人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理同步训练题

人教A版（2019）选择性必修第三册《6.3.1 二项式定理》提升训练

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）若，则的值为

A.  B.  C.  D.

2.（5分）二项式展开式中的系数是，则

A.  B.  C.  D.

3.（5分）的展开式中常数项为

A.  B.  C.  D.

4.（5分）的展开式中的系数为 
 

A.  B.  C.  D.

5.（5分）若二项式的展开式共项，则展开式中的常数项为

A.  B.  C.  D.

6.（5分）二项式的展开式中的常数项是

A.  B.  C.  D.

7.（5分）在二项式的展开式中，当且仅当第项的二项式系数最大，则系数最小的项是

A. 第项 B. 第项
C. 第项 D. 第项

8.（5分）若，且，则实数的值为

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）在的展开式中，的偶数次幂项的系数之和为，下列说法正确的是

A.  B. 展开式中的奇数次幂项的系数之和为
C. 展开式中的奇数次幂项的系数之和为 D. 展开式中各项的系数之和为

10.（5分）已知的展开式中第项与第项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是

A. 展开式中奇数项的二项式系数和为 B. 展开式中第项的系数最大
C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项的系数为

11.（5分）若，且，则下列结论正确的是

A.
B. 展开式中二项式系数和为
C. 展开式中所有项系数和为
D.

12.（5分）在的展开式中，下列说法正确的有

A. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为
B. 展开式中所有项的系数和为
C. 展开式中二项式系数的最大项为第五项
D. 展开式中含项的系数为

13.（5分）已知的展开式中第项与第项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是

A. 展开式中存在常数项 B. 展开式中第项的系数最大
C. 展开式中偶数项的二项式系数和为 D. 展开式中含项的系数为

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）在二项式的展开式中，第一、二项及最后两项的二项式系数之和共为，则展开式中的系数为 ______ 用数字作答

15.（5分）的展开式中的系数是 ______ .

16.（5分）若，且，则的展开式中的常数项为__________.

17.（5分）已知，则的展开式中的系数为 ______ ．

18.（5分）的展开式中，的系数是______用数字填写答案

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列． 
求正整数的值； 
求展开式中二项式系数最大的项； 
求展开式中系数最大的项；

20.（12分）若展开式中前三项的系数成等差数列，求：

展开式中所有的有理项；

展开式中系数最大的项．

21.（12分）求值：； 
设，求证：； 
设，化简：最后用含有的代数式子表示

22.（12分）若开式中第项和第项的二项式系数相等，求展开式中系数． 
若将函数表示为，求 
已知的展开式中各项系数的和为，求该展开式中的系数．

23.（12分）已知在的展开式中，第项系数与第项系数之比是

求展开式中项的系数．

求展开式中系数绝对值最大的项．

求的值．

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】解：在中，可得，  
令，可得，，  
故选：． 
由题意可得可得，再令，可得，从而求得的值．  
此题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
 

2.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查二项展开式与特定项的系数，以及二项式定理的运用，属于一般题. 
【解析】 
解：的展开的通项为， 
令，则 
展开式中的系数 
则， 
故选 

 

3.【答案】C;

【解析】 
该题考查了求二项式展开式的常数项问题，熟练掌握二项式展开式的运用是解答该题的关键，属于基础题．利用二项式定理把展开，从而求出展开式中常数项． 
解：， 
其展开式中常数项为． 
故选C．
 

4.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，属于基础题． 
写出的展开式的通项，由的指数为求得值，则答案可求． 
 
解：的展开式的通项为 
取，可得的展开式中的系数为 
故选：
 

5.【答案】D;

【解析】解：因为展开式共有项，所以二项式指数幂，  
该二项式的通项为，令，  
所以，  
所以常数项为  
故选： 
由于二项式展开式中的展开项个数比二项式指数幂多一个，为此不难得出为，然后由通项公式求出通项并整理后可令的指数幂为，借此求出的值后，即可计算常数项． 
此题主要考查二项式定理通项公式的应用，一般在求常数项时，解决办法是将通项中化简后的式子令的指数幂为来确定．这类问题通常属于属于基础题型．
 

6.【答案】C;

【解析】解：二项式的展开式中通项公式为  
，  
令，  
解得；  
当时，二项式展开式的常数项为  
． 
故选：． 
根据二项式展开式的通项公式，令的指数为，求出的值，即得展开式的常数项．  
该题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是基础题目．
 

7.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查二项式系数的性质，属于中档题. 
先利用二项式系数的性质求得，再根据第项的系数为，可得它的最小值． 
 
解：在二项式的展开式中，当且仅当第项的二项式系数最大， 
展开式共有项，， 
二项式的展开式的通项公式为， 
要使该项系数最小，为奇数，取，，，， 
经过检验，当时，系数最小，即第四项系数最小， 
故选
 

8.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入令，代入中，可求出的值. 
 
解：在中， 
令，则， 
又，， 
， 
，即 
故选
 

9.【答案】AB;

【解析】此题主要考查了二项展开式的特定项与特定项的系数 ，二项式定理的应用， 
设，可得进行求解即可. 
 
解：设， 
设在的展开式中，的偶数次幂项的系数之和为，奇数次幂项的系数之和为， 
则得，由， 
得 
所以， 
展开式中各项的系数之和为 
故选
 

10.【答案】BCD;

【解析】 
 

此题主要考查二项展开式的特定项和特定项的系数，以及二项展开式中二项式系数的性质的应用，属于中档题. 
根据的展开式中第项与第项的二项式系数相等，得到，再结合展开式的各项系数之和为求出的值，利用二项展开式的通项公式结合二项式系数的性质逐项判断真假即可. 
解：因为的展开式中第项与第项的二项式系数相等，所以，得，故展开式中奇数项的二项式系数和为，故错误； 
因为展开式中各项系数之和为，所以令，得得，故给定的二项式为，展开式的系数与对应的二项式系数相等，所以第项的系数最大，故正确； 
展开式的通项公式为，令，解得，即常数项为第项，故正确；

令，解得，故展开式中含项的系数为，故正确. 
故选
 

11.【答案】ACD;

【解析】 
此题主要考查二项式定理的应用，通过给二项式的赋值，可以简便的求出答案，属于中档题． 
由题意可得，，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案． 
 
解：……， 
且…， 
，， 
令，可得…，解得，故正确； 
展开式中二项式系数和为，故错误； 
…展开式中所有项系数和…，故正确； 
因为， 
所以求导得…， 
令，从而…，故正确． 
故选 
 

 

12.【答案】ACD;

【解析】 
此题主要考查二项式定理的应用，属于基础题. 
根据二项式系数的性质以及通项逐项判断即可求解. 
 
解：展开式中所有奇数项的二项式系数和为，正确； 
B.令，可得展开式中所有项的系数和为，错误； 
C.展开式中二项式系数最大为，为展开式的第五项，正确； 
D.展开式的通项为，令，则展开式中含项的系数为，正确. 
故选
 

13.【答案】BCD;

【解析】 
此题主要考查二项展开式的特定项与特定项的系数，是中档题. 
由的展开式中第项与第项的二项数系数相等得，从而求得的值，再令即可得到展开式的各项系数之和，从而求得的值，再根据选项逐一判断即可. 
 
解：由第项与第项的二项数系数相等可知，解得， 
又展开式的各项系数之和为，则令，，，解得， 
则的通项为：， 
对于，令得，故的展开式中不存在常数项，所以错误； 
对于，因为的展开式通项为， 
所以的展开式中项的系数最大即二项式系数最大， 
二项式系数最大为，故为第项，所以正确； 
对于，的展开式中二项式系数之和为， 
所以展开式中偶数项的二项式系数和为，所以正确； 
对于，令得， 
所以展开式中含项的系数为 
所以正确. 
故选
 

14.【答案】;

【解析】 
由题意利用二项式系数的性质求得，再根据二项展开式的通项公式求得展开式中的系数． 
此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 
 
解：第一、二项及最后两项的二项式系数之和共为， 
， 
解得， 
二项式的展开式的通项为， 
令， 
解得， 
展开式中的系数为， 
故答案为：． 

 

15.【答案】;

【解析】解：由 
令，得 
的系数是 
故答案为： 
由已知二项式写出二项展开式的通项，由的指数等于求得值，则答案可求． 
此题主要考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
 

16.【答案】;

【解析】 
此题主要考查二项式定理通项公式，属基础题． 
利用通项公式可得式子，因为所求常数项，所以指数为，可求出，，进而求出常数项．解：由题意可知中常数项为， ，且， 
若展开式中存在常数项，则，所以， 
常数项为， 
故答案为 
 
 
 
 

 

17.【答案】-18;

【解析】解：，  
，  
，  
令，得，  
的展开式中的系数为：． 
故答案为：． 
利用定积分先求出，再利用二项式定理通项公式求出，由此能求出的展开式中的系数．  
此题主要考查定积分、二项式定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
 

18.【答案】;

【解析】解：根据题意， 
 
， 
其展开式中出现的情况有种： 
①两个都选取常数项，中选取，此时有， 
②两个中，一个选取，另一个选取，中选取，此时有， 
则含的项为，即的系数是； 
故答案为：． 
根据题意， 
，分析可得其展开式中出现的情况有种：①两个都选取常数项，中选取，②两个中，一个选取，另一个选取，中选取，分别求出含的项，相加即可得含的项，即可得答案． 
此题主要考查二项式定理的应用以及计数原理的应用，注意分析的展开式中出现的情况
 

19.【答案】解：二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列， 
可得，即，， 
解得； 
第项的二项式系数为， 
故第项的二项式系数最大，此时，， 
所以二项式系数最大的项为； 
由，解得． 
系数最大的项为第三项和第四项． 
，．;

【解析】这道题主要考查二项式定理的应用，二项式系数，等差数列的性质，属于中档题． 
由等差数列的性质列式求得； 
根据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项； 
由，解得，结合通项公式可得第三项和第四项的系数最大． 

 

20.【答案】解：易求得展开式前三项的系数为． 
据题意分 
设展开式中的有理项为，由 
为的倍数，又，，，． 
 
故有理项为：， 
， 
． 
设展开式中项的系数最大，则：且 
或 
故展开式中系数最大项为：．;

【解析】 
由题意需先求出展开式中前三项的系数利用它们成等差数列求出， 
由公式，故可知，，时，所得的项为有理项，代入求之即可； 
展开式中系数最大的项满足这样的条件，比其前的项大，也比其后的项大，由此关系可得限制条件．解不等式求出既得． 
该题考查二项式系数的性质，解答该题的关键是熟练掌握理解二项式系数的性质及相关的公式，求二项式系数的最大项是考试的一个热点，掌握其转化的条件，及转化的思想，在一些求最值的问题中，此做法有推广的必要．
 

21.【答案】解： 
 
； 
因为 
 
， 
所以 
所以 
 
；  
因为 
 
， 
所以 
， 
又因为 
， 
所以 
 
;

【解析】此题主要考查的是组合和组合数性质，属于中档题. 
原式化简为  ，求解即可. 
此题主要考查的是组合和组合数计算，属于中档题应用证明即可. 
此题主要考查的是组合和组合数计算，利用组合数公式直接求解.
 

22.【答案】解：若开式中第项和第项的二项式系数相等， 
则，， 
故展开式通项公式为， 
令，求得， 
故展开式中系数为 
解：若将函数表示为 
…， 
 
解：令，可得的展开式中各项系数的和为 
，， 
故二项式，即， 
它的通项公式为， 
求该展开式中的系数为;

【解析】此题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题． 
由题意可得，解出值由展开式可得答案． 
此题主要考查二项式定理可得应用，属于基础题． 
由题意可得…， 
由此易得的值． 
此题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题． 
由题意令易得，再由展开式的通项公式可得答案． 

 

23.【答案】解：中通项 
由，得 
故通项， 
令，得， 
故展开式中的系数为； 
设第项系数的绝对值最大， 
则， 
所以，因为为整数，所以， 
故系数绝对值最大的项为； 
原式;

【解析】此题主要考查指定项的系数与二项式系数、二项式系数或系数最大的项、二项展开式及其通项，属于中档题． 
求出展开式的通项，根据求出的值，由此即可求出展开式中项的系数． 
设第项系数绝对值最大，解不等式组和求得的值，即可得到展开式中系数绝对值最大的项． 
利用二项式定理可将原式变形为，化简求值即可得到答案．