人教A版 (2019)6.3 二项式定理综合训练题

第六章计数原理

6.3　二项式定理

6.3.1　二项式定理

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(x+2)6的展开式中x3的系数是(　　)

A.20 B.40 C.80 D.160

答案D

解析(方法一)设含x3的项为第k+1项,则Tk+1=x6-k·2k,令6-k=3,得k=3,故展开式中x3的系数为23=160.

(方法二)根据二项展开式的通项的特点,二项展开式每一项中所含的x与2分得的次数和为6,则根据题意满足条件x3的项按3与3分配即可,则展开式中x3的系数为23=160.

2.(x-y)10的展开式中x6y4的系数是(　　)

A.840 B.-840 C.210 D.-210

答案A

解析在通项Tk+1=x10-k(-y)k中,令k=4,即得(x-y)10的展开式中x6y4的系数为(-)4=840.

3.使得(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

答案B

解析展开式中的第k+1项为(3x)n-k3n-k若展开式中含常数项,则存在n∈N*,k∈N,使n-k=0,故最小的n为5,故选B.

4.(2021湖南模拟)(x-1)(x-2)6的展开式中的x3的系数为(　　)

A.80 B.-80 C.400 D.-400

答案C

解析(x-2)6的展开式的通项为Tr+1=x6-r(-2)r,

令6-r=2,得r=4,则T5=(-2)4x2=240x2,

令6-r=3,得r=3,则T4=(-2)3x3=-160x3,

故(x-1)(x-2)6的展开式中的x3的系数为240+160=400.

5.若x>0,设5的展开式中的第三项为M,第四项为N,则M+N的最小值为　　　　. 

答案

解析T3=32=x,T4=2·3=,故M+N=2当且仅当,即x=时,等号成立.

6.已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,则实数a的值为　　　　. 

答案9

解析根据题意,由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,根据二项展开式可知,2×(11-1)10被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整除,可知a=9.

7.已知的展开式中的第9项与第10项二项式系数相等,求x的系数.

解,∴n=17,Tk+1=2k

令=1,得k=9.

∴T10=x4·29·x-3=29·x.

故x的系数为29

8.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3,求展开式中的常数项.

解T5=)n-4·24x-8=16,T3=)n-2·22x-4=4

由题意知,,解得n=10(负值舍去).

Tk+1=)10-k·2kx-2k=2k,

令=0,解得k=2.

所以展开式中的常数项为22=180.

9.求证:1+2+22+…+(n∈N*)能被31整除.

证明∵1+2+22+…+-1=32n-1

=(31+1)n-1

=31n+31n-1+…+31+-1

=31(31n-1+31n-2+…+),显然31n-1+31n-2+…+为整数,∴原式能被31整除.

关键能力提升练

10.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是(　　)

A.-297 B.-252 C.297 D.207

答案D

解析(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,x5的系数为=207.

11.(1+x)3(1-2x)的展开式中含x3的项的系数为 (　　)

A.-5 B.-4 C.6 D.7

答案A

解析因为(1+x)3(1-2x)=(1+x)3-2x(1+x)3,所以含x3项的系数为-2=1-2×3=-5.故选A.

12.(x2+2)的展开式中的常数项是(　　)

A.-3 B.-2 C.2 D.3

答案D

解析展开式的通项为Tk+1=(-1)k=(-1)k

令10-2k=2或10-2k=0,解得k=4或k=5.

故(x2+2)的展开式中的常数项是

(-1)4+2×(-1)5=3.

13.(2021江苏南京玄武校级月考)-2+4-8+…+(-2)n=(　　)

A.(-1)n-1 B.(-1)n

C.3n D.3n-1

答案A

解析∵-2+4-8+…+(-2)n

=1-2+4-8+…+(-2)n-1

=(1-2)n-1=(-1)n-1.

14.(2021山西临汾模拟)在的展开式中,x8的系数为170,则正数a的值为(　　)

A B C.2 D.1

答案C

解析由多项式的乘法性质知每个括号里的因式是a,x,-,

则x8=x9=x8×1×1,共有2种情况,

则对应的x8为x9+a2·x8

=(-10+45a2)x8,

∵x8的系数为170,

∴-10+45a2=170,则45a2=180,

即a2=4,解得a=2.

15.设二项式x-6(a>0)的展开式中,x3的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a的值是　　　　. 

答案2

解析A=(-a)2,B=(-a)4,由B=4A知, 4(-a)2=(-a)4,解得a=±2.∵a>0,∴a=2.

16.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是　　　　. 

答案-121

解析展开式中含x3的项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121.

17.已知(xcos θ+1)5的展开式中x2的系数与x+4的展开式中x3的系数相等,则cos θ=　　　　. 

答案±

解析(xcos θ+1)5展开式中x2的系数为cos2θ.

x+4展开式中x3的系数为由题意可知cos2θ=,∴cos2θ=,∴cos θ=±

18.已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.

(1)证明:展开式中没有常数项;

(2)求展开式中所有的有理项.

(1)证明由题意得2=1+,

即n2-9n+8=0,∴n=8(n=1舍去).

∴Tk+1=)8-k

=

=(-1)k(0≤k≤8,k∈Z).

若Tk+1是常数项,则=0,

即16-3k=0,∵k∈Z,这不可能,

∴展开式中没有常数项.

(2)解由(1)知,若Tk+1是有理项,当且仅当为整数.∵0≤k≤8,k∈Z,∴k=0,4,8,

即展开式中有三项有理项,分别是T1=x4,T5=x,T9=x-2.

学科素养创新练

19.求x+-15的展开式中的常数项.

解(方法一)因为x+-15=x+-15,

所以二项展开式的通项为x+(-1(0≤k1≤5,k1∈Z).

当k1=5时,T6=(-1)5=-1;

当0≤k1<5时,x+的展开式的通项为(0≤k2≤5-k1).

因为0≤k1<5,且k1∈Z,k1+2k2=5,

所以k1只能取1或3,此时相应的k2值分别为2或1,即所以常数项为(-1)1+(-1)3+(-1)=-51.

(方法二)因为x+-15=x+-1·x+-1·…·x+-1,

所以常数项为x(-1)3+x2(-1)+(-1)5=-51.