高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理习题，共19页。试卷主要包含了二项展开式的特点，6的展开式中x3的系数是，又n∈N*，所以n＝5等内容，欢迎下载使用。

能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
6.3.1 二项式定理
[教材要点]
要点一 二项式定理
(a＋b)n＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) an＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) an－1b＋…＋C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) an－kbk＋…＋C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(n)) bn(n∈N*)，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，共有n＋1项，其中各项的系数C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) (k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数．
eq \a\vs4\al(状元随笔) 1.二项展开式的特点：(1)展开式共有n＋1项，各项的次数都是n；(2)字母a按降幂排列，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，次数由0逐项加1直到n.
2.二项展开式的第r＋1项的二项式系数是C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) ，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第r＋1项的系数则是二项式系数C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) 与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ，而第二项的系数则是C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ·24.
注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．
要点二 二项展开式的通项
二项展开式中的C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) an－kbk.
eq \a\vs4\al(状元随笔) 在应用通项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) an－kbk时，要注意：
(1)通项是二项展开式的第k＋1项，而不是第k项．
(2)展开式中第k＋1项的二项式系数C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) 与第k＋1项的系数的概念不同．
(3)(a＋b)n与(b＋a)n的二项展开式相同，但是(a＋b)n的第k＋1项为C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) an－kbk，(b＋a)n的第k＋1项为C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) bn－kak.因此，应用二项式定理时，a与b是不能随便交换位置的．
(4)通项公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五个量，只要知道其中的四个量，就可以求出第五个量，在应用二项式定理时，常常遇到已知这五个量中的若干个，求另外几个量的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题转化为解方程(或方程组).这里必须注意n是正整数，k是非负整数且k≤n.
[教材答疑]
[教材P30思考]
(a＋b)3的展开式为：
(a＋b)3＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) a3＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) a2b＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ab2＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) b3
验证如下：
(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)2
＝(a＋b)(a2＋2ab＋b2)
＝a3＋2a2b＋ab2＋a2b＋2ab2＋b3
＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) a3＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) a2b＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ab2＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) b3
(a＋b)4的展开式为：
(a＋b)4＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) a4＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) a3b＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) a2b2＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ab3＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) b4
验证如下：
(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)3
＝(a＋b)(a3＋3a2b＋3ab2＋b3)
＝a4＋3a3b＋3a2b2＋ab3＋a3b＋3a2b2＋3ab3＋b4
＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) a4＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) a3b＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) a2b2＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ab3＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) b4
[基础自测]
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )
(3)C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．( )
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同．( )
2. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,\r(x)))) eq \s\up12(n) 的展开式共有11项，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．8
3.(x＋2)6的展开式中x3的系数是( )
A．20 B．40
C．80 D．160
4. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x))) eq \s\up12(4) 展开式中的常数项为________．
题型一 二项式定理的正用、逆用——师生共研
例1 (1)写出展开式： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3,2x2))) eq \s\up12(5) ；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
方法归纳
运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．
跟踪训练1 (1)S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于( )
A．x4 B．x4＋1
C．(x－2)4 D．x4＋4
(2)用二项式定理展开(2x－1)4＝____________________．
题型二 二项展开式的特定项、项的系数——微点探究
微点1 二项展开式中的特定项问题
例2 (1)在( eq \r(x) －2)5的展开式中，x2的系数为( )
A．－5 B．5
C．－10 D．10
(2)在二项式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,\r(3,x)))) eq \s\up12(12) 的展开式中，求①第4项；②常数项；③有理项．
方法归纳
二项展开式的通项Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) an－rbr的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第k项；②求含xr(或xpyq)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项，找出未知数的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算．
微点2 系数配对问题
例3 (1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x))) (x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
(2)(x2＋1)(2x＋1)6展开式的x2的系数是________．
方法归纳
求两个(或多个)二项式乘积的展开式常用方法：(1)对每一个二项式展开，于是问题转化为求多项式与多项式乘积的展开式，此时只需利用多项式乘法法则对其展开即可(即用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项)；(2)先利用运算性质对其进行化简，再利用二项式定理进行展开．
微点3 特殊三项式(可化为二项式)的展开式问题
例4 (x3＋3x－4)4的展开式中x的系数是________．
方法归纳
解决三项式问题有三种方法，方法一：先把三项式中的某两项看作一项，然后利用二项式定理展开求解；方法二：三项式可利用完全平方公式转化为二项式，然后用二项式定理求解；方法三：三项式可通过分解因式转化为两个二项式的积的形式，然后用二项式定理求解．以上方法也可推广到四项式．
跟踪训练2 (1)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x2))) eq \s\up12(5) 的展开式中，x2的系数是________．
(2)(x2＋2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)－1)) eq \s\up12(5) 的展开式中的常数项是________．
(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)－1)) eq \s\up12(4) 的展开式中，常数项为________．
题型三 二项式定理的灵活应用——微点探究
例5 (1)若 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(mx－\f(2,\r(x)))) eq \s\up12(6) 的展开式中x3项的系数是240，则实数m的值是( )
A．2 B． eq \r(2)
C．±2 D．± eq \r(2)
(2)若在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(5,x)－\f(1,x))) eq \s\up12(n) 的展开式中，第4项是常数项，则n＝________．
(3)已知 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2\r(x)))) eq \s\up12(n) 的展开式中的第二项和第三项的系数相等，则展开式中所有的有理项的系数和为________．
方法归纳
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．
跟踪训练3 (1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x))) eq \s\up12(5) 展开式中x3的系数为10，则a的值等于( )
A．－1 B． eq \f(1,2) C．1 D．2
(2)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________．
(3)(多选题)( eq \r(3,3) ＋ eq \r(2) x)n(n∈N*)的展开式中恰有三项的系数为有理数，则n不可能取值为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
易错辨析 混淆项的系数与二项式系数
例6 设(x－ eq \r(2) )n(n∈N*)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项．
解析：由题设，得T2＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) xn－1(－ eq \r(2) )＝－ eq \r(2) nxn－1，T4＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) xn－3(－ eq \r(2) )3＝－2 eq \r(2) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) xn－3，于是有 eq \f(－\r(2)n,－2\r(2)C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) ) ＝ eq \f(1,2) ，化简得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(舍去).
(x－ eq \r(2) )4的展开式的通项为Tk＋1＝(－ eq \r(2) )kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) x4－k，令4－k＝2，则k＝2，所以含x2的项为(－ eq \r(2) )2C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) x2＝12x2.
【易错警示】
易错原因
求解本题易将“二项展开式的某项的系数”与“二项展开式的某项的二项式系数”混为一谈，得到如下错解．
(x－ eq \r(2) )n的展开式中第二项与第四项的系数分别为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ，C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) ，则C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ∶C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) ＝1∶2，化简得n2－3n－10＝0.又n∈N*，所以n＝5.
(x－ eq \r(2) )5的展开式的通项式为Tk＋1＝(－ eq \r(2) )kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) x5－k，令5－k＝2，则k＝3，所以含x2的项为(－ eq \r(2) )3C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) x2＝－20 eq \r(2) x2.
纠错心得
(a＋b)n的展开式中的第k＋1项的二项式系数是C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) (k＝0，1，2，…，n)，仅与n，k有关；第k＋1项的系数不是二项式系数C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) ，但有时这个系数与二项式系数相等．注意二项式系数C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) 一定为正，而对应项的系数可能为负．
eq \x(温馨提示：请完成课时作业（五）)
6．3 二项式定理
6．3.1 二项式定理
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,\r(x)))) eq \s\up12(n) 的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝11，故n＝10.故选B.
答案：B
3．解析：设含x3的项为第k＋1项，
则Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) x6－k·2k，
令6－k＝3，得k＝3，故展开式中x3的系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ·23＝160.故选D.
答案：D
4．解析： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x))) eq \s\up12(4) 展开式中通项公式Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) x4－k· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x))) eq \s\up12(k) ＝(－2)kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) x4－2k，当4－2k＝0时，展开式为常数，此时k＝2，展开式的常数项为：T3＝4C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝24.
答案：24
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)方法一 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3,2x2))) eq \s\up12(5) ＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) (2x)5 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2))) eq \s\up12(0) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) (2x)4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2))) eq \s\up12(1) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) (2x)3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2))) eq \s\up12(2) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) (2x)2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2))) eq \s\up12(3) ＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) (2x)1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2))) eq \s\up12(4) ＋C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) (2x)0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2))) eq \s\up12(5) ＝32x5－120x2＋ eq \f(180,x) － eq \f(135,x4) ＋ eq \f(405,8x7) － eq \f(243,32x10) .
方法二 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3,2x2))) eq \s\up12(5) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4x3－3,2x2))) eq \s\up12(5) ＝ eq \f(1,32x10) (4x3－3)5＝ eq \f(1,32x10) [C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) (4x3)5(－3)0＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) (4x3)4(－3)1＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) (4x3)3(－3)2＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) (4x3)2(－3)3＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) (4x3)1(－3)4＋C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) (4x3)0(－3)5]＝32x5－120x2＋ eq \f(180,x) － eq \f(135,x4) ＋ eq \f(405,8x7) － eq \f(243,32x10) .
(2)原式＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) (x－1)5＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) (x－1)4＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) (x－1)3＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) (x－1)2＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) (x－1)1＋C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) (x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
跟踪训练1 解析：(1)S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) (x－1)4＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) (x－1)3＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) (x－1)2＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) (x－1)＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝[(x－1)＋1]4＝x4，故选A.
(2)(2x－1)4＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) (2x)4(－1)0＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) (2x)3(－1)1＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) (2x)2(－1)2＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) (2x)1(－1)3＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) (2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1.
答案：(1)A (2)16x4－32x3＋24x2－8x＋1
题型二
例2 解析：(1)Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ( eq \r(x) )5－k(－2)k
＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) (－2)kx eq \f(5－k,2)
令 eq \f(5－k,2) ＝2，得k＝1，
∴T2＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) (－2)x2＝－10x2，
所以x2的系数为－10.故选C.
(2)二项展开式的通项
Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(12)) x12－r eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(3,x)))) eq \s\up12(r) ＝(－1)rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(12)) x12－ eq \f(4,3) r.
①令r＝3，则T4＝(－1)3C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(12)) x12－ eq \f(4,3) ×3＝－220x8.
②令12－ eq \f(4,3) r＝0，则r＝9，从而，常数项为(－1)9C eq \\al(\s\up1(9),\s\d1(12)) ＝－220.
③当r＝0，3，6，9，12时，是有理项，分别为T1＝x12，T4＝－C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(12)) x8＝－220x8，T7＝C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(12)) x4＝924x4，T10＝－C eq \\al(\s\up1(9),\s\d1(12)) ＝－220，T13＝x－4.
答案：(1)C (2)见解析
例3 解析：(1)因为(x＋y)5的展开式的第k＋1项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) x5－kyk，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x))) (x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ＝15，故选C.
(2)(x2＋1)(2x＋1)6＝x2(2x＋1)6＋(2x＋1)6，
二项式(2x＋1)6的通项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) (2x)6－r.
所以当r＝6时，x2的系数为1×C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) ＝1.
当r＝4时，x2的系数为22×C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) ＝60.
所以(x2＋1)(2x＋1)6展开式的x2的系数为1＋60＝61.
答案：(1)C (2)61
例4 解析：方法一 (x2＋3x－4)4＝[(x2＋3x)－4]4＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) (x2＋3x)4－C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) (x2＋3x)3×4＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) (x2＋3x)2×42－C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) (x2＋3x)×43＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ×44，显然，展开式中只有第四项中含x，所以展开式中x的系数是－C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ×3×43＝－768.
方法二 (x2＋3x－4)4＝[(x－1)(x＋4)]4＝(x－1)4×(x＋4)4＝(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) x4－C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) x3＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) x2－C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) x＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) )(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) x4＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) x3×4＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) x2×42＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) x×43＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ×44)，所以展开式中x的系数是－C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) 44＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) 43＝－768.
方法三 (x2＋3x－4)4＝(x2＋3x－4)(x2＋3x－4)(x2＋3x－4)(x2＋3x－4)，从上述1个因式中取3x，其他3个因式取－4，则x的系数是C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ×3×(－4)3＝－768.
答案：－768
跟踪训练2 解析：(1)Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ·x5－k· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x2))) eq \s\up12(k) ＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ·2k·x5－3k，令5－3k＝2，得k＝1.
故在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x2))) eq \s\up12(5) 的展开式中，x2的系数为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ·21＝10.
(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)－1)) eq \s\up12(5) 的展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2))) eq \s\up12(5－k) ·(－1)k，
∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)－1)) eq \s\up12(5) 的展开式中的常数项为C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) (－1)5＝－1， eq \f(1,x2) 的项为C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) · eq \f(1,x2) ，所以(x2＋2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)－1)) eq \s\up12(5) 的展开式中的常数项为－1×2＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) ×1＝3.
(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)－1)) eq \s\up12(4) ＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))－1)) eq \s\up12(4) ，
∴Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) (－1)4－k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x))) eq \s\up12(k) (k＝0，1，2，3，4)
k＝0时，T1＝1， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x))) eq \s\up12(k) 的展开式的通项为
Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(k)) xk－r eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x))) eq \s\up12(r) ＝(－1)kC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(k)) xk－2r(r≤k)，
令k＝2r可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r＝1,k＝2)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r＝2,k＝4)) ，
∴常数项为1－12＋6＝－5.
答案：(1)10 (2)3 (3)－5
题型三
例5 解析：(1)二项式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(mx－\f(2,\r(x)))) eq \s\up12(6) 的通项公式为：
Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) ·(mx)6－k· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,\r(x)))) eq \s\up12(k) ＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) ·m6－k·(－2)k·x6－ eq \f(3,2) k，
因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(mx－\f(2,\r(x)))) eq \s\up12(6) 的展开式中x3项的系数是240，
所以当6－ eq \f(3,2) k＝3时，有C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) ·m6－k·(－2)k＝240成立，解得k＝2，因此有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ·m6－2·(－2)2＝240⇒m＝± eq \r(2) .故选D.
(2)Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) ( eq \r(5,x) )n－k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x))) eq \s\up12(k)
＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) (－1)kx eq \s\up6(\f(n－6k,5))
令n－6k＝0，∴n＝6k.
又T4是常数项，
∴k＝3，
∴n＝18.
(3)Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) ·xn－k· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2\r(x)))) eq \s\up12(k)
＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(k) xn－ eq \f(3,2) k(k＝0，1，2，3，…，n)
由题意知：C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) · eq \f(1,2) ＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2) ，
解得n＝5，
∴Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(k) x5－ eq \f(3,2) k(k＝0，1，2，3，…，5)
当k＝0，2，4时，对应项是有理项，
所以有理项的系数和为
C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(0) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(4)
＝1＋ eq \f(5,2) ＋ eq \f(5,16)
＝ eq \f(61,16) .
答案：(1)D (2)18 (3) eq \f(61,16)
跟踪训练3 解析：(1)展开式的通项公式
Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ·x5－k· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x))) eq \s\up12(k) ＝akC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ·x5－2k，
令5－2k＝3，所以k＝1.
因为x3的系数为10，所以aC eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ＝10.
所以a＝2.故选D.
(2)C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) (3x)2＝54x2，
即 eq \f(n（n－1）,2) ＝6，解得n＝4.
(3)由题意得，展开式中项的系数为C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) ·3 eq \s\up6(\f(n－k,3)) ·( eq \r(2) )k，
∵系数为有理数，∴n－k是3的倍数，k是2的倍数，
当n＝9，k＝6时，不符合题意；当n＝10，k＝4，10时，不符合题意；当n＝11，k＝2，8时，不符合题意；当n＝12，k＝0，6，12时，符合题意，故选ABC.
答案：(1)D (2)4 (3)ABC