【期末常考压轴题】湘教版八年级数学下册-专题01 直角三角形的性质和判定压轴题六种模型 全攻略讲学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20746" 【典型例题】 PAGEREF _Tc20746 \h 1
\l "_Tc17450" 【考点一 直角三角形的两个锐角互余】 PAGEREF _Tc17450 \h 1
\l "_Tc803" 【考点二 有两个角互余的三角形是直角三角形】 PAGEREF _Tc803 \h 2
\l "_Tc19868" 【考点三 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】 PAGEREF _Tc19868 \h 4
\l "_Tc9908" 【考点四 直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半】 PAGEREF _Tc9908 \h 6
\l "_Tc17872" 【考点五 直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理】 PAGEREF _Tc17872 \h 8
\l "_Tc11650" 【考点六 三角形两边的平方和等于第三边的平方，即勾股定理逆定理】 PAGEREF _Tc11650 \h 10
\l "_Tc6857" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6857 \h 13
【典型例题】
【考点一 直角三角形的两个锐角互余】
例题：（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角度数为______．
【答案】##度
【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可求解．
【详解】解：若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角度数为
故答案为：
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）直角三角形中两个锐角的差为60°，则较小的锐角度数是______．
【答案】15°##15度
【分析】根据直角三角形中两个锐角互余，且差为60°，即可得到结果．
【详解】解：设其中较小的一个锐角是，则另一个锐角是，
直角三角形中两个锐角互余，
，
解得：，
较小的一个锐角是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，根据题意列出方程是解题的关键．
2．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）如图，在中，，，点为延长线上一点，点为边上一点，若，则的度数为 __．
【答案】##65度
【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出。
【详解】解：在中，，，
则，
是的外角，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题关键．
【考点二 有两个角互余的三角形是直角三角形】
例题：（2022秋·上海宝山·八年级校联考期末）如图，在中，，、边上的高、交于点H，点F、G分别是、的中点．
(1)求证：；
(2)联结，求证是等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据、分别为、边上的高，得到，再根据，得到，即可得到证明；
（2）由（1）得，根据点G是的中点得到，，同理得到，从而得到，即可得证明．
【详解】（1）证明∵、分别为、边上的高
∴、、是直角三角形，
∴，，
∴
在中，
∵，
∴，
∴
在和中
∵ ，
∴；
（2）证明：∵；
∴，
在中，点G是的中点，
∴，
∴
同理，，
∴，，
∵
∴，
∴
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查全等三角形性质与判定，直角三角形斜边上中线等于斜边一半及直角三角形两锐角互余，解题的关键是经过角度互余转换等到线段相等．
【变式训练】
1．（2022秋·河北·八年级校联考期中）如图，都是的高，在上载取，在射线上截取，连接．
(1)求证：；
(2)若与交于点H，求证：为直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先根据垂直的定义和三角形内角和定理得出，再根据直接求证即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余得出，将角进行代换即可证明为直角三角形．
【详解】（1）∵都是的高，
∴，
，
，
又，
；
（2）∵，
∴，
，
，
，
，
∴为直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余和直角三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
【考点三 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】
例题：（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，在中，，，为线段的中点，则______．
【答案】
【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，则等边对等角，即．
【详解】解：在中，，，
．
为线段的中点，
，
．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，掌握相关的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·广东江门·八年级校联考期中）如图，在直角三角形中，斜边，那么边上的中线的长为_______cm．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：∵在直角三角形中，斜边，
∴边上的中线的长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
2．（2022秋·江苏南京·八年级南京市第一中学校考阶段练习）如图，在中，是高，E，F分别是的中点．若四边形的周长为24，，则_____．
【答案】9
【分析】根据线段中点的概念得到根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据四边形的周长公式得到，进而求出．
【详解】∵E，F分别是的中点，
∴
∵是高，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴四边形的周长，
∵四边形的周长为24，
∴，
∵，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【考点四 直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半】
例题：（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，CD是的高，．，则的长是___________，的长是___________．
【答案】 4 6
【分析】求，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半进行求解．求出的长，再根据推出，根据30°所对的直角边等于斜边的一半推出，进而推出．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵，CD是的高，
∴ ，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4，6．
【点睛】本题考查了在根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。解题的关键是找到题目中的直角三角形和30°的角．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，是边长为8的等边三角形，D是上一点，，交于点E，则线段_____．
【答案】2
【分析】在中，求出即可解决问题．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
2．（2021秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，在中，， 点在边上，． 若，， 则的长为___________．
【答案】
【分析】在直角中，由含角的直角三角形的性质求得的长度，结合图形易得．
【详解】解：如图，
在中，，，
，
，
，
又，
．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，掌握相关性质是解题的关键．
【考点五 直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理】
例题：（2022秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）已知在中，．
(1)当，时，求的长；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，，根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
当，时，
（2）解：当时，
【点睛】此题考查了勾股定理以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练应用相关性质进行求解．
【变式训练】
1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，在中，，，D是边的中点，求的长和的面积．
【答案】的长为，的面积为．
【分析】利用等腰三角形的性质证明，再利用勾股定理计算出的长，根据三角形的面积公式代入数计算即可得的面积．
【详解】解：∵，，D是边的中点，
∴，，
∴在中， ；
∴的面积为：．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，根据题意证明是解决问题的关键．
2．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，用两根木棒、加固小树，木棒、与小树在同一平面内，且小树与地面垂直，，．
(1)若，求的长；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，直接运用勾股定理进行计算即可；
（2）在和中，分别运用勾股定理表示出的长，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题可得：，
∴，
在中，；
（2）解：在中，，
在中，，
∴
解得：．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【考点六 三角形两边的平方和等于第三边的平方，即勾股定理逆定理】
例题：（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可证明；
（2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴
∴
∴是直角三角形；
（2）解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴设，则，
∵在中，
，
∴，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解．
【变式训练】
1．（2022秋·陕西榆林·八年级榆林市第一中学分校校考期末）如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；
（2）设，根据勾股定理得到，即，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，，即，
∴为直角三角形．
（2）解：设，
∵是等腰三角形，
∴．
∵为直角三角形，
∴也为直角三角形，
∴，即，
解得：，
∴．
【点睛】此题考查了勾股定理及逆定理，正确掌握定理并熟练应用是解题的关键．
2．（2022秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，且．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，如图所示，由中垂线的性质，得到，结合，得到，利用勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形，且；
（2）在中，利用勾股定理得到，再利用中垂线性质即可得到．
【详解】（1）解：（1）连接，如图所示：
∵的垂直平分线分别交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：∵，
∴在中，，
∵垂直平分线，
∴．
【点睛】本题考查中垂线的性质求角度及线段长，涉及中垂线性质、勾股定理的逆定理、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理、中垂线的性质是解决问题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中）在直角三角形中，一个锐角为，则另一个锐角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和等于，解答即可．
【详解】解：∵直角三角形中，一个锐角为，
∴另一个锐角的度数为：，
故选D．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，熟练掌握三角形的内角和定理，是解答此题的关键．
2．（2022秋·河北廊坊·八年级校联考期末）如图，是的高，若，，则的长为（ ）
A．4B．3C．3．5D．2
【答案】B
【分析】根据含角的直角三角形的性质，直接得出答案即可．
【详解】解：∵是的高，
∴，
∴，
∵，，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半．
3．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）在中，，，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是，由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】A、由得到：
，∴，
故能判定是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，
又∵，则，
故不能判定是直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵，
∴，
故能判定是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、由，
∴，
∴，
能判定是直角三角形，故本选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形内角和及勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，在中，于点且于点，连接，则的长为（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】已知，，则和是直角三角形，，即；根据，则是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出答案．
【详解】∵，
∴和是直角三角形，
又∵，
∴，
∴
∵
∴是直角三角形，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和直角三角形斜边中线等于斜边一半，理清题意，得出是直角三角形是解题的关键．
5．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】D
【分析】设，由折叠的性质可得，利用勾股定理得到，计算即可．
【详解】解：∵D是的中点，，
∴，
设，
由折叠的性质可得，
在中，，
，
解得．
故线段的长为．
故选D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据勾股定理列出方程，即可求解．
二、填空题
6．（2022秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）一直角三角形的两直角边长满足，则该直角三角形的斜边长为________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，得出的值，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴该直角三角形的斜边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，勾股定理，得出的值是解题的关键．
7．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，三角形花园的边界互相垂直，若测得，则边界的中点D与点C的距离是____________m．
【答案】5
【分析】连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：连接，
∵互相垂直，
∴，
∵，D是边界的中点，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．
8．（2022秋·北京东城·八年级东直门中学校考期中）如图，将长方形沿对角线折叠，使点C恰好落在点的位置，若，则_______°．
【答案】
【分析】依据长方形的性质可知，，证明，由折叠的性质可知，故此可求得问题的答案．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由折叠可得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是长方形的性质、平行线的性质，翻折的性质，直角三角形的性质，依据翻折的性质求得是解题的关键．
9．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，点为上一点，连接，，，，则________．
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理可得，然后设，则，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，即，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，根据题意得到是解题的关键．
10．（2022秋·北京顺义·九年级校考期中）如图，在中，，，，点为中点，若动点以1cm/s的速度出发，沿着由的方向运动，设点E运动的时间为秒，连接，当为直角三角形时的值为______．
【答案】2秒或秒．
【分析】先求出的长，再分时，时，利用含的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
当时，而，如图，
∴，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，则，
∴
当时，如图，
由，，可得，
∴，
∴，
∴，
∴
综上所述，t的值为2秒或秒．
故答案为：2秒或秒．
【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，清晰的分类讨论 解本题的关键．
三、解答题
11．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知中，，于点，是中点，，求证：．
【答案】证明见详解
【分析】连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出等腰三角形，再等量代换即可得到结论；
【详解】证明：连接，
∵，
∴ ，
∵是中点，
∴；
∴
∵
∴
在中
外角
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了三角形的外角定理，平行线额性质以及直角三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键．
12．（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）已知，如图在中，，平分交于，交于，，求的度数．
【答案】
【分析】先求出，再根据直角三角形两锐角互余求出的度数，即可根据三角形的外角求出的度数．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟练掌握各性质是解题的关键．
13．（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期末）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米．
(1)是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，求这块空地铺满草坪共需花费多少元？
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析；
(2)这块空地铺满草坪共需花费4800元
【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理求出，即可得答案；
（2）求出区域的面积即可求出费用．
【详解】（1）解：如下图，连接，
，
由勾股定理可得，
，
，
是直角三角形；
（2）草坪面积（平方米），
元，
这块空地铺满草坪共需花费4800元．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是掌握如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
14．（2023春·八年级单元测试）如图，四边形中，为对角线，于点，已知，．
(1)请判断的形状并说明理由．
(2)求线段的长．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判定的形状；
（2）根据的面积不变即可求出线段的长．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
在直角中，，
，
，，
是直角三角形；
（2）解：由（1）知，是直角三角形，且．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
15．（2022秋·山西临汾·八年级统考期末）如图，的三边分别为，，，如果将沿折叠，使恰好落在边上．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求线段的长．
【答案】(1)是直角三角形；
(2)CD．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断是否成立即可．
（2）设折叠后点与上的点重合．在Rt中，根据勾股定理即可得到一个关于的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）是直角三角形，
理由：
∵，
∴，
是直角三角形；
（2）设折叠后点与上的点重合，
设，则，，，，
∵，
在Rt中，，
整理得：，
解得：，
即线段的长为．
【点睛】本题考查翻折的性质、勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是运用勾股定理逆定理证得．
16．（2021秋·浙江温州·八年级统考期末）如图，在等腰中，，是边上的中线，E是边上一点，交于点F，．
(1)求证：．
(2)当，时，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性质得，，，再利用三角形比较好定理可证明结论；
（2）连接，设，则，在中，由勾股定理得，，解得，再利用勾股定理求出的长，从而解决问题．
【详解】（1）证明：，是边上的中线，
，．
，
．
，，
，
．
（2）解：连接，
，
在中，
是边上的中线，，
∴．
设，则，
在中，，
，
解得，
在中，，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．