【期末常考压轴题】湘教版七年级数学下册-专题11 平行线的性质与判定压轴题十种模型 全攻略讲学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14428" 【典型例题】 PAGEREF _Tc14428 \h 1
\l "_Tc27006" 【考点一 两直线平行，同位角相等】 PAGEREF _Tc27006 \h 1
\l "_Tc26643" 【考点二 两直线平行，内错角相等】 PAGEREF _Tc26643 \h 3
\l "_Tc11155" 【考点三 两直线平行，同旁内角互补】 PAGEREF _Tc11155 \h 4
\l "_Tc972" 【考点四 同位角相等，两直线平行】 PAGEREF _Tc972 \h 6
\l "_Tc12713" 【考点五 内错角相等，两直线平行】 PAGEREF _Tc12713 \h 8
\l "_Tc26730" 【考点六 同旁内角互补，两直线平行】 PAGEREF _Tc26730 \h 9
\l "_Tc5968" 【考点七 添加一条件使两条直线平行】 PAGEREF _Tc5968 \h 11
\l "_Tc5262" 【考点八 根据平行线的性质与判定求角度】 PAGEREF _Tc5262 \h 12
\l "_Tc13488" 【考点九 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Tc13488 \h 14
\l "_Tc11179" 【考点十 平行线的性质与判定综合应用】 PAGEREF _Tc11179 \h 16
\l "_Tc9164" 【过关检测】 PAGEREF _Tc9164 \h 19
【典型例题】
【考点一 两直线平行，同位角相等】
例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，．，则的度数为（ ）
A．58°B．112°C．120°D．132°
【答案】A
【分析】根据平行线性质得出，根据对顶角相等即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等．
【变式训练】
1．（2023·吉林· 九年级阶段练习）如图，直线．直线与、分别交于、两点．若，则的大小为_____度．
【答案】
【分析】根据邻补角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵直线，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角的应用，解此题的关键是求出的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
2．（2020·吉林·东北师大附中明珠学校七年级期末）如图，D为中延长线上一点，，若，，则_____．
【答案】72
【分析】由，，求出，，，由得，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行线性质，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
【考点二 两直线平行，内错角相等】
例题：（2022·湖南·长沙市立信中学九年级阶段练习）如图，直线a，b被c所截，，若，则的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】根据两直线平行，内错角相等可以判断，即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等得出，是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西大学附属中学九年级阶段练习）如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．140°
【答案】B
【分析】根据两直线平行内错角相等可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解本题的关键．
2．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，，，则的度数为（ ）
A．160B．140C．50D．40
【答案】B
【分析】利用平行线的性质先求解，再利用邻补角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【考点三 两直线平行，同旁内角互补】
例题：（2022·辽宁·沈阳市培英中学七年级期中）如图，ABCD，射线AE交CD于点F，若∠1＝114°，则∠2的度数等于_____°．
【答案】66
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．
【详解】∵ABCD，
∴∠1+∠AFD=180°．
∵∠1=114°，
∴∠AFD=66°．
∵∠2和∠AFD是对顶角，
∴∠2=∠AFD=66°．
故答案为66．
【点睛】本题考查了平行线，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．
【变式训练】
1．（2022·上海理工大学附属中学七年级期末）如图直线、被直线所截，且，已知比大，则______．
【答案】65
【分析】根据题意可得，然后利用平行线的性质可得，进行计算即可解答．
【详解】解：比大，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b与点C，若，则的度数为________．
【答案】##63度
【分析】根据，可得，即可求出的度数．
【详解】解：∵，，，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补正确找出是解答本题的关键．
【考点四 同位角相等，两直线平行】
例题：（2022·山东泰安·七年级期末）如图，，，．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？
【答案】BEDF，见解析
【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用，，得到∠1=∠4，即可得到结论BEDF．
【详解】解：BEDF，
∵，
∴∠ABC=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵，，
∴∠1=∠4，
∴BEDF．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·北京市第三十九中学七年级期中）如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是______．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】利用同位角相等，两直线平行画一条直线与原直线平行．
【详解】解：在图中画两个相等的同位角，则可判断所画直线与原直线平行．
故答案为同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
2．（2022·江西·定南县教学研究室七年级期末）如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2，试判断BM与DN是否平行，为什么？
【答案】；理由见解析
【分析】根据AB⊥EF，CD⊥EF， 得出∠ABE＝∠CDE＝90°，根据∠1＝∠2，得出∠MBE＝∠NDE，即可得出．
【详解】；理由如下：
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直的定义)，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2，
即∠MBE＝∠NDE，
∴ (同位角相等，两直线平行)．
【点睛】本题主要考查了垂直的定义，余角的性质，平行线的判定，根据题意得出∠MBE＝∠NDE，是解题的关键．
【考点五 内错角相等，两直线平行】
例题：（2022·山东·曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线DE上，AB⊥AC于A，∠1与∠C互余，DE和BC平行吗？若平行，请说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】由垂直定义可得∠BAC=90°，根据平角定义得∠1+∠BAC+∠CAE=180°，即可得出∠1+∠CAE=90°，由∠1与∠C互余，根据余角的性质即可得出∠CAE=∠C，根据平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】解：平行， 理由如下：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠1+∠BAC+∠CAE=180°，
∴∠1+∠CAE=90°，
∵∠1与∠C互余，即∠1+∠C=90°，
∴∠CAE=∠C，
∴DEBC．
【点睛】本题考查平行线的判定，余角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·云南·弥渡县弥城镇中心学校七年级期中）已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，试说明的理由．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线定义求出∠1＝∠EAC，根据已知求出∠C＝∠EAC，推出∠C＝∠1，根据平行线的判定得出结论．
【详解】理由：∵AD平分∠EAC，
∴∠1＝∠EAC，
∵∠EAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，
∴∠C＝∠EAC，
∴∠C＝∠1，
∴ADBC．
【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的判定，关键是根据定理和已知推出∠1＝∠C，题目比较典型，难度不大．
2．（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）如图，∠1＝∠C，AC平分∠DAB，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据角平分线的定义得出∠1＝∠2，再利用内错角相等，两直线平行证明即可．
【详解】证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠C，
∴∠2＝∠C，
∴．
【点睛】此题考查平行线的判定，关键是根据角平分线的定义得出∠1＝∠2．
【考点六 同旁内角互补，两直线平行】
例题：（2022·西藏昂仁县中学七年级期中）如图，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求证：ADBC．
【答案】见解析
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行证明即可．
【详解】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠CAD＝20°，∠B＝70°，
∴∠B+∠BAD=70°+90°+20°=180°，
∴ADBC．
【点睛】本题考查平行线的判定、垂直定义，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·吕良中学七年级阶段练习）如图，直线与射线相交于点O，，直线与平行吗？为什么？
【答案】ABCD，理由见解析
【分析】先由对顶角性质得∠AOD=∠BOE=130°，再计算∠AOD+∠D=180°，即可得出结论．
【详解】解：ABCD，
理由：∵∠AOD=∠BOE=130°（对顶角相等），
∴∠AOD+∠D=130°+50°=180°，
∴ABCD(同旁内角互补，两直线平行)．
【点睛】本题考查平行线的判定，对顶角性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
2．（2022·山东·聊城市东昌府区博雅学校七年级阶段练习）如图，射线BC平分∠ABD，且∠1=110°，∠2=70°．求证：AB∥CD．
【答案】见解析
【分析】先根据角平分线的定义和对顶角相等可得出∠ABC=∠2=70°，再由对顶角相等可得出∠1=∠BCE=110°，则∠ABC+∠BCE=180°，由此可得出结论．
【详解】证明：∵射线BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠2，
∵∠1=110°，∠2=70°，∠1=∠BCE，
∴∠ABC=70°，∠BCE=110°，
∴∠ABC+∠BCE=180°，
∴AB∥CD．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同旁内角互补，两直线平行．
【考点七 添加一条件使两条直线平行】
例题：（2022·江西赣州·七年级期中）如图，点E在AC的延长线上，若要使，则需添加条件_______（写出一种即可）
【答案】∠1=∠2 等 （写出一种即可）
【分析】根据平行线的判定定理得出直接得出即可．
【详解】解：∵当∠1 =∠2时，（内错角相等，两直线平行）；
∴若要使，则需添加条件∠1 =∠2；
故答案为：∠1=∠2．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知∠1=40°，则∠2=_________°时，直线a，b平行.
【答案】40
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1=∠2，然后根据∠1的度数，即可得到∠2的度数．
【详解】解：∵a∥b，
∴∠1=∠2，
∵∠1=40°，
∴∠2=40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查平行线的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
2．（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，要使，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）．
【答案】(答案不唯一）
【分析】利用两线平行的判定方法，找到一组同位角相等即可．
【详解】解：当时：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查两直线平行的判定方法．利用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，任选其一解题即可．
【考点八 根据平行线的性质与判定求角度】
例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：，，
(1)说明：．
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据对顶角相等得到，再利用平行线的判定即可证明；
（2）根据平行线的性质求出即可．
（1）
解：∵，，
∴，
∴；
（2）
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知，，，求：
(1)
(2)的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)100°．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定方法即可得到结论；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解．
（1）
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）
解：∵
∴．
∵，
∴
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握两只线平行同旁内角互补是关键．
2．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2．
(1)求证：；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ADG＝40°
【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；
（2）先求出∠C，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解．
（1）
证明：∵，
∴∠1＝∠DBC．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DBC，
∴．
（2）
∵EF⊥AC，
∴∠CEF＝90°．
∵∠2＝∠1＝50°，
∴∠C＝90°－50°＝40°．
∵，
∴∠ADG＝∠C＝40°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
【考点九 平行线的性质在生活中的应用】
例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．
【答案】120
【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．
【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，
由题意可知，∠ABF=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，
∵BF∥CD，
∴∠FBC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·菏泽市牡丹区第二十二初级中学七年级期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______．
【答案】48°##48度
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：如图，∵水面和杯底互相平行，
∴∠1+∠3=180°，又∠1＝132°，
∴∠3=180°-∠1=48°，
∵水中的两条折射光线是平行的，
∴∠2=∠3=48°，
故答案为：48°．
【点睛】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【答案】##60度
【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵光线，都是水平线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【考点十 平行线的性质与判定综合应用】
例题：（2021·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
【答案】(1)①∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF，理由见解析；②如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
(2)30°，30°或70°和110°
【分析】（1）①根据平行线的性质，即可求解；②根据①写出结论，即可求解；
（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，由（1）的结论可得x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，即可求解．
（1）
解：①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，
故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．
理由：如图1中，
∵，
∴∠DPB＝∠DEF，
∵，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵，
∴∠DPC＝∠DEF，
∵，
∴∠ABC＝∠DPC，
∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）
解：设两个角分别为x和2x﹣30°，
由（1）得：x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝30°或x＝70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，理解如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补是解答关键．
【变式训练】
1．（2022·甘肃·金昌市第五中学七年级期中）如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)∠ABN的度数是 ；
(2)求∠CBD的度数；
(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．
【答案】(1)116°
(2)58°
(3)不变，∠APB＝2∠ADB，理由见解析
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补即可求解；
（2）根据角平分线的定义，结合（1）的结论即可求解；
（3）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据角平分线的定义可得∠PBN＝2∠DBN，即可求解．
（1）
解：∵AMBN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
故答案为116°；
（2）
∵AMBN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，
∴∠ABP+∠PBN＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
（3）
不变，∠APB＝2∠ADB，理由如下：
∵AMBN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB＝2∠ADB．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022·广东深圳·校联考模拟预测）如图，直线，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的有关性质．
2．（2023春·重庆江津·七年级重庆市江津中学校校考阶段练习）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ）．
A．70°B．80°C．100°D．120°
【答案】C
【分析】如图所示，过点B作，则，由平行线的性质进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
3．（2023春·七年级课时练习）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理逐项进行分析可得答案．
【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可得，故此选项不符合；
B、，根据内错角相等，两直线平行可得，故此选项符合；
C、，根据内错角相等，两直线平行可得，故此选项不符合；
D、，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故此选项不符合．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
4．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）已知，现将一个含角的直角三角尺按如图方式放置，其中顶点F、分别落在直线，上，交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由对顶角相等可得，再由平行线的性质可得，最后根据平行线的性质可得的度数．
【详解】解：交于点，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
5．（2023春·浙江绍兴·七年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论：①；②；③；④.其中，正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】D
【分析】利用，BD平分，EF平分，可以判断出①②正确；再根据 与不一定相等，再利用 与相等，可判断出③不一定正确；根据，推出，，最后利用等量代换可得到④正确．
【详解】∵，
∴，，
∵BD平分，EF平分，
∴，，
∴，
，
∴，
故①②正确；
∴ 与不一定相等，
由题意可知，
∴与不一定相等，
故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴
故④正确，
∴①②④正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
二、填空题
6．（2023秋·四川乐山·七年级统考期末）如图，请你写出一个条件使，你写出的条件是________．
【答案】(答案不唯一)
【分析】利用平行线的判定方法即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：(答案不唯一)．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
7．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，是一款手推车的平面示意图，其中，，则______度．
【答案】
【分析】因为，与是内错角所以．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，解题关键是牢记该性质．
8．（2022春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，已知，若，则的度数为 _____．
【答案】##120度
【分析】如图：过点C作，由平行公理可得，根据平行的性质可得，进而得到，然后由余角的性质可得，最后根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：如图：过点C作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：120°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线、构造平行线是解答本题的关键．
9．（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图所示，把一张长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置．若，则等于________；
【答案】##度
【分析】根据平行线的性质可得，再由折叠的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质得：，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，图形的折叠，熟练掌握平行线的性质，图形的折叠的性质是解题的关键．
10．（2023春·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．，CD与AB在直线EF异侧．若，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
【答案】4秒或40秒
【分析】分①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
∵，，
∴，，
要使，则，
即，
解得t=4；
此时，
∴；
②旋转到与都在的右侧时，
∵，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
∴；
③旋转到与都在的左侧时，
∴，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
而，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，与平行．
故答案为：4秒或40秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
三、解答题
11．（2023春·天津宁河·七年级校联考阶段练习）已知：如图，与相交于点F，，．求证：
【答案】见解析
【分析】由，依据“同位角相等，两直线平行”证得，依据“两直线平行，同位角相等”可证得，由等量代换得，最有依据“内错角相等，两直线平行”证得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的证明和性质的应用；解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
12．（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市第四十二中学校考阶段练习）如图，，直线分别交、于点、，平分，若，求的度数．
【答案】
【分析】先根据平行线的性质求得，，再利用角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
13．（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）如图所示，直线，相交于点，过点作射线，使得平分．
(1)若，求的度数；
(2)连接，若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据平角的定义得出，根据角平分线的定义得出；
（2）根据对顶角相等得出，根据已知条件得出，然后得出，即可得证
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
14．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，，，．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，，得出，根据，得出即可；
（2）根据平分，，得出，根据平行线的性质，得出答案即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行同位角相等．
15．（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）已知，如图，，分别探讨下面四个图形中与，之间的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明．
(1)在图1中，与，之间的关系是：______．
(2)在图2中，写出与，之间的关系，并加以证明．
(3)在图3中，写出与，之间的关系，并加以证明．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；
（2）首先过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；
（3）过点P作，即可得，再根据两直线平行，同旁内角互补，，然根据整理即可．
【详解】（1）解：如图，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）
如图，过点作，
．
又，
，
，
，
而，
；
（3）如图，过点P作，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．
16．（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．
(1)在如图①所示的情形下，若，求的度数；
(2)在如图②所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数；
(3)如图③，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有，的代数式表示的补角．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点E作，根据，可得，得；
（2）过点F作，结合（1）的方法，根据平分，平分，即可求的度数；
（3）过点F作，结合（1）的方法，根据平分，平分，设，，即可用含有，的代数式表示的补角．
【详解】（1）解：过点E作，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：如图，过点F作，
，
，
，， ，
平分，平分，，，
，，
．
（3）解：如图，过点F作，
，
，
，，
，
平分，平分，，，
，，
，
的补角： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线定义；作出辅助线，掌握平行线的性质并会应用是解题的关键．