高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布课后测评

人教A版（2019）选择性必修第三册《7.4 二项分布与超几何分布》提升训练

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）在年女排世界杯比赛中，中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军，成功卫冕，收到习近平总书记的贺电，团结协作、顽强拼搏是中国女排精神，为学习女排精神，、两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中校排球队胜校排球队的概率为，设各局比赛相互间没有影响，则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为

A.  B.  C.  D.

2.（5分）如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点处，若移了次后，棋子落在上底面顶点的概率记为则
 

A.  B.
C.  D.

3.（5分）甲乙两人投篮，投中的概率分别为，若两人各投次，则两人投中次数相等的概率为

A.  B.  C.  D.

4.（5分）某同学投篮命中率为，则该同学次投篮时命中次数的期望为

A.  B.  C.  D.

5.（5分）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则个球中恰有个红球的概率是

A.  B.  C.  D.

6.（5分）学校有，两个餐厅，如果王同学早餐在餐厅用餐，那么他午餐也在餐厅用餐的概率是，如果他早餐在餐厅用餐，那么他午餐在餐厅用餐的概率是若王同学早餐在餐厅用餐的概率是，那么他午餐在餐厅用餐的概率是

A.  B.  C.  D.

7.（5分）某校高一班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是和，现甲、乙各投篮一次，至少有一人投进球的概率是

A.  B.  C.  D.

8.（5分）位于坐标原点的一个质点按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动次后位于点的概率是

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球，这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取个球，则下列结论正确的是

A. 个球颜色相同的概率为 B. 个球不都是红球的概率为
C. 至少有个红球的概率为 D. 个球中恰有个红球的概率为

10.（5分）在次独立重复试验中，每次试验的结果只有，，三种，且，，三个事件之间两两互斥．已知在每一次试验中，事件，发生的概率均为，事件发生的概率为则

A. 事件发生次数的数学期望为
B. ，，三个事件发生次数的数学期望之和为
C. 事件，发生次数的方差之比为
D. ，，三个事件各发生 次的概率为

11.（5分）下列说法正确的是

A. 某班位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，不同的结果共有种
B. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，，则题被解出的概率是
C. 某校名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取人
D. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是

12.（5分）甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是

A. ，两两互斥 B.
C. 事件与事件相互独立 D.

13.（5分）设，是两个概率大于的随机事件，则下列说法正确的是

A. 若事件和是对立事件，则
B. 若事件和是互斥事件，则
C. 若事件和相互独立，则
D. 若事件和相互独立，则

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）设服从二项分布的随机变量的期望与方差分别是和，则______。

15.（5分）均值

一般地，若离散型随机变量的分布列为：

则称________________为随机变量的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的________.

若，其中，为常数，则也是随机变量，且

①若服从两点分布，则_________；

②若，则_________.

16.（5分）抛掷一个骰子，若掷出点或点就说试验成功，则在次试验中恰有次成功的概率为 ______ .

17.（5分）设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 的值为             ．

18.（5分）某项羽毛球单打比赛规则是局胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠的概率为______.

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）某同学参加科普知识竞赛，需要回答个问题．竞赛规则规定：每题回答正确得分，不答或回答不正确得分．假设这名同学每题回答正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响， 
求这名同学回答这个问题的总得分的概率分布列； 
若不少于分就算入围，求这名同学入围的概率．

20.（12分）在一次运动会上，某单位派出了有名主力队员和名替补队员组成的代表队参加比赛．  
如果随机抽派名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为，求随机变量的数学期望；  
若主力队员中有名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的名队员中至少有名主力队员，教练员有多少种组队方案？

21.（12分）对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为，，三个部分要击落飞机，必须在部分命中一次，或在部分命中两次，或在部分命中三次设炮弹击中飞机时，命中部分的概率是，命中部分的概率是，命中部分的概率是，射击进行到击落飞机为止假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.

求恰好在第二次射击后击落飞机的概率

求击落飞机的命中次数的分布列和数学期望.

22.（12分）在位美国总统中，有两人的生日相同，三人卒日相同，什尔克生于年月日，万罗卒于年月日，而亚当期和杰佛逊都卒于年月日，还有两位总统的死期都是月日费尔莫死于年，塔夫脱死于年，这是巧合吗，请做出你的解释？

23.（12分）为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩得分均为整数，满分为分进行统计，制成如下频率分布表．

求出上表中的，，，，的值； 
按规定，预赛成绩不低于分的选手参加决赛．已知高一班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一班在决赛中进入前三名的人数为，求的分布列和数学期望．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：为学习女排精神，、两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负， 
根据以往经验，单局比赛中校排球队胜校排球队的概率为，设各局比赛相互间没有影响， 
在此次比赛中，四局结束比赛包含两种情况： 
前局两胜一负，第四局胜；前局一胜两负，第四局负． 
则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为： 
． 
故选：． 
在此次比赛中，四局结束比赛包含两种情况：前局两胜一负，第四局胜；前局一胜两负，第四局负．利用次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式能求出在此次比赛中四局结束比赛的概率． 
该题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】D;

【解析】解：由题意可知，，， 
移了次后棋子落在上底面顶点的概率记为， 
故落在下底面顶点的概率为， 
于是移了次后棋子落在上底面顶点的概率为， 
， 
是等比数列，首项为，公比为， 
则， 
 
故选： 
根据题意，表示出移了次后棋子落在上底面顶点的概率与移了次后棋子落在上底面顶点的概率之间的关系，由此构造新数列是等比数列，求出通项公式，即可得到答案． 
此题主要考查了概率问题的求解，解答该题的关键是得到与之间的关系，考查了等比数列定义以及通项公式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
 

3.【答案】D;

【解析】 
此题主要考查相互独立事件概率的求法，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用，是基础题． 
利用互斥事件和相互独立事件概率乘法公式求解． 
 
解：两人都投中次时的概率为 
两人都投中次时的概率为 
两人都投中次时的概率为 
所以两人投中次数相等的概率为， 
故选
 

4.【答案】D;

【解析】解：某同学投篮命中率为， 
则该同学次投篮时命中次数的可能取值为，， 
， 
， 
． 
故选：． 
该同学次投篮时命中次数的可能取值为，，且，，由此能求出的值． 
该题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
 

5.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件与对立事件，属于基础题． 
设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中模出一个红球”为事件，则，，且，相互独立，再根据相互独立事件的概率乘法公式进行计算即可求解. 
 
解：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中模出一个红球”为事件， 
则，，且，相互独立； 
所以两袋各摸出一个球，则个球中恰有个红球的概率 
故选 
 

 

6.【答案】A;

【解析】解：学校有，两个餐厅，如果王同学早餐在餐厅用餐，那么他午餐也在餐厅用餐的概率是， 
如果他早餐在餐厅用餐，那么他午餐在餐厅用餐的概率是 
若王同学早餐在餐厅用餐的概率是， 
那么他午餐在餐厅用餐的概率： 
 
故选： 
利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解． 
此题主要考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】D;

【解析】解：甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是和， 
甲、乙各投篮一次，至少有一人投进球的对立事件是甲、乙两人都没有投进球， 
至少有一人投进球的概率是： 
 
故选： 
甲、乙各投篮一次，至少有一人投进球的对立事件是甲、乙两人都没有投进球，由此能求出至少有一人投进球的概率． 
此题主要考查概率的求法，考查对立事件、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】B;

【解析】

此题主要考查次独立重复试验中恰有次发生的概率计算，关键是明确质点移动次后位于点质点在移动过程中向右移动次向上移动次.

解：根据题意，易得位于坐标原点的质点移动次后位于点，在移动过程中向右移动次向上移动次．

则其概率为 .

故选
 

9.【答案】ACD;

【解析】解：甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球， 
这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取个球， 
对于，个球颜色相同的概率为，故正确； 
对于，个球不都是红球的概率为，故错误； 
对于，至少有个红球的概率为，故正确； 
对于，个球中恰有个红球的概率为，故正确． 
故选： 
利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解． 
此题主要考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】ABD;

【解析】解：由题意可知，事件，，， 
所以事件，，均可看作二项分布， 
选项A：期望值，A正确， 
选项B：期望值之和，B正确， 
选项C：事件的方差，事件的方程， 
则，C错误， 
选项D：从次中选择次为事件，则为，从余下的次中选择次为事件，则为， 
所以各发生次的概率为，D正确， 
故选：． 
由已知可得事件，，均可看作二项分布，则根据二项分布的性质对应各个选项判断是否正确即可． 
该题考查了离散型随机变量的期望方差以及次独立重复实验中恰好发生次的概率问题，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．
 

11.【答案】CD;

【解析】 
此题主要考查分步乘法计数原理，相互独立事件同时发生的概率及对立事件，分层抽样及古典概型的计算，属于中档题． 
由题意，根据概率统计的基本知识，逐个选项验证即可． 
 
解：对于，第一个同学可以参加三个课外兴趣小组任意一个，有种报名方法， 
同理其他的三名学生也都有种报名方法，则不同的报名方法有种，故错； 
对于，他们各自解出的概率分别是，则此题不能解出的概率为， 
则此题能解出的概率为，故错； 
对于，高级教师应抽取人，故正确； 
对于，两位女生和两位男生站成一列照相，基本事件总数， 
两位女生不相邻包含的基本事件个数， 
两位女生不相邻的概率，故正确． 
故选
 

12.【答案】AD;

【解析】 
此题主要考查互斥事件、独立事件，解答该题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率公式，条件概率的求法，属于中档题. 
由题意，，是两两互斥的事件，由条件概率公式求出，，对照四个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项． 
 
解：因为每次取一球，所以，是两两互斥的事件，故项正确 
因为，， 
所以，故项错误 
同理，， 
所以，故项正确 
事件与事件不相互独立，故项错误. 
故选
 

13.【答案】AD;

【解析】解：若，是对立事件，则事件，满足，所以选项正确； 
若事件，互斥，如：投掷一枚均匀的骰子，设向上的点数是，项上的点数是，则，互斥，，所以选项错误； 
只有当和互斥时，，所以选项错误； 
若和相互独立，则，所以选项正确． 
故选： 
利用对立事件．互斥事件，相互独立事件定义可依次判断． 
此题主要考查对立事件．互斥事件，相互独立事件定义，属于基础题．
 

14.【答案】;

【解析】

 
此题主要考查二项分布的期望、方差公式，为基础题. 
若根据，可列出关于，的方程组，解方程组即可求得，的值. 
 
解：服从二项分布， 
由，， 
得 ，解得 
故答案为
 

15.【答案】  平均水平

①

②;

【解析】

此题主要考查离散型随机变量的数学期望的定义及数学期望的计算与性质，属于中档题目.

解：由题意可得，数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；

若，其中，为常数，则也是随机变量，且

①若服从两点分布，则；

②若，则

故答案为  平均水平，，①② 

 

16.【答案】;

【解析】解：每次试验成功的概率等于， 
在次试验中成功次的概率为 
故答案为： 
先求出每次试验成功的概率，再根据次独立重复实验中恰好发生次的概率公式，运算求得结果． 
此题主要考查次独立重复实验中恰好发生次的概率，等可能事件的概率，求出每次试验成功的概率，是解题的突破口．
 

17.【答案】3;

【解析】

此题主要考查了正态曲线及其性质．

利用正态曲线的性质直接得结论．

解：随机变量服从正态分布，

所以正态曲线关于对称，  
又因为，

所以，  
因此 ， 
故答案为．
 

18.【答案】;

【解析】 
此题主要考查概率，独立重复试验等基础知识，属于基础题．根据比赛规则，找出甲获胜的方式即可求得甲获得冠军的概率． 
 
解：甲获胜的方式有：和：两种，则甲获得冠军的概率 
故答案为： 
 

 

19.【答案】解：（1）由已知得X的可能取值为-90，-30，30，90，  
P（X=-90）=（1-0.8）3=，  
P（X=-30）==，  
P（X=30）==，  
P（X=90）=0.83=，  
∴X的分布列为：  

（2）∵不少于30分就算入围，  
∴这名同学入围的概率p=P（X=30）+P（X=90）==．;

【解析】 
由已知得的可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列． 
由不少于分就算入围，能求出这名同学入围的概率． 
此题主要考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．
 

20.【答案】解：（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，  
∵当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，以此类推，  
∴P（X=0）=；  
P（X=1）=；  
P（X=2）=；  
P（X=3）=；  
P（X=4）=；  
P（X=5）=．  
∴随机变量X的概率分布如下表：  
E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×  
=≈2.73  
（2）由题意知  
①上场队员有3名主力，方案有：（C63-C41）（C52-C22）=144（种）  
②上场队员有4名主力，方案有：（C64-C42）C51=45（种）  
③上场队员有5名主力，方案有：（C65-C43）C50=C44C21=2（种）  
教练员组队方案共有144+45+2=191种．;

【解析】 
由题意知随机变量的取值是、、、、、，当时，表示主力队员参加比赛的人数为，当时，表示主力队员参加比赛的人数为，当时，表示主力队员参加比赛的人数为，以此类推，写出概率和分布列求出期望．  
上场队员有名主力，方案有：种；上场队员有名主力，方案有：种；上场队员有名主力，方案有：种列出三种情况，相加得到结论．  
该题考查离散型随机变量的期望和应用，本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．
 

21.【答案】解：设“恰好在第二次射击后击落飞机”为事件， 分两种情况： 
第一次命中或部分，第二次命中部分的概率为 
两次恰好都命中部分的概率为 
所以 
所有可能的取值为，，， 
根据已知，得， 
， 
 
， 
所以的分布列为

的数学期望为 
;

【解析】此题主要考查概率求法及离散型随机变量分布列与期望，属中档题. 
依题意，分两种情况：第一次命中或部分，第二次命中部分两次恰好都命中部分求概率即可； 
所有可能的取值为，，，根据条件分别求出相应概率，即可得分布列与期望.
 

22.【答案】解：这是历史上有名的生日问题，记n为相关的人数，n个人中至少有两人的生日在同一天的概率为P（A），  
则P（A）=1-，  
则有下表：  

上表所列的答案足以引起多数人的惊奇，因为“至少两个人的生日相同”这件事件发生的概率，并不如大多数人直觉想象中的那样小，而是相当大，由表中可以看出，当人数是40时，“至少有两人相同生日”的概率为0.89，因此，在42位美国总统中，有两人生日相同，三人卒日相同，根本不是什么巧合，大概率事件，是很正常的．;

【解析】 
记为相关的人数，个人中至少有两人的生日在同一天的概率为，则，列出表格可得当人数是时，“至少有两人相同生日”的概率为，因此，在位美国总统中，有两人生日相同，三人卒日相同，根本不是什么巧合，而是很正常的． 
此题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．
 

23.【答案】解：（1）由题意知，参赛选手共有p==50人， 
∴x==0.18， 
y=50×0.38=19，z=50-9-19-16=6． 
s=． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，随机变量X的可能取值为0，1，2…（7分） 
， 
， 
，…（10分） 
随机变量X的分布列为：

因为 ， 
所以随机变量X的数学期望为l．…（12分）;

【解析】 
由题意知，参赛选手共有人，由此能求出表中的，，，，的值． 
Ⅱ由题意随机变量的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和随机变量的数学期望． 
此题主要考查频率分布列的应用，考查离散型机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．