：（2022秋·九年级课时练习）如图，和关于点E成中心对称，则点E坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用成中心对称的两个图形的对称点的连线的交点就是对称中心，可确定出点E的位置，观察可得点E的坐标．
【详解】解：连接，
∵和关于点E成中心对称 ，
∴交于点E，
∴点．
故答案为：A．
【点睛】本题考查了坐标与图象变化-旋转，解决本题的关键是熟练掌握图形旋转对称的性质．
【变式训练】
1．（2022秋·河北承德·九年级承德市第四中学校考期中）如图，中，，，．
(1)将向右平移4个单位长度，画出平移后的；
(2)画出关于x轴对称的；
(3)将绕原点O旋转，画出旋转后的；
(4)在，，中， ___________与___________成中心对称，对称中心的坐标是___________．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析；
(4)，，．
【分析】（1）首先将点A、B、C分别向右平移4个单位，得到点、、，顺次连接即可；
（2）作点A、B、C关于x轴的对称点、、，顺次连接即可；
（3）将A、B、C绕点O旋转，得到点、、，顺次连接即可；
（4）通过计算可得，和相交于点，根据中心对称图形的定义即可解答．
【详解】（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）如图所示；
（4）连接，和，
由图可得，，，，，，，
∵的中点为，的中点为，的中点为，
∴与呈中心对称，
∴对称中心为．
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了作图的综合问题，熟练掌握图形的平移、旋转和对称是解题的关键．
【考点五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】
例题：（2022秋·河北保定·九年级统考期中）如图，与关于点成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A．B．
C．点的对称点是点D．
【答案】B
【分析】根据中心对称的性质一一判断即可．
【详解】解：∵与关于点成中心对称，
∴，点的对称点是点，，，
故A、C、D正确，B错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称，平行线的判定等知识点，解题的关键是理解中心对称的性质．
【变式训练】
1．（2022秋·九年级单元测试）如图，与关于O点成中心对称．则________，________，________．
【答案】 =
【分析】利用关于某点对称的图形全等，这样可以得出对应边与对应角之间的关系，进而解决．
【详解】∵与关于O点成中心对称，
∴，
∴，∠ABC=∠DEF
∴，
∴．
故答案为：=，EF，DF．
【点睛】此题主要考查了关于某点对称的图形之间的关系，涉及全等三角形，难度不大，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2．（2022春·广西来宾·八年级统考期中）如图，和关于点成中心对称．
(1)找出它们的对称中心；
(2)若，，，求的周长；
(3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)15
(3)平行四边形，理由见解析
【分析】（1）根据中心对称的性质，对称中心在线段AD、CF上，则连接AD和CF，它们的交点即为对称中心O；
（2）根据中心对称的两个三角形全等可得到△DEF各边的长，然后计算△DEF的周长；
（3）根据中心对称的性质得OA=OD，OC=OF，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形ACDF为平行四边形．
（1）
如图，点O为所作：
（2）
∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴DF=AC=6，DE=AB=5，EF=BC=4，
∴△DEF的周长=4+5+6=15；
（3）
四边形ACDF为平行四边形．理由如下：
∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴OA=OD，OC=OF，
∴四边形ACDF为平行四边形．
【点睛】本题考查了中心对称的性质．也考查了平行四边形的判定．熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定方法是解答本题的关键．
【考点六 画已知图形关于某点对称的图形】
例题：（2022秋·安徽·九年级统考期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)请画出绕点逆时针方向旋转90°后得到的图形．（点A，B，C的对应点分别为点，，）
(2)请画出（1）中关于原点对称的图形．（点，，的对应点分别为点，，）
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先画出三角形各顶点绕着点O逆时针旋转后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到旋转后的三角形；
（2）根据中心对称的性质，画出三角形各顶点关于点O的对称点，再用线段依次连接各顶点，得到图形；
【详解】（1）解：如下图：
作图步骤：
连接
以O为旋转中心，在逆时针方向作出与原对应线段相等，对应点分别为点，，，
连接各点即可；
（2）如下图：
作图步骤：
反向延长，根据对应线段相等作出对应点，，，
连接，，即可．
【点睛】本题主要考查了图形基本变换中的旋转及中心对称的知识，解决问题的关键是先找准对应点，并依次连接对应点．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．
(1)画出关于原点成中心对称的；
(2)画出绕C点顺时针旋转得到的，直接写出的坐标为______；
(3)若P为y轴上一点，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，
(3)见解析，的最小值为
【分析】（1）根据中心对称确定点，顺次连线即可；
（2）根据旋转的性质得到点，连线即可得到及的坐标；
（3）取点C关于y轴的对称点，连接交y轴一点即为点P，此时的值最小，利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，；
故答案为：；
（3）如图，点P即为所求，此时，即的最小值为，
，
∴的最小值为．
【点睛】此题考查了作图—旋转变换，轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会利用轴对称解决最短路径问题．
2．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)请画出向右平移4个单位长度后得到的；
(2)请画出关于原点的对称点；
(3)可视为绕点旋转 _________ °得到，所以和关于旋转中心成 _________ 对称．
【答案】(1)画图见解析；
(2)画图见解析；
(3)，中心；
【分析】（1）分别确定A，B，C，平移后的对应点，，，再顺次连接，，即可；
（2）分别确定A，B，C，关于原点对称的对应点，，，再顺次连接，，即可；
（3）由，，的对应点分别为，，，结合其位置与坐标可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形，
（2）如图，即为所求作的三角形，
（3）由作图可得：可视为绕点旋转得到，所以和关于旋转中心成中心对称．
【点睛】本题考查的是画平移图形，画关于原点对称的图形，熟练的掌握平移的性质与中心对称的性质是解本题的关键．
【考点七 与三角形中位线有关的求解问题】
例题：（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考开学考试）如图，的对角线交于点O，E是的中点，连结，若，则等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质可得，再由勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·云南文山·统考三模）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，则的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】C
【分析】由中位线的性质定理得，，且，由平行线的性质结合角平分线可得，则可求得的长．
【详解】是的中位线，，
，，，
，
是的平分线，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
2．（2021春·四川凉山·八年级校考期中）如图，中，平分，且，E为的中点，，，，则的长为（ ）．
A．6B．3C．1.5D．5
【答案】B
【分析】延长交于F，利用“角边角”证明和全等，求出并判断出是的中位线，然后根据三角形中位线的性质可得．
【详解】解：如图，延长交于F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵点E为的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
【考点八 三角形中位线与三角形面积问题】
例题：（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，在中，D，E，F分别是的中点，，则_____
【答案】8
【分析】由三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得出，，进而得出，，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，
而，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2021秋·辽宁营口·八年级校考期中）如图，三边的中线，，的公共点为G，且，若，则图中阴影部分的面积是_____．
【答案】
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，可知的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【详解】解：∵的三条中线，，交于点G，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
2．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，在中，，D、E分别为、的中点，，过点B作，交的延长线于点F，则四边形的面积为 _____．
【答案】
【分析】利用三角形的中位线定理，得到，利用所对的直角边是斜边的一半，求出，利用勾股定理，求出，进而求出，利用求出面积即可．
【详解】解：∵D、E分别为、的中点，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴四边形的面积为；
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，含的直角三角形，以及平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
【考点九 与三角形中位线有关的证明】
例题：（2023秋·重庆北碚·九年级重庆市兼善中学校考期末）如图，中，M为的中点，为的平分线，于D．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)14
【分析】（1）延长，交于点E，通过证明≌，得到，，进而得到为的中位线，即可得证；
（2）利用勾股定理得到线段的长度，再结合（1）的结论，即可求出线段的长度．
【详解】（1）解：如图，延长，交于点E，
∵平分，
∴，
在与中，
∴≌，
∴，，
即点D为线段的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、中位线的定义及性质，根据题目的提示，正确做出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，与交于点O．
(1)试说明与互相平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合已知条件推知四边形是平行四边形，则该平行四边形的两条对角线互相平分；
（2）根据勾股定理求得的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求的长度．
【详解】（1）∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴且．
又，即，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（2）∵在中，，，，
∴由勾股定理得，
又由（1）知，，且，
∴．
∴在中，，，，
∴由勾股定理得 ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理．理解三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解决问题的关键．
2．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边的性质得出，，根据，，可得是的中位线，等量代换得出，可得，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质得出，求得，根据，由等边对等角即可求解．
【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
是的中位线，
，，
为的中点，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，中位线的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
【考点十 三角形中位线的实际应用】
例题：（2022秋·四川遂宁·九年级校联考期中）如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是、中点，测量的长度为，那么的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角形中位线定理即可求得的长度．
【详解】∵M、N分别是、中点，且，
∴是的中位线，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理的实际应用，掌握定理是关键．
【变式训练】
1．（2022春·河南·八年级校考期末）为建美丽乡村，需测量河两岸相对A，B两点间的距离（如图），可以在河外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点G，H，测得GH=100m，则AB=（ ）
A．150mB．160mC．170mD．200m
【答案】D
【分析】点G，H分别是AC，BC的中点，由三角形中位线的性质可得，AB=2GH，可得答案．
【详解】解：∵点G，H分别是AC，BC的中点，
∴，
∴AB=2GH=200m，
故选D
【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，由实际问题抽象出数学模型是解题的关键．
2．（2022春·河北唐山·八年级统考期中）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是______．
【答案】20m
【分析】根据三角形的中位线定理即可进行解答．
【详解】解：∵C、D分别为AO、BO中点，
∴CD=AB，
∵CD＝10m，
∴AB=20m，
故答案为：20m．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，熟练掌握“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半” 是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·河南许昌·九年级校考期末）已知点，关于原点对称，则的值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特征得到，，然后求出a、b，从而得到的值．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．
2．（2023秋·福建福州·九年级校考期末）下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．（2023秋·湖南长沙·九年级校考开学考试）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点与点是对称点B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据中心对称的性质判断即可．
【详解】解：与关于点成中心对称，
点与是一组对称点，，，
，，都不合题意．
与不是对应角，
不成立．
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键．
4．（2022秋·吉林长春·九年级长春市第五十二中学校考期末）如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质可得，为的中点，通过中位线的性质可得，，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
∵，平分，
∴为中线，即为的中点，
又∵E为的中点，
∴为的中位线，
∴，
故选：B
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
5．（2022春·四川达州·八年级统考期末）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，点E是的中点，连接、，若，下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由四边形是平行四边形，得到，，点E是的中点，推出是等边三角形，证得，求出，故①正确；
由，可求出的长，进而可求出，故②正确；
易证为的中位线，可得，又因为，所以可得，故③正确；
根据等底同高的三角形面积相等可得，再由③可知，进而可得，故④错误．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，点E是的中点，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵O为中点，E为中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及中位线性质定理的运用．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键．
二、填空题
6．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）点与点关于原点对称，则________．
【答案】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可求出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
则．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图的四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是___．
【答案】③④##④③
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，可得答案；
【详解】解：①是中心对称图形，故①错误；
②是轴对称图形，故②错误；
③既是轴对称图形又是中心对称图形，故③正确；
④既是轴对称图形又是中心对称图形，故④正确；
故答案为：③④．
【点睛】本题考查了中心对称图形、轴对称图形的概念，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
8．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，与关于点O成中心对称，已知∠BAO＝90°，，，则的长为_____．
【答案】
【分析】根据与关于点O成中心对称，推出，，，得到，根据勾股定理得到．
【详解】∵与关于点O成中心对称，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了中心对称，勾股定理等．解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质，勾股定理解直角三角形．中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对称线段共线或平行．
9．（2023春·八年级单元测试）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，则___．
【答案】##30度
【分析】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．
【详解】解：∵，E，F，G分别是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
,
,
又 ,
,
,
,
.
故答案为：．
【点睛】主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质，根据中位线定理证得是解决问题的关键．
10．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E、F分别是线段、的中点，若，的周长是18，则__________．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可知，结合，的周长是18，求出的长，利用三角形中位线定理求出的长．
【详解】解：∵平行四边形的对角线，相交于点O，
∴点O是，的中点，
∵，
∴，
∵的周长是18，
∴，
∵平行四边形的对角线，相交于点O，点E、F分别是线段、的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出的长，此题难度不大．
三、解答题
11．（2022秋·安徽·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标__________；
(2)画出将绕点逆时针旋转后得到的．
【答案】(1)图见解析，
(2)见解析
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
【详解】（1）如图所示．
故答案为：．
（2）如图所示
【点睛】本题考查了画中心对称图形，旋转图形，掌握中心对称的性质以及旋转的性质是解题的关键．
12．（2022秋·贵州遵义·九年级校考阶段练习）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题：
(1)画出关于原点O成中心对称的；
(2)将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的；
(3)将绕点P顺时针旋转与重合，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点即可；
（3）作和的垂直平分线，交点即为所求的点P．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，点P即为所求，．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质，属于中考常考题型．
13．（2022·宁夏银川·银川九中校考二模）如图，在中，、分别是、的中点，连接，过作交的延长线于点，
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】（1）由三角形的中位线定理推知，再结合，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证得结论；
（2）根据勾股定理求得的值，由三角形的中位线定理推知的长值，再由斜边中线等于斜边一半求得的值即可求得答案．
【详解】（1）解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：在中，，，，
,
是的中位线,，
，
是斜边的中线,
,
四边形的周长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的运用等知识点，熟练掌握性质定理是解题关键．
14．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，点、分别为，的中点，点，在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如图，连交于点，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，可得，，再证明，从而可得结论；
（2）证明是的中位线，从而可得答案．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别为▱的边、的中点，
，
在与中，

≌，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，
即，
，
即，
，
，
为的中点，
是的中位线，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的定义与性质，熟练的利用平行四边形的性质进行证明是解本题的关键．
15．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）在中，，垂足为点，点是边的中点，，交于点，，连接．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接、、，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度为的2倍的线段．
【答案】(1)见解析；
(2)图2中长度为的2倍的线段是、、．
【分析】（1）证明是的中位线，由三角形中位线定理得出，证出，得出四边形是平行四边形；
（2）由HL证明和，得出，，，得出，证出四边形是平行四边形，因此，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∴是的中点，
∵点是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：；理由如下：
∵，
∴，
在和中，
∴（HL），
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即图2中长度为的2倍的线段是、、．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．