河南省周口市太康县第一高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学（文科）试题（含答案）

太康一高2022-2023学年高二上学期第一次月考

数学试卷（文科）

（考试时间：120分钟        试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若A，B是△ABC的内角，且sinAsinB，则A与B的关系正确的是（　　）

A．AB B．AB C．A+B D．无法确定

2．已知△ABC的角A，B，C所对的边为，则a＝（    ）

A． B．2 C． D．3

3．已知Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S9＝18，am＝2，则m＝（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

4.  在等比数列中,,是方程的二根,则的值为（　　）

A.    B.     C.     D. 或 

5.  在中,,,的面积为,则外接圆面积为（　　）

A.     B.     C.     D.  

6. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若abcosC，则△ABC的形状为（   ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

7. 在数列中，，，则的通项公式为（   ）．

A．    B．    C．   D．

8. 在中，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为(　　)

A.升       B．升      C.升  D．升

10.  在中,角,,对边分别为,,,若,则为（　　）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

11．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，S为△ABC的面积，，且A、B、C成等差数列，则C的大小为（    ）

A． B． C． D．

12. 数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（    ）

①存在实数，使得为等差数列；

②存在实数，使得为等比数列；

③若存在使得，则实数唯一.

A．① B．①② C．①③ D．①②③ 

第II卷（非选择题）

二、填空题

13．的周长等于，则其外接圆直径等于__________．

14．等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为______.

15．中，角的对边分别为，当最大时，__________．

16．等比数列满足，且，则__________．

三、解答题

17．在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝．

（1）求sinB的值；

（2）若点D在BC边上，AD＝BD，求△ABD的面积．

18．如图，在四边形中，，，，．

（1）求的值；

（2）若，求的长．

19．已知数列满足：.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；

（2）求数列的前项和.

20．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.

（1）求角A的大小；

（2）求的取值范围.

21．已知数列满足，（，），

（1）证明数列为等比数列，求出的通项公式；

（2）数列的前项和为，求证：对任意，.

22.（本题满分12分）

已知.

(Ⅰ)求的最值；

(Ⅱ)若在时恒成立，求实数的取值范围.

                       文科数学参考答案

1．B

【详解】

由正弦定理可知：，

又当 但A+B，故Ｃ错误  故选：B.

2．B

【详解】

由余弦定理可得 ：cosC＝，

即＝，

整理可得，

解可得a＝2，a＝(舍去).

故选：B.

3．B

【详解】

解：S9＝＝9a5＝18，∴a5＝2，

∵am＝2，∴m＝5，

故选：B．

4. B

【详解】

在等比数列中,,是方程的二根, 则,, 则.故选:B.

5. C

【详解】

在中,,则, 根据余弦定理:, 则,外接圆直径,则,外接圆面积. 故选:C.

6. B

【详解】略

7. A

【详解】

由已知得，

所以；；；

将上述个式子相加，整理的，又因为，所以．

8. C

【详解】

由题：在△ABC中，设，三角形△ABC外接圆半径为，，

，

其中，当时，取得最大值.

9. A

【详解】

自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有，因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.选A.

 10. D

【详解】

余弦定理得代入原式得. 解得或.则形状为等腰或直角三角形,选D.

11．C

【详解】

根据题意，在△ABC中，A+C＝π﹣B，则sin（A+C）＝sinB，

又由，则有，变形可得：①

若A、B、C成等差数列，则，则，

变形可得②，

联立①②可得：，即，

又由，则，即，

则＝，故.

故选：C

12．A

【详解】

①中，假设为等差数列，则，

则，

可得，显然当时，可得，

使得恒成立，所以存在使得数列为等差数列，所以①正确；

②中，假设数列为等比数列，则

则，可得，

即，即，

该式中有为定值，是变量，所以这样的实数不存在，所以②不是真命题；

③中，由，可得，， ，

，

将上述各式相加，可得

，

即，即，

若存在这样的实数，则有，

从而，可知满足该式的不唯一，所以③不是真命题.

故选：A.

13．3

【详解】

因为的周长等于，所以，因此由正弦定理得，即外接圆直径等于3.

14．8

【详解】

，则

即

，由二次函数的对称轴为可知，当时，取最小值。

故答案为

15．

【详解】

,

当且仅当，取等号，∴∠C的最大值为75°，此时sinC=,，

∴.

故答案为

16．9

【详解】

因为数列为等比数列，根据等比数列性质，

，故填9．

17．【详解】

17．（1）；

（2）3.

【详解】

（1）由余弦定理可得：

由正弦定理可得：

（2）为锐角   

由余弦定理得：

又   

【点睛】

本题考查解三角形的相关知识，涉及到正余弦定理的应用、三角形面积公式的应用，属于常考题型.

18．（1）；（2）.

【详解】

解：（1）因为，

所以可设，，．又，，

所以由余弦定理，得，解得,

所以，，．

（2）因为，

所以，

所以，

因为，

所以．

19．（1）见证明；（2）

【详解】

（1）证明：因为，

所以．

因为

所以

所以．

又，

所以是首项为，公比为2的等比数列，

所以．

（2）解：由（1）可得，

所以

．

20．（1）；（2）.

【详解】

（1）由题意知，可得，

又因为，可得，所以，所以.

（2）由（1）知，且，

根据正弦定理，可得，

所以，.

所以

，

因为为锐角三角形，可得，所以，

所以，所以，

即的取值范围为.

21．

【详解】

（1）由有，∴

∴数列是首项为，公比为2的等比数列.

∴，∴

（2），

∴，

.

22.  【详解】

(Ⅰ)易知定义域为：，且

，             ；             

(Ⅱ)易知：在上恒成立，            

考查的最小值，

，

时：，            

此时，在上单调递减，的最小值：，

故所求的取值范围是：