2022-2023学年河南省周口市太康县第三高级中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省周口市太康县第三高级中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．命题“关于x的方程在上有解”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.

【详解】因为原命题即为“，”是存在量词命题，

所以其否定为全称量词命题，即为“，”，

故选：B

2．设p：或，q：或，则p是q的（    ）条件．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】首先得到或是或的真子集，从而判断出p是q的必要不充分条件.

【详解】因为或是或的真子集，故，但，

故p是q的必要不充分条件.

故选：B

3．设，为正实数，满足，则目标函数的最小值为（    ）

A．4 B．32 C．16 D．0

【答案】C

【解析】由，为正实数，满足，可得，

，利用基本不等式即可求解.

【详解】由，为正实数，满足，可得，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为为．

故选：C

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

4．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，转化为当与时，y的值恒小于或等于0，列出不等式即可求解.

【详解】令，由题意知当与时，y的值恒小于或等于0，

即且，

所以且，所以．

故选：C．

5．已知，，则下列结论正确的是（ ）

A．是偶函数

B．是奇函数

C．是偶函数

D．是奇函数

【答案】D

【详解】试题分析：的定义域关于原点对称，又，所以为偶函数，而为非奇非偶函数，故选项A，B错误；选项C中函数定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故选项C错误；

因,故,故,应选D.

【解析】函数的奇偶性及判定.

6．若幂函数在上单调递减，则（    ）

A．或2 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据幂函数的定义以及其在上单调递减，列出方程以及不等式，即可求得答案.

【详解】由题意可得,解得,

故:C.

7．在同一个坐标系中，函数与且的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据同底的指数函数和对数函数图象关于对称可确定结果.

【详解】由指数函数和对数函数性质可知：与图象关于对称，

由选项中图象对称关系可知A正确.

故选：A.

8．已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解.

【详解】由题意，定义在上的函数的定义域为，关于原点对称，

且，所以函数为奇函数，

所以

又由当时，结合初等函数的性质，可得函数为单调递增函数，

又由对数的运算性质可得，

所以，即.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的转化思想，以及熟练应用函数的单调性及对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

二、多选题

9．已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值可能是（    ）

A． B．1 C．0 D．

【答案】AC

【分析】对进行分类讨论，结合有且只有一个元素求得的值.

【详解】当时，，符合题意.

当时，，符合题意.

故选：AC

10．解关于x的不等式：，则下列说法中正确的是（    ）

A．当时，不等式的解集为

B．当时，不等式的解集为或

C．当时，不等式的解集为

D．当时，不等式的解集为

【答案】ABD

【分析】讨论参数，结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误.

【详解】A：，则，可得解集为，正确；

B：，则，可得解集为或，正确；

C：，当时解集为；当时无解；当时解集为，错误；

D：由C知：，即，此时无解，正确.

故选：ABD

11．(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋，且f＝0，当x>时，f(x)>0，则以下结论正确的是（    ）

A．f(0)＝－，f(－1)＝－

B．f(x)为R上的减函数

C．f(x)＋为奇函数

D．f(x)＋1为偶函数

【答案】AC

【分析】取，，得出，，的值进而判断A；由判断B；令结合奇偶性的定义判断C；令，结合g(x)为奇函数，得出，从而判断D.

【详解】由已知，令，得，，令，得，，再令，得，，A正确；，不是上的减函数，B错误；令，得，，故C正确；令，由C可知g(x)为奇函数，，即，，故D错误.

故选：AC

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于取特殊值结合奇偶性的定义判断奇偶性.

12．已知函数，则（    ）

A．的定义域是 B．是奇函数

C．是单调减函数 D．若，则，且

【答案】ACD

【分析】由对数型复合函数定义域可判断A；由奇函数的定义可判断B；利用指数函数及对数型复合函数的单调性可判断C；利用函数的单调性解不等式可判断D.

【详解】对于A，由题意，即，解得，

所以的定义域是，故A正确；

对于B，函数定义域关于原点对称，且，

所以

所以，故不是奇函数，故B错误；

对于C，，

由指数型函数及对数型复合函数为上的减函数，

所以是区间上的单调减函数，故C正确；

对于D，由已知，所以等价于，

又是区间上的单调减函数，故，解得且，故D正确；

故选：ACD

三、填空题

13．已知集合，，若，则________.

【答案】

【解析】根据集合相等，列出方程求解，得出，从而可得出结果.

【详解】因为集合，，，所以

解得从而.

故答案为：.

14．已知，且，则的最小值为___________.

【答案】8

【分析】根据，且，将转化为，利用基本不等式求解.

【详解】因为，且，

所以，

，

,

，

当且仅当,即时，等号成立，

所以的最小值为8，

故答案为：8

15．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为___________.

【答案】

【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可.

【详解】解：因为幂函数在上单调递减，

所以，解得.

故答案为：.

16．若函数且的图象恒过定点A，则A坐标为______．

【答案】

【分析】令，函数值是一个定值，与参数a无关，即可得到定点.

【详解】令，则，，

所以函数图象恒过定点为.

故答案为：

四、解答题

17．已知命题p：，命题q：．

(1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围．

(2)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据p为假命题，可得实数的取值范围；

（2）把是的充分条件，转化为两集合端点值间的关系，列不等式组求解．

【详解】（1）解：由p为假，得或

故的取值范围为或.

（2）解：，，

若是的充分条件，则，

可得，解得．

实数的取值范围是．

18．已知命题，为假命题.

(1)求实数的取值集合；

(2)设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，即可求得集合；

（2）分析可知，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：由题意可得，解得，故.

（2）解：由题意可知.

当时，则，解得，此时成立；

当时，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

19．已知关于的不等式．

(1)当，，时，求该不等式的解集；

(2)当，，时，求该不等式的解集．

【答案】(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）利用二次不等式的解法解原不等式，即可得解；

（2）对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式或一次不等式的解法解原不等式，即可得解.

【详解】（1）解：当，，时，原不等式即为，

即，解得，

故当，，时，原不等式的解集为.

（2）解：当，，时，原不等式即为，

即.

当时，原不等式即为，解得；

当时，解方程，可得或.

（i）当时，，由可得或；

（ii）当时，，由可得；

（iii）当时，原不等式即为，解得；

（iv）当时，，由可得.

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或.

20．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.

(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；

(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.

【答案】(1)

(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元

【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，

（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案

【详解】（1）由题意知，当时，，所以a=300.

当时，；

当时，.

所以，

（2）当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；

当时，，

当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.

因为，

所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.

21．已知函数，且，．

(1)求的解析式；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明．

【答案】(1)；

(2)单调递增，证明见解析.

【分析】（1）由题可得即可求出，得到的解析式；

（2）根据单调性的定义即可判断证明.

【详解】（1）由题意，得，即,

解得：，．故．

（2）方法一：在上单调递增．

证明：，，且，则．

由，得，，，

所以，即．故在上单调递增．

方法二：在上单调递增．

证明：，，且，则．

由，得，，所以．故在上单调递增．

22．已知函数.

(1)写出函数的定义域并判断其奇偶性；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)的定义域为；为偶函数

(2)

【分析】（1）先列不等式组求得函数的定义域再利用定义判断其奇偶性即可；（2）先将转化为对数不等式，再列不等式组即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）由，可得，则函数的定义域为

由

可得函数为偶函数

（2）由，

可得

由 ，可得

解之得，则实数的取值范围为