【期末常考压轴题】湘教版七年级数学下册-专题05 同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方压轴题八种模型 全攻略讲学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8493" 【典型例题】 PAGEREF _Tc8493 \h 1
\l "_Tc19999" 【考点一 同底数幂相乘】 PAGEREF _Tc19999 \h 1
\l "_Tc14167" 【考点二 同底数幂乘法的逆用】 PAGEREF _Tc14167 \h 2
\l "_Tc14131" 【考点三 已知代数式的值，求式子的值】 PAGEREF _Tc14131 \h 3
\l "_Tc8713" 【考点四 新定义关于同底数幂的运算】 PAGEREF _Tc8713 \h 3
\l "_Tc2941" 【考点五 幂的乘方运算】 PAGEREF _Tc2941 \h 6
\l "_Tc21932" 【考点六 幂的乘方的逆用】 PAGEREF _Tc21932 \h 6
\l "_Tc5672" 【考点七 积的乘方运算】 PAGEREF _Tc5672 \h 7
\l "_Tc8074" 【考点八 积的乘方的逆用】 PAGEREF _Tc8074 \h 8
\l "_Tc27413" 【过关检测】 PAGEREF _Tc27413 \h 10
【典型例题】
【考点一 同底数幂相乘】
例题：（2022·江苏南京·七年级期末）计算的结果是___________．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
故答案为：
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·重庆巴蜀中学八年级阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法法则解决此题．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
2．（2022·湖南郴州·七年级期末）计算：______．
【答案】
【分析】根据同底数幂相乘法则计算，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，熟练掌握同底数幂相乘法则是解题的关键．
3.（2022·全国·八年级课时练习）计算：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；
（2）先根据同底数幂的乘法法则计算出各数，再合并同类项即可；
（3）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键．
【考点二 同底数幂乘法的逆用】
例题：（2022·山西太原·八年级阶段练习）已知，，则的值为______．
【答案】45
【分析】利用同底数幂的相乘法则的逆运算计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：45
【点睛】本题考查同底数的幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握同底数幂的相乘法则的逆运算．
【变式训练】
1．（2022·福建泉州·八年级期中）若，，则＝________．
【答案】
【分析】根据同底数幂的逆运算可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴；
故答案为12．
【点睛】本题主要考查同底数幂的逆运算，熟练掌握同底数幂的运算是解题的关键．
2．（2022·上海市闵行区梅陇中学七年级期中）已知，求_____．
【答案】6
【分析】根据同底数幂乘法的逆运用，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运用，熟练掌握同底数幂乘法的逆运用法则是解题的关键．
【考点三 已知代数式的值，求式子的值】
例题：（2022·四川雅安·七年级期中）已知，则的值是__________．
【答案】
【分析】由可得；然后根据同底数幂的乘法法则代入计算即可
【详解】解：由可得：
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、代数式的值；熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校期末）若，则m的值是________.
【答案】4
【分析】根据同底数幂乘法法则进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴1+2m+3m＝21
解得m＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决此题的关键．
2．（2022·湖南·郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习）若a+b+c=3，求的值．
【答案】1024
【分析】首先利用同底数幂的乘法法则进行计算，然后计算指数部分，最后将a+b+c=3代入进行计算即可．
【详解】解：，
∵a+b+c=3，
∴原式=1024．
【点睛】本题主要考查的是同底数的乘法，将a+b+c=3整体代入是解题的关键．
【考点四 新定义关于同底数幂的运算】
例题：（2021·福建·泉州市第六中学八年级期中）如果，那么我们规定，例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：____________，____________．
(2)记，，．求证：．
【答案】(1)3；4
(2)见解析
【分析】（1）根据示例要求，直接可求解；
（2）根据同底数幂相乘的逆用可求解．
（1）
解：∵=27，，
∴，．
故答案为：3；4．
（2）
解：因为，，，
∴，，；
∵
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘的逆应用，解答本题的关键是正确的找到题目给出的规律．
【变式训练】
1．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学七年级阶段练习）阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）．
一般地，若（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即=n）． 如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．
(1)计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式_________________________；
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：
=_________ ．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
【答案】(1)2；4；6
(2)
(3)
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，；
（3）由特殊到一般，得出结论：．
（1）
解：（1）∵22=4，24=16，26=64
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）
∵4×16＝64，＝2，＝4，＝6，
∴，
故答案为：；
（3）
由（2）的结果可得，
故答案为：．
【点睛】本题是开放性的题目，借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
2．（2022·福建·厦门市杏南中学八年级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．
例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：
______，______，______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明：
设，则，即
∴，即，
∴．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．．
【答案】(1)2，2，4；
(2)见解析．
【分析】（1）根据题中规定的新运算结合有理数的乘方求解即可；
（2）设，，根据同底数幂的乘法可得，然后结合题中规定的新运算即可证明．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，，
故答案为：2，2，4；
（2）解：设，，则，
∴，，，
∴．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
【考点五 幂的乘方运算】
例题：（2022·上海金山·七年级期末）计算：___________．
【答案】
【分析】先计算幂的乘方，然后根据同底数幂乘法的计算法则求解即可．
【详解】解：原式 ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法，熟知幂的乘方指数相乘，同底数幂乘法指数相加是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·上海市天山第二中学七年级期中）计算：．
【答案】
【分析】先算同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解题关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（2022·上海市民办立达中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】先计算同底数幂的乘法与幂的乘方运算，再合并同类项即可．
【详解】解： ．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，合并同类项，掌握“幂的乘方运算与同底数幂的乘法运算的运算法则”是解本题的关键．
【考点六 幂的乘方的逆用】
例题：（2022·福建省福州第十六中学八年级期中）若，，则______．
【答案】45
【分析】利用同底数幂乘法和幂的乘方公式对进行变形成含和的形式，再代入计算即可．
【详解】∵，，
∴．
故答案为：45．
【点睛】考查了同底数幂乘法和幂的乘方，解题关键是利用同底数幂乘法和幂的乘方公式对进行变形成含和的形式．
【变式训练】
1．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中八年级期中）若，，则___________
【答案】135
【分析】根据幂的运算法则把变形为，然后把，代入计算即可．
【详解】解：，，
，
故答案为：135．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方运算的的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）若，，则___________．
【答案】36
【分析】根据逆用同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方是解题的关键．
【考点七 积的乘方运算】
例题：（2022·吉林长春·八年级期中）计算： ．
【答案】
【分析】根据幂的乘方法则和积的乘方法则以及合并同类项法则解答即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，关键是根据幂的乘方和同底数幂的乘法的法则计算．
【变式训练】
1．（2022·上海杨浦·七年级期中）计算：．
【答案】
【分析】先算积的乘方，同底数幂的乘法，再算加减法即可求解．
【详解】解：原式===．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握积的乘方，同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则是关键．
2．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期中）计算
(1)； (2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由积的乘方进行化简，然后合并同类项，即可求出答案；
（2）由同底数幂乘法，幂的乘方进行化简，然后合并同类项，即可求出答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
【点睛】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行化简．
【考点八 积的乘方的逆用】
例题：（2022·河北·邯郸市邯山区扬帆初中学校八年级期中）计算：
(1)已知，求 n 的值；
(2)已知 n 是正整数，且，求的值．
【答案】(1)3；
(2)4．
【分析】（1）由，得到一元一次方程 ，即可求解；
（2）把变形为，再把代入计算即可．
【详解】（1）解：，
，
解得.
（2）解：，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西贵港·七年级期中）（1）算一算，再选“<、>或=”填空：
①_________；
②_________．
（2）想一想：____________．
（3）利用上述结论，求．
【答案】（1）①=，②=；（2）；（3）8
【分析】先计算（1）找到计算规律，然后按照计算规律计算（2）（3）即可
【详解】解：（1）①
②
故答案为：①=，②=
（2），
故答案为：
（3）．
【点睛】本题考查规律探究、积的乘方等于乘方的积，根据初步计算积的乘方发现计算规律是解题关键．
2．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）若都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求的值；
(2)如果，求的值；
(3)若，用含的代数式表示．
【答案】(1)2
(2)3
(3)y
【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则进行计算，得出关于x的等式，进而即可得出结果；
（2）利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出结果；
（3）由，可得，把变形为y，代入即可．
（1）
∴x+3=5，
∴x=2；
（2）
∴
∴x+1=4，
∴x=3；
（3）
．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·全国·七年级专题练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化简为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是关键．
2．（2023春·七年级课时练习）代数式的计算结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据积的乘方计算法则解答．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】此题考查了积的乘方计算法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，熟记计算法则是解题的关键．
3．（2023秋·内蒙古包头·七年级统考期末）若，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了逆用幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
4．（2022秋·甘肃定西·八年级统考阶段练习）下列各式中，计算错误的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：（1），故（1）符合题意；
（2），故（2）符合题意；
（3）与不属于同类项，不能合并，故（3）符合题意；
（4），故（4）符合题意；
则计算错误的个数为4个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．
【答案】A
【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可．
【详解】解：∵，，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
同理，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．
二、填空题
6．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）计算： _______﹔_______；_______．
【答案】
【分析】由同底数幂的运算可得由幂的乘方运算可得由积的乘方运算可得
【详解】解：
故答案为： ，，．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，掌握以上运算的运算法则是解题的关键．
7．（2022秋·河南信阳·八年级校考期末）计算____．
【答案】
【分析】根据积的乘方的逆用，求解即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】此题考查了积的乘方的逆用，解题的关键是能够利用积的乘方的逆用对式子进行变形求解．
8．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）已知，则的值为______．
【答案】9
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再整体代入相应的值运算即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴原式．
故答案为9．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
9．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）已知，则的值为______．
【答案】1025
【分析】先化简，再逆用幂的乘方，进行求值即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：1025．
【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方，以及代数式求值．熟练掌握积的乘方，幂的乘方运算，是解题的关键．
10．（2022春·江苏·七年级专题练习）我们定义：三角形＝ab•ac，五角星＝z•（xm•yn），若＝4，则的值＝_____．
【答案】32
【分析】根据题意可得出算式，根据同底数幂的乘法得出，求出，根据题意得出所求的代数式是，再根据幂的乘方和积的乘方进行计算，最后求出答案即可．
【详解】解：根据题意得：，
所以，
即，
所以
，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是能灵活运用整式的运算法则进行计算．
三、解答题
11．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算：．
【答案】0
【分析】先计算同底数幂的乘法，再合并同类项即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法．掌握其运算法则是解题关键．
12．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则计算，再合并同类项即可；
（2）根据积的乘方计算法则去括号，再合并同类项即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了整式的计算，正确掌握同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则、积的乘方计算法则、合并同类项法则是解题的关键．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)（n是正整数）；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】（1）先化简为，再计算同底数幂的乘法；
（2）先计算同底数幂的乘法，再合并同类项；
（3）先计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则．计算幂的乘方时，底数不变，指数相乘；计算同底数幂的乘法时，底数不变，指数相加．
14．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可；
（2）先根据同底数幂的乘法法则运算，然后根据积的乘方计算即可；
（3）先根据幂的乘方与积的乘方计算，然后再合并同类项即可．
【详解】（1）解：．
（2）解: ．
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
15．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）已知，．求：
(1)的值；
(2)的值：
(3)的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可；
（2）利用幂的乘方的法则进行运算即可；
（3）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则进行运算即可．
【详解】（1）解：当，时，
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）若（且，是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求的值；
(2)如果，求的值；
(3)若，，用含的代数式表示．
【答案】(1)；
(2)2
(3)
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把化为底数为2的幂，即，再对应相等即可得的值；
（2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答；
（3）由得，再根据幂的乘方运算法则解答即可．
【详解】（1）解：，
，
解得，
的值为；
（2）解：，
，
，
，
的值为2；
（3）解：，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．
17．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）由幂的运算法则逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解，收到事半功倍的效果．请解决以下问题：
(1)计算：；
(2)若，求m的值；
(3)比较大小：，，，，请确定a，b，c，d的大小关系．
【答案】(1)25
(2)2
(3)
【分析】（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；
（2）转化为同底数幂进行计算，即可解答；
（3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．
【详解】（1）解：
故答案为：25；
（2）∵，
∴，
∴，即，
∴，解得；
（3）由题可得：，，，，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是公式的逆运用．