2021-2022学年河南省周口市太康县第一高级中学高一下学期4月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省周口市太康县第一高级中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．复数（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】先对复数化简，再求其共轭复数，从而可求得答案

【详解】因为，

所以其共轭复数为，则其虚部为，

故选：B

2．设向量＝(1，－2)，向量＝(－3，4)，向量＝(3，2)，则向量（    ）

A．(－15，12) B．0 C．－3 D．－11

【答案】C

【分析】根据向量的坐标运算求得正确答案.

【详解】.

故选：C

3．已知正的边长为，则的直观图的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据斜二测画法中直观图与原图形面积关系计算．

【详解】由题意，

所以直观图的面积为．

故选：D．

4．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】由圆锥的体积公式，半圆弧长和半径的关系，圆锥母线长、底圆半径和高的关系，联立即可求解.

【详解】如图，圆锥的体积 ①，

由侧面展开图是一个半圆得 ②，

又  ③，

联立①②③，即可解得.

故选：C

5．已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，则该四棱锥的内切球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在正四棱锥P-ABCD中，连接AC、BD，交于点H，取BC的中点G，连接HG、PH、PG，由正四棱锥的性质和三角形知识求得，设该四棱锥的内切球的半径为r，设内切球的球心为O，过点O作，求得，根据球体的表面积公式计算可得选项.

【详解】解：在正四棱锥P-ABCD中，连接AC、BD，交于点H，取BC的中点G，连接HG、PH、PG，如下图所示，

则面，，因为正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，所以

，，

所以在中，，所以，

设该四棱锥的内切球的半径为r，设内切球的球心为O，过点O作，则，所以，解得，

所以该四棱锥的内切球的表面积为，

故选：C.

6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】A

【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.

【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得

，故选A．

【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．

7．若向量，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合诱导公式、余弦函数的单调性进行求解即可.

【详解】设与的夹角为，

所以，

因为，所以，而，函数在上是单调递减函数，所以，

故选：A

8．在中，角所对的边分别为，若，则三角形一定是（　　）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等边三角形

【答案】C

【分析】先利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简变形即可判断三角形的形状

【详解】因为，

所以由正弦定理得,

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，所以，

所以为等腰三角形，

故选：C

9．在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是

A．9 B．10

C．11 D．12

【答案】D

【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可知：，

三点共线，则：，据此有：

，

当且仅当时等号成立.

综上可得：的最小值是12.

本题选择D选项.

【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．

详解：如图所示，

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，

当平面时，三棱锥体积最大

此时，

,

点M为三角形ABC的中心

中，有

故选B.

点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．

11．如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别取棱、的中点、，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断在或处时最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．

【详解】如下图所示，分别取棱，的中点、，连，，

，，，分别为所在棱的中点，则，，

，又平面，平面，

平面.

，，

四边形为平行四边形，

，

又平面，平面，

平面，

又，

平面平面.

是侧面内一点，且平面，

点必在线段上.

在中，.

同理，在中，可得，

为等腰三角形.

当点为中点时，，此时最短；点位于、处时，最长.

，.

线段长度的取值范围是.

故选：C.

【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点位置．

12．体积为216的正方体中，点M是线段的中点，点N在线段上，，则正方体被平面AMN所截得的截面面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据体积求出正方体棱长，根据面面平行性质补齐截面图形即可求解面积.

【详解】依题意得，N是的中点，，

则，

延长直线MN于P，延长交直线MN于Q，

连接AP交于E，连接AQ交于F，

作出截面AFNME如下图所示，

则中，

，

故的面积

=，

四边形MNFE的面积

，

故所求截面面积为.

故选:B.

【点睛】此题考查面面平行的性质的应用，根据性质补齐截面图形.

二、填空题

13．已知向量，，．若，则________．

【答案】

【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．

【详解】由题可得

,即

故答案为

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．

14．正三棱锥的侧棱长为2，．，分别是、上的点，周长的最小值____．

【答案】

【分析】作出三棱锥的侧面展开图，利用数形结合思想求出周长的最小值．

【详解】解：作出该三棱锥的侧面展开图，如图所示：

的周长即为、、三者的和，

从图中可见：为使三角形的周长的值最小，

只需让、、、四点共线即可；

根据题中给出的条件知：，

，．

周长的最小值为．

故答案为：．

15．已知复数在复平面内对应的点为，复数满足，则与对应的点间的距离的最大值为________.

【答案】##

【分析】求出点到对应点的距离，再加上半径1可得．

【详解】由题意复数对应点是以对应点为圆心，1为半径的圆，

，

所以．

故答案为：．

16．在△中，角所对的边分别是，若，，则的最小值为________．

【答案】12

【分析】利用正弦定理及和角公式可得，再结合条件及正弦定理可得，然后利用余弦定理及基本不等式即求.

【详解】∵在△中，角所对的边分别是，，

∴，

∴，

∴，即，，

∴，

因为，

∴，即，

又，

∴，即，当且仅当时取等号，

∴的最小值为为12.

故答案为：12.

【点睛】关键点点睛：本题的关键时利用边角互化，把化为，再利用余弦定理及基本不等式即求.

三、解答题

17．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：

(1)平面；

(2)平面平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.

【详解】（1）

如图，连接，∵分别是的中点，∴.

又∵平面，平面，∴直线平面.

（2）连接SD，∵分别是 的中点，

∴.又∵平面，平面，

∴平面，由(1)知，平面，

且平面，平面，，

∴平面∥平面.

18．如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点，，.

(1)用表示和；

(2)求向量与夹角的余弦值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由平面向量的线性运算法则求解；

（2）以所在的方向分别为轴，轴的正方向，建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．

【详解】（1）∵D为斜边BC的靠近点B的三等分点，∴

∴，

∵E为AD的中点，∴，

∴

（2）， 如图，以所在的方向分别为轴，轴的正方向，建立平面直角坐标系，则，

∴，，

∴，

19．如图所示，四边形是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕旋转一周.

（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.

（2）求阴影部分形成的几何体的体积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，求面积之和即可；

（2）该几何体为圆台去掉一个半球，根据圆台、球的体积公式求解即可.

【详解】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，

，

，

.

故所求几何体的表面积为.

（2），

，

所求几何体体积为.

【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积与体积，考查了台体与球的面积、体积公式，属于中档题.

20．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为.

（1）求圆锥的底面积；

（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；

（2）圆柱的高，，再由求出的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.

【详解】解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：

设，在半圆⊙A中，， 弧长，

这是圆锥的底面周长，所以，

所以，

故圆锥的底面积为；

（2）设圆柱的高，，

在中，，

，所以，

即，，

，

，

所以，当，时，圆柱的侧面积最大，

此时.

【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.

21．在中，设角的对边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，求周长的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.

【详解】（1）由题意知，

即，

由正弦定理得

由余弦定理得，

又.

（2），

则的周长

.

，

，

周长的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.

22．已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且．

（1）求证：平面；

（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．

【答案】（1）证明见解析；（2）的值为，证明见解析．

【分析】（1）连结并延长与的延长线交于点，证明，，又平面，平面，证明平面；

（2）是上的点，当的值为时，能使平面平面，通过证明平面，又，平面．然后证明即可．

【详解】（1）连结并延长与的延长线交于点，

因为四边形为正方形，

所以，

故，

所以，

又因为，

所以，

所以．

又平面，平面，

故平面．

（2）当的值为时，能使平面平面．

证明：因为，

即有，

故．

所以．

又平面，平面，

所以平面，

又，平面．

所以平面平面．

【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．