2022-2023学年河南省周口市太康县第二高级中学高一上学期11月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省周口市太康县第二高级中学高一上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题判断即可.

【详解】解：命题“”为全称量词命题，

其否定为：；

故选：D

2．设全集，或，，则集合是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】先求得集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.

【详解】由题意，全集，或，，

可得，则.

故选：C.

【点睛】集合基本运算的关注点：

（1）看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；

（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系进行运算，可使得问题简单明了，易于解决；

（3）主要数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图.

3．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.

【解析】不等式性质、充分必要性.

4．已知，，那么，，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由不等式的性质可得，即可得解.

【详解】因为，，所以，，

所以.

故选：C.

5．在下列函数中，函数表示同一函数的（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，判断函数是否相等，需对比定义域和对应关系，先求定义域，再整理解析式，可得答案.

【详解】由题意，函数，其定义域为，其解析式为，

对于A，函数，其定义域为，故A错误；

对于B，函数，其定义域为，对应法则不同，故B错误；

对于C，与题目中的函数一致，故C正确；

对于D，函数，其定义域为，故D错误，

故选：C.

6．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出，，再用基本不等式求出最值

【详解】的解集为，则是方程的两个根，故，，故

因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为

故选：D

7．已知函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意列出不等式组，从而可求得的取值范围．

【详解】∵函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，

∴，解得.

故选：A

8．已知函数是R上的奇函数，且，且当时，，则的值是（    ）

A．1 B． C．0 D．

【答案】A

【分析】利用奇函数性质可知，由可知函数的周期性，从而可得结果.

【详解】解：因为函数是R上的奇函数，所以，

由得，，所以

所以函数为周期函数，周期为6，所以，

又，所以.

故选：A

二、多选题

9．设集合，，若，则实数a的值可以是（    ）

A．0 B． C． D．2

【答案】ABC

【分析】先得到，再根据，分，，讨论即可.

【详解】由题得，，则

当时，有，，故C正确；

当时，有，，故B正确；

当时，，故A正确；

故选：ABC.

10．下列命题中，真命题的是（    ）

A．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件

B．“”是“”的充要条件

C．命题“∃x0∈R，使得”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”

D．命题“∀x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“∃x0∈R，”

【答案】ACD

【分析】利用充分性与必要性判断AB的正确性，根据全称命题与存在命题的关系判断CD的正确性.

【详解】对于A，当，时，，但是当时，得到，不一定成立，故，是的充分不必要条件，故A正确；

对于B，“”是“”的充要条件，故B错误；

对于C, 命题“∃x0∈R，使得”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”,故C正确；

对于D，命题“∀x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“∃x0∈R，”，故D正确.

故选：ACD

11．已知函数关于函数的结论正确的是（    ）

A．的定义域为R

B．的值域为

C．

D．若则x的值是

【答案】BD

【分析】根据分段函数的解析式可确定函数的定义域和值域，判断A,B；代入求值判断C;结合函数值域列方程求解，判断D.

【详解】由可知函数定义域为，A错误；

当时，；当时，，

故的值域为，B正确；

，C错误；

由于当时，，故则，，则，D正确；

故选：BD

12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于下列说法正确的是（    ）

A．函数的值域是

B．

C．对任意恒成立

D．存在三个点，，，使得为等腰直角三角形

【答案】BC

【解析】根据新定义函数得函数的值域为；无论为有理数还是无理数，均为有理数，故；由于与均属于有理数或均属于无理数，故对任意恒成立；假设存在，则根据函数推出矛盾即可否定结论.

【详解】解：对于A选项，函数的值域为，故A选项错误.

对于B选项，.当为有理数时，，

当为无理数时，，

所以，，故B选项正确.

对于C选项， 为有理数时，为有理数，

当为无理数时，为无理数，

所以恒成立，故C选项正确.

对于D选项，若为等腰直角三角形，不妨设角为直角，则的值得可能性只能为或，由等腰直角三角形的性质得，所以，这与矛盾，故D选项错误.

故选：BC.

【点睛】本题考查函数新定义问题，考查数学知识的迁移与应用能力，是中档题.本题解题的关键在于根据函数的定义，把握函数的值只有两种取值，再结合题意讨论各选项即可得答案.

三、填空题

13．已知函数，若在上单调递减，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】由题意可得，解不等式组即可得出答案.

【详解】由题意得,即，

解得：．

所以的取值范围为.

故答案为：.

14．已知，则的最小值是__________．

【答案】2

【分析】根据已知条件将进行变形，进而结合均值不等式即可求出结果.

【详解】因为，所以，

而

,

当且仅当时，即时，等号成立，

故的最小值是2，

故答案为：2.

15．幂函数在上单调递减，则的值为______．

【答案】2

【分析】利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答.

【详解】解：因为函数是幂函数，

则有，解得或，

当时，函数在上单调递增，不符合题意，

当时，函数在上单调递减，符合题意.

所以的值为

故答案为：

16．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

【答案】

【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.

【详解】分类讨论：①当时，即：，

整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当时，，则；

②当时，即：，整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当或时，，则；

综合①②可得的取值范围是，故答案为.

点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

四、解答题

17．已知命题，为假命题.

(1)求实数的取值集合；

(2)设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，即可求得集合；

（2）分析可知，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：由题意可得，解得，故.

（2）解：由题意可知.

当时，则，解得，此时成立；

当时，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

18．已知函数．

(1)若在是单调函数，求实数的取值范围；

(2)当时，解不等式．

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）分与两种情况，数形结合得到实数的取值范围；

（2）先将不等式变形为，分，，三种情况，解不等式.

【详解】（1）当，即时，，在是单调递增函数，符合题意；

当，即时，二次函数对称轴为，

要想函数在是单调函数，只需①，或②，

解①得：或，

解②得：，

所以，

综上：实数的取值范围是

（2）不等式，

变形为，，

因为，

所以当时，，解得：，

当时，，此时解集为，

当时，，此时解集为或.

综上：当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为或.

19．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当时，v的值为2；当时，v是关于x的一次函数.当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.

(1)当时，求函数的表达式；

(2)当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.

【答案】(1)

(2)x＝10，最大值为12.5千克/立方米

【分析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可；

（2）分段求得函数的最值，比较可得答案.

【详解】（1）依题意，当时，；

当时，是关于x的一次函数，假设，

则，解得，

所以.

（2）当时，；

当时，，

当时，取得最大值.

因为，所以当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5.

20．已知幂函数在上是减函数.

(1)求的解析式；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)（2，5）.

【分析】（1）根据幂函数的性质可求得的值.

（2）根据幂函数的单调性解不等式求参数.

【详解】（1）解：由题意得：

根据幂函数的性质可知，即，解得或.

因为在上是减函数，所以，即，则.

故.

（2）由（1）可得，设，

则的定义域为，且在定义域上为减函数.

因为，所以

解得.

故的取值范围为（2，5）.

21．函数的定义域为且，且满足对于任意的有

(1)求及的值；

(2)判断的奇偶性并证明.

【答案】(1)，.

(2)偶函数，证明见解析.

【分析】（1）赋值法求以及；

（2）先确定定义域关于原点对称，再判断与的关系，最后根据奇偶性定义作判断.

【详解】（1）令，得，

所以，令，

得

所以.

（2）令,

得，

即，

故对任意的都有.

所以是偶函数.

22．已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞)．

（1）当a＝时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意x∈[1，＋∞)，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）(－3，＋∞).

【分析】（1），利用作差法判断[1，＋∞)上的单调性，即可求得；

（2）f（x）＞0恒成立，等价于f（x）的最小值大于零，令y＝x2＋2x＋a，求y的最小值即可.

【详解】（1）当a＝时，，

设1≤x1＜x2，则，

∵1≤x1＜x2，

∴2x1x2＞2，2x1x2-1>0，>0，

∴，

∴f（x）在区间[1，＋∞)上为增函数，

∴f（x）在区间[1，＋∞)上的最小值为f（1）＝，

（2）在区间[1，＋∞)上f（x）＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立，

设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数，

∴当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，

于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，

故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞)．

【点晴】（1）判断函数单调性的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）四则运算法；（4）复合函数法；（5）导数法；此题也可以利用对勾函数的图像解决；

（2）恒成立等价于.