2021-2022学年河南省信阳高级中学高一下学期第三次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省信阳高级中学高一下学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A，的定义域为，

而，但，

故在定义域上不是增函数，故A错误.

对于B，的定义域为，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数，

故B错误.

对于C，因为时，，故在定义域上不是增函数，故C错误.

对于D，因为为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R，且为增函数，

而，故为奇函数，符合.

故选：D.

2．设，为两个平面，则的充要条件是

A．内有无数条直线与平行

B．内有两条相交直线与平行

C．，平行于同一条直线

D．，垂直于同一平面

【答案】B

【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．

【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．

【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．

3．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；

解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.

【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，

根据已知得到了函数的图象，所以，

令,则,

所以,所以；

解法二：由已知的函数逆向变换，

第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

即为的图象，所以.

故选：B.

4．设D，E，F分别为的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量的线性运算和中点的向量表示进行计算，即得结果.

【详解】如图，

＋＝＋＋＋＝＋

＝＋＝.

故选：C.

5．已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（    ）

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形

【答案】B

【分析】利用正弦定理和余弦定理化角为边可得答案.

【详解】因为，由正弦定理可得，

因为，所以，整理可得.

故选：B.

6．已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解．

【详解】方法一：

由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，

其体对角线就是外接球的直径，所以半径，

由球的表面积公式得，

故选：B．

方法二：

如图，取的中点分别为，

根据题意，它们分别是的外心，因为，

所以四边形是平行四边形，所以，

而底面ABC，所以底面ABC，

取的中点O，于是点O为该直三棱柱外接球的球心．

连接OB，容易求得，则外接球半径

，于是外接球的表面积为，

故选：B．

7．下面给出的几个关于向量问题的结论中，错误的个数是（    ）

①；

②；

③若，则与的夹角的取值范围是；

④已知，，若与夹角是锐角，则；

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量数量积的计算公式分别计算判断各结论.

【详解】结论①：，当时，，，故①错误；

结论②：，，故②错误；

结论③：当时，，即，故③错误；

结论④：若与夹角是锐角，则，且，不共线，即，解得，且，即，故④错误；

故选：D.

8．已知方程有实根，且，则复数等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数相等可得，然后根据共轭复数的概念即得.

【详解】由题可得，

整理可得：，

所以，解得，

所以，.

故选：B.

9．下面给出的几个命题，正确命题的个数是（    ）

①侧面是全等的长方形的直四棱柱是正四棱柱；

②若直线平面，平面平面，则平面；

③在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为；

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】对于①②，举反例即可判断，对于③，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解，由此判断即可.

【详解】对于①，底面是菱形的直四棱柱，其侧面也是全等的长方形，但它不是正四棱柱，故①错误；

对于②，当直线平面时，若平面平面，则直线平面，但显然不满足平面，故②错误；

对于③，根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，

.

不妨设正方体的棱长为，

则，故，

所以，

不妨设直线与所成的角，则，

所以，

故，即直线与所成的角为，故③正确；

综上：①②错误，③正确，所以正确命题的个数是.

故选：B.

10．锐角的外接圆半径为1，边，，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由正弦定理得，由利用两角和与差的正弦、余弦展开式、二倍角公式可得，最后由可得答案.

【详解】由正弦定理得，

因为，所以，

即，

因此或，或，

因为，所以，即.

故选：C.

11．如图，分别是射线上的点，给出下列以为起点的向量：①；②；③；④；⑤其中终点落在阴影区域内的向量的序号有（    ）

A．①③ B．①②④ C．②③ D．①③⑤

【答案】A

【分析】利用向量共线的充要条件可得： 当点 在直线上时, 存在唯一的一对有序实数 , 使得 成立, 且 . 可以证明 当点位于阴影区域内的充要条件是: 满足 , 且 . 据此即可判断出答案.

【详解】由向量共线的充要条件可得: 当点 在直线上时, 存在唯一的一对有序实数使得 成立, 且 . 可以证明当点位于阴影区域内的充要条件是: 满足 , 且 , .

证明如下: 如图所示,

点 是阴影区域内的任意一点, 过点 作, 分别交于点,;

交于点, 过点作 交于点,

则存在唯一一对实数 , 使得 , 且 唯一;

同理存在唯一一对实数 使得

,

而，

即可判断出①,因为，所以点 位于阴影区域内, 故①正确; 同理③正确;

而②④不正确;

⑤原式, 而, 故不符合条件. ⑤不正确;

综上可知：只有①③正确.

故选：A.

【点睛】本题考查向量共线的问题，熟练掌握向量共线的充要条件是解题的关键.属于较难题.

12．在中，若，则的面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，利用余弦定理得到关于的表达式，再利用三角形面积公式，结合二次函数最值的求法即可得解.

【详解】依题意，不妨设，，，则，，

由余弦定理得，即，则，

故，则，

所以，

又因为，

故，

当，即时，取得最大值，此时，，能组成三角形．

所以，即.

故选：A.

二、填空题

13．已知点，若把向量绕原点按逆时针方向旋转得到向量，则点的坐标为________.

【答案】

【分析】设点的坐标为，可知点位于第二象限，由题意得出，由此列方程组解出、的值，即可得出点的坐标.

【详解】设点的坐标为，由题意可知，点位于第二象限，则.

由题意可得，则有，解得，

因此，点的坐标为，故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，要结合条件得出两向量之间的关系，同时要注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆.若，，则，.

14．下面给出的几个关于复数的命题，

①若是纯虚数，则实数

②复数是纯虚数

③复数在复平面内对应的点位于第三象限

④如果复数满足，则的最小值是2

以上命题中，正确命题的序号是______.

【答案】②③

【分析】根据纯虚数的概念和复数的几何意义逐个检验可得

【详解】对于①，因为为纯虚数，所以，

解得，故①错误；

对于②，因为，所以，所以是纯虚数，故②正确；

对于③，因为，，所以在

复平面内对应的点在第三象限，故③正确；

对于④，由复数的几何意义知，表示复数z对应的点Z到点

和到点的距离之和，又因为，所以复数z对应的点Z在线段AB上，

而表示点Z到点的距离，

所以其最小值为，故④错误．

故答案为：②③．

15．已知定圆的半径为4，A为圆上的一个定点，为圆上的动点，若点不共线，且对任意的恒成立，则______.

【答案】16

【分析】由题干条件得到，两边平方后得到关于的一元二次不等式在恒成立，讨论判别式和根的范围，求出正确答案.

【详解】两边平方得：，

所以在上恒成立，

由，

若，，在上恒成立，满足要求，

若，，则的较大解为，

当时，，故不能对任意的恒成立，舍去；

当时，，不能对任意的恒成立，舍去；

综上：.

故答案为：16

【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，

①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；

②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.

16．如图所示，正方体的棱长为，线段上有两个动点.，且，则下列结论中正确的序号是_________.

①；

②平面；

③三棱锥的体积为定值；

④的面积与的面积相等.

【答案】①②③

【解析】①由平面垂直可判断，②由线面平行的定义可判断，③棱锥底面面积不变，顶点到底面距离不变可判断结论，④分析到直线的距离即可判断.

【详解】对于①，由题意及图形知，平面，故可得出，故①正确，

对于②，由正方体的两个底面平行，在其一面上，

故与平面无公共点，故有EF∥平面ABCD，故②正确，

对于③，由几何体的性质及图形知，三角形的面积是定值，点到面的距离等于 BD的一半，故可得三棱锥的体积为定值，故③正确，

对于④，由图形可以看出，到线段的距离与到的距离不相等，

故的面积与的面积相等不正确，故④错误，

∴正确命题的序号是①②③.

故答案为：①②③

三、解答题

17．的内角所对的边分别为.向量与平行.

(1)求A；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量共线可得，再利用正弦定理进行边化角运算求解；

（2）先根据余弦定理求得，再利用面积公式运算求解.

【详解】（1）∵，则，

由正弦定理可得：，

又∵，则，

∴，即，

且，故.

（2）由余弦定理，即，解得或（舍去），

故的面积.

18．在正三棱柱中，，分别为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；

（2）利用等腰三角形的三线合一定理及面面垂直的性质定理及线面垂直的性定理，结合线面垂直的判定定理即可求解.

【详解】（1）连接，如图所示

因为是的中点，

所以为的中点， 又因为为的中点，

所以.

因为平面平面，

所以平面.

（2）在矩形，

所以.所以.

所以.所以.

在正三棱柱中， 底面平面.

因为为的中点， ， 所以.

因为平面平面， 所以平面.

因为平面， 所以.

又因为平面平面，

所以平面.

19．已知两个不共线的向量满足.

(1)若与垂直，求的值；

(2)当时，若存在两个不同的，使得成立，求正数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据求出，再展开求解.

(2)根据，平方后化简，整理成，数形结合求解.

【详解】（1）由条件知， 又与垂直，

所以， 所以..

所以， 故.

（2）由， 得，

即，

所以， 即，

所以.

由， 得.

因为存在两个不同的满足题意，

所以数形结合知.即，

又， 所以.即实数的取值范围为.

20．如图所示，EB垂直于菱形ABCD所在平面，且EB=BC=2，∠BAD=60°，点G、H分别为边CD、DA的中点，点M是线段BE上的动点．

（I）求证：GH⊥DM；

（II）当三棱锥D-MGH的体积最大时，求点A到面MGH的距离．

【答案】（Ⅰ）见解析；（II）

【分析】（Ⅰ）先证明GH⊥平面BDE．再证明GH⊥DM；（II）先证明BM⊥平面ABCD，再计算得到．所以当点M与点E重合时，BM取得最大值2，此时（VD-MGH）max．

再求A到平面MGH的距离为.

【详解】（Ⅰ）证明：连接AC、BD相交于点O．

∵BE⊥平面ABCD．而AC⊂平面ABCD，∴BE⊥AC．

又∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC．

∵BD∩BE=B，∴AC⊥平面BDE．

∵G、H分别为DC、AD的中点，∴GH∥AC，则GH⊥平面BDE．

而DM⊂平面BDE，∴GH⊥DM；

（II）菱形ABCD中，∠BAD=60°，得，∠ADC=120°．

∵DG=DH=1，

∴S△DGH==，

∵BE⊥平面ABCD，即BM⊥平面ABCD，

∴=．

显然，当点M与点E重合时，BM取得最大值2，此时（VD-MGH）max=．

且MG=MH=，GH=，则，

∵H是AD中点，所以A到平面MGH的距离d1等于到平面MGH的距离d2，

又VD-MGH=VM-DGH，∴，得d2=．

∴A到平面MGH的距离为．

【点睛】本题主要考查空间线线垂直关系的证明，考查体积的最值问题和点到平面的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

21．如图，已知AB是一幢6层的写字楼，每层高均为3m，在AB正前方36m处有一建筑物CD，从楼顶A处测得建筑物CD的张角为．

求建筑物CD的高度；

一摄影爱好者欲在写字楼AB的某层拍摄建筑物已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果不计人的高度？

【答案】(1)30米;(2) 当时，张角最大，拍摄效果最佳.

【详解】试题分析：（1）先作于，构造直角三角形，然后运用两角差的正切公式求出，再求出；（2）先依据题设求出，，然后建立目标函数，通过求函数的最值使得问题获解：

解：（1）如图，作于，则.

所以，.

因为，

所以.

所以.

答：建筑物的高度为30米.

（2）设在第层处拍摄效果最佳，则摄影高度为米（如图）

（）.

作于，则，.

，，

（当时取等号）.

因为函数在上是单调增函数，

所以当时，张角最大，拍摄效果最佳.

答：该人在6层拍摄时效果最好.

22．已知二次函数对，，且不等式的解集为．

(1)求的解析式；

(2)设，且关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设二次函数的解析式，根据得到相应的方程组，解得答案；

（2）采用换元法，将化为， 整理为，因此将问题变为一元二次方程在给定范围内有两根的问题，从而列出相应的不等式组解得答案.

【详解】（1）设，因为对，，

又，所以,

故，，

又等式的解集为，即的解集为，

所以，得，

所以；

（2）因为，所以，

令，因为，所以，

由，得，

所以，即（*）

因为关于的方程有三个不同的实数解，

由的图象可知，

问题等价于方程（*）有两个不同的实根，，

且，，

令，则或 ，

即或 ，解得或，

所以实数的取值范围为．