2021-2022学年河南省安阳市殷都区第一高级中学高一下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年河南省安阳市殷都区第一高级中学高一下学期3月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省安阳市殷都区第一高级中学高一下学期3月月考数学试题 一、单选题1．复数（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先利用复数的除法化简，再得到其共轭复数，利用复数的几何意义求解.【详解】因为，所以，所以对应的点位于第四象限．故选：D2．下列命题正确的是　　A．向量与共线，向量与共线，则向量与共线B．向量与不共线，向量与不共线，则向量与不共线C．向量与是共线向量，则，，，四点一定共线D．向量与不共线，则向量与都是非零向量【答案】D【分析】直接利用向量共线的充要条件以及反例判断即可．【详解】解：对于A，如果，则选项A不正确；对于B，向量与不共线，向量与不共线，则向量与可能共线也可能不共线；如图、、，显然与不共线，向量与不共线，但是与共线；所以B不正确；对于C，在中，向量与是共线向量，但是，，，四点不共线，所以C不正确．对于D，若向量与不都是非零向量，即至少有一个为零向量时，向量与共线，根据逆否命题的等价性可知，D正确．故选：D．3．如图，四边形中，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据图形，结合向量的加法，减法，数乘运算的运算律利用，表示.【详解】，．故选：A.4．在中，内角、、所对的边分别为、、，，．则(    )A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理并结合已知条件即可求解.【详解】由正弦定理可得，.故选：A.5．对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（    ）A．若满足，且与反向，则B．C．D．【答案】D【分析】利用向量的概念以及向量的平行四边形法则、三角形法则、向量的数量积，判断选项的正误即可.【详解】A，因为向量不能比较大小，故A错误；B，由向量的三角形法则可知，，故B错误；C，，故C错误；D，由向量的平行四边形法则可得，故D正确.故选：D6．定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论.【详解】设复数的平方根为，则，化简，所以，，解得，或，，即复数的平方根为或，故选：C7．一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（    ）A．2海里 B．3海里 C．4海里 D．5海里【答案】A【分析】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，然后在中利用余弦定理求解即可.【详解】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，由题意知，，．由余弦定理得，所以，化简得，解得或（舍去），所以灯塔与轮船原来的距离为2海里，故选：A8．在梯形ABCD中，AB//CD且AB=3CD，点P在边BC上，若，则实数（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】延长，交于点，则三点共线，运用可求解.【详解】延长，交于点，则三点共线，于是可得，因且，所以，于是，.故选：D9．已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（    ）A． B．0或 C．0或1 D．0或3【答案】A【分析】根据向量共线的条件,代入化简,对应系数相等【详解】因为与共线，可设，即，因为，不共线，所以所以.故选:A.10．在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（    ）A．，，，有两解 B．，，，有一解C．，，，有一解 D．，，，无解【答案】D【分析】已知，的前提下，利用直角构造出关于的不等式，即可得出三角形的个数解.【详解】因为，，如图于，由直角可得.当或时，有一解；当时，无解；当时，有两解.结合四个选项，可知，选项A，B，C三项错误.故选：D11．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列结论正确的是（    ）A．B．的最小内角是最大内角的一半C．是钝角三角形D．若，则的外接圆直径为【答案】B【分析】利用已知条件求出三边的比例，结合正余弦定理验证各选项的结论是否正确.【详解】由，不妨设，，，，解得，，.由正弦定理知，即A选项错误；∵，∴最大的内角为，最小的内角为，由余弦定理知，，，，角A和角C都为锐角，故，即B选项正确；最大的内角为，∵，∴为锐角，是锐角三角形，即C选项错误；∵，∴，由正弦定理，∴的外接圆直径，即D选项错误.故选：B12．若为坐标原点，，，，则的最小值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】C【分析】根据平面向量的坐标表示以及模长公式，可得出的表达式，通过整体代换利用基本不等式和二次函数单调性即可求得最小值.【详解】由题意知，，又可得，整理得，令，则，且，∴，∴，即的最小值是3.故选：C 二、填空题13．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数__________．【答案】【分析】根据复数的乘法计算，由实虚部相等即可得解.【详解】，由实部和虚部相等可得，所以，故答案为：.14．已知向量，，是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为______.【答案】【分析】在上的投影向量为，求出两向量夹角的余弦值，代入即可.【详解】设与所成角为，则，故在上的投影向量为.故答案为：15．已知与不共线，，且与是一组基，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】先由与共线，求得，再由与是一组基底，则与不共线，取补集即可.【详解】因为与不共线，，若与共线，则，即，所以，解得，因为与是一组基底，所以若与不共线，所以实数的取值范围是，故答案为：16．若的内角，，满足，则的最大值为______.【答案】【分析】先由正弦定理得到三边的关系，然后由余弦定理求角的余弦的最小值，再求得结果.【详解】已知，由正弦定理可知，则，因为，即，所以，则，且当时，角最大，而在上单调递增，此时，所以.故答案为：. 三、解答题17．已知复数是纯虚数．（1）求实数的值；（2）若复数满足，，求复数．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）由复数为纯虚数，可得，从而可求出的值；（2）由（1）知，令，由，，列方程可求出的值，从而可求出复数【详解】解：（1）由复数为纯虚数，有，得．（2）由（1）知，令，有．又由，得，有．由上知或．18．已知平面内三个向量，，．（1）求；（2）求满足的实数，；（3）若，求实数．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据向量坐标运算法则求出求出模长；（2）根据得，建立方程组即可求解；（3）求出，，根据向量平行的坐标表示即可得解.【详解】（1）∵，∴．（2）由得，∴解得（3），．∵，∴，解得．19．设向量满足，且 与 具有关系 (k＞0)．(1) 与 能垂直吗？(2)若 与夹角为60°，求k的值．【答案】(1)不能(2)k＝1 【分析】（1）将两边平方，整理可得，判断其是否能为零，可判断 与 能否垂直；（2）根据数量积的定义计算结合（1）中数量积结果，求得k的值即可.【详解】（1）∵，∴，∵,∴ ,∴,∵，∴，即 与不垂直；（2）∵ 与夹角为60°，且,∴,由（1）知，∴,∴k=1.20．在中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求证：；(2)若，求的值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据正弦定理，正弦倍角公式，两角和的正弦公式即可求解；（2）根据余弦定理，同角的三角函数基本关系式，两角和的余弦公式即可进一步求解.【详解】（1）∵，，∴，由正弦定理，得，∵中，，∴，∴，∴.（2）由，∴，由余弦定理，得，而中，，∴，∴，由（1）知，∵，，∴.21．设为的重心，过作直线分别交线段(不与端点重合)于．若．（1）求的值；（2）求的取值范围．【答案】（1） ；（2） ．【分析】（1）连结AG并延长交BC于M，则M是BC的中点，设，根据， 用 表示，，再由三点共线求解； （２）由（1）得到，进而得到，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）如图所示：连结AG并延长交BC于M，则M是BC的中点，设，则， ①又，      ②，，三点共线，故存在实数，使，，则，消得：，即.（２） ，， ，即，，其中时，有最大值，时，有最小值2，所以的取值范围是22．如图，在扇形中，圆心角等于60°，半径为4，在弧上有一动点，过引平行于的直线和交于点，设.(1)若点为的中点，试求的正弦值；(2)求面积的最大值及此时的值.【答案】(1)；(2)面积的最大值为，此时. 【分析】（1）（2），做，因，则可得，有，再借助三角恒等变换、三角函数性质求解得答案.【详解】（1）如图，做，因，，则四边形为平行四边形，则，有.当点为的中点，又，则，又，则.解得：（2）因，则，则，则，其中.，当且仅当，即时取等号.故面积的最大值为，此时.