河南省周口市太康县第一高级中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题

这是一份河南省周口市太康县第一高级中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若则满足条件的集合A的个数是
A．6B．7C．8D．9
2．设全集U是实数集R，M={x|x>2或x<-2}，N={x|x≥3或x<1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．{x|-2≤x<1}B．{x|-2≤x≤2}
C．{x|13．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．D．或
4．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若命题， ，则表述准确的是（ ）
A．B．
C．或D．或
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
8．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的の分，不分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列四组函数，表示相同函数的一组是（ ）
A．，（）
B．，
C．，
D．，
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
11．取整函数：不超过x的最大整数，如.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（ ）
A．，
B．，
C．，，则
D．，
12．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（ ）
A．，则
B．若，则关于x的不等式的解集为
C．若为常数，且，则的最小值为
D．若的解集M一定不为
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若“x<－2”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是________．
14．已知集合，，若，，则 .
15．已知，求的取值范围 ．
16．已知的值域为R，那么a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数的定义域为集合A，集合．
（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围．
18．（12分）已知集合，，.
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求实数m的取值范围.
19．（12分）已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B.
（1）若，求集合A，B及；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
20．（12分）已知关于的函数y=．(x∈R)
（1）当时，求不等式0的解集；
（2）若0对任意的恒成立，求实数的最大值．
21．（12分）某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.

（1）设的长为米，试写出总造价（单位：元）关于的函数解析式；
（2）问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
22．（12分）已知关于的不等式.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，解关于的不等式.
数学详细参考答案
1．C
【分析】根据题意A中必须有1，2这两个元素，因此A的个数应为集合4，的子集的个数．
【详解】解：，集合A中必须含有1，2两个元素，
因此满足条件的集合A为，，，，，，，共8个．
故选C．
【点睛】本题考查了子集的概念，熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键有n个元素的集合其子集共有个
2．A
【分析】根据图中阴影部分表示x∈N且x∉M，得到x∈N∩∁UM．再利用集合的基本运算求解.
【详解】∵图中阴影部分表示：x∈N且x∉M，
∴x∈N∩∁UM．
∴∁UM={x|-2≤x≤2}，
∴N∩∁UM={x|-2≤x<1}．
故选：A．
【点睛】本题主要考查Venn图以及集合的基本运算，属于基础题.
3．A
【分析】由的两根为，得出，再由一元二次不等式的解法得出答案.
【详解】因为不等式的解集为，
所以的两根为，即，解得.
所以不等式可化为，其解集为或.
故选：A
4．D
【分析】当时，不符合题意；当时，根据二次函数的图象列式可得结果.
【详解】当时，的定义域为，不符合题意；
当时，依题意得在R上恒成立，则，
解得.
故选：D
5．C
【分析】全称命题的否定是特称命题，否定结论的时候，注意不等式的解集是否互为补集关系.
【详解】全称命题的否定为特称命题，排除BD选项，
其中可解得，的否定应是，
A选项中，可解得，故A选项错误，C选项正确.
故选：C
6．C
【分析】先由函数的定义域求出的定义域，再由可得答案.
【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，
又函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
7．D
【分析】令，利用换元法求出函数，从而直接代入即可求出的解析式.
【详解】因为，所以令，则，
所以，
所以，
因为，所以，即，
所以.
故选：D.
8．A
【分析】由题意，利用基本不等式求出的最小值，问题等价于，求出不等式的解集即可．
【详解】若两个正实数，满足，则，
，当且仅当时取得等号，
不等式恒成立，等价为，
则，解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值问题，难度不大，正确转化恒成立为求最值问题是解决此题的关键．
9．AC
【分析】根据相同函数的判断原则进行判断即可.
【详解】对于A，，（）的定义域相同，化简后对应关系相同，是相同函数；
对于B，的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，对应关系不同，不是相同函数；
对于C，的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是相同函数；
对于D，的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，化简后对应关系相同，不是相同函数.
故选：AC
10．AB
【分析】根据不等式性质及特值法即可作出判断
【详解】对于，因为，，所以，故正确；
对于，因为，所以，
又，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，
又，所以，故C错误；
对于D，当时，满足，
但，此时，故D错误，
故选：AB
11．BC【解析】判断特称命题正确，只要举出例子即可，判断全称命题错误，也只要举出例子即可.
【详解】对A，根据新定义“取整函数”的意义知不一定成立，如x取1.5，，，故A错误；
对B，x取1，，，B正确；
对C，设，，若，则，因此，故C正确；
对D，x取1.6，y取1.6，，，D错误；
故选：BC.
【点睛】本题考查取整函数的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意特值法的运用.
12．AC
【分析】选项A中，由二次函数的性质得到，可判定A错误；选项B中，转化为和是方程的两个实根，求得，把不等式化简得到，求得的解集，可判定B正确；选项C中，结合二次函数的性质，求得，化简得到，令，结合基本不等式，求得的最大值，可判定C错误；当时，由函数表示开口向下的抛物线，可判定D正确.
【详解】由题意，关于的不等式的解集为，
对于A中，若，即不等式的解集为空集，
根据二次函数的性质，则满足，所以A错误；
对于B中，若，可得和是方程 两个实根，且，
可得，解得，
则不等式，可化为，
即，解得或，
即不等式的解集为，所以B正确；
对于C中，若为常数，可得是唯一的实根，且，
则满足，解得，所以，
令，因为且，可得，且，
则，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以的最大值为，所以C错误；
对于D中，当时，函数表示开口向下的抛物线，
所以当的解集一定不为，所以D正确.
故选：AC.
13．{a|a< -2}
【分析】依题意有AB，根据集合的包含关系，列不等式求实数a的取值范围.
【详解】因为A是B的充分不必要条件，所以AB，
【解析】若“x<－2”是“x≤a”的必要不充分条件，
则{x|x≤a}是{x|x<－2}的真子集，
∴a<－2.
所以实数a的取值范围是{a|a< -2}．
故答案为：{a|a< -2}
14．3
【分析】根据题意可得1，，，然后分与讨论，即可得到结果.
【详解】由题意得1，，，
当时，则不满足元素互异性，
当即时，，，满足要求.
所以.
故答案为:
15．
【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案.
【详解】设,则解得
故，
由,故，
由,故，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】先求出函数在区间上的值域，再结合函数的值域为R，得出函数在上单调递增，可得出函数在区间上的值域，再由两段值域并集为R，可得出关于实数的不等式（组），解出即可.
【详解】当时，，则函数在区间上的值域为.
又函数的值域为R，则函数在上单调递增，
当时，，
所以，函数在区间上的值域为，
由题意可得，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由函数定义求出定义域得集合，然后由并集定义计算；
（2）由得，然后根据和分类讨论．
【详解】（1）由题意得：，解得，所以．
若，则，所以．
（2）因为，所以
当时，满足，则，解得；
当时，由得，解得．
综上，m的取值范围为．
18．（1）或；（2）.
【解析】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求；
（2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值.
【详解】（1）由得或，所以，
由得或，所以，
因为，所以，
所以或，所以或；
（2）因为，所以，
当的时，，解得，
当时，，无解，
当时，，解得，
当时，，无解，
综上，实数m的取值范围是.
【点睛】结论点睛：根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系：
（1）若，则有；
（2）若，则有.
19．(1)或，，；
(2).
【分析】（1）根据已知条件，结合函数的性质，求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解.
（2）由已知条件，推得，再列出不等式，即可求解.
【详解】（1），解得或，
函数的定义域为集合或，
当时，，对称轴为，
，，
，，
，
（2）“”是“”的必要不充分条件，
，
，，
又或，，
或，解得或，
故的取值范围为.
20．（1）或；（2）最大值为．
【分析】（1）将代入后即是解一元二次不等式，可用因式分解法求解；
（2）0对任意的恒成立，参变分离得，再利用基本不等式计算可得；
【详解】解：（1）由题意，当时，函数，
由0，即，解得或，
所以不等式0的解集为或．
（2）因为0对任意的恒成立，即，
又由，当且仅当时，即时，取得最小值，
所以，即实数的最大值为．
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法以及基本不等式的应用，属于中档题.
21．(1)
(2)时，（元）
【分析】（1）设，得到，求得，进而得到总造价（单位：元）关于的函数解析式；
（2）令，得到且，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：设，则，所以，
由，可得，
所以总造价（单位：元）关于的函数解析式为：
.
（2）解：令，则且，
因为函数，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以总造价的最小值为元.
22．（1）；（2）详见解析
【分析】（1）将不等式化为即可求得结果；（2）将不等式化为；当时直接求得；当时，不等式变为，计算的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集；当时，不等式变为，根据方程两根大小关系即可得到解集.
【详解】（1）当时，不等式可化为：
不等式的解集为
（2）不等式可化为：，
（i）当时，，解得： 不等式解集为
（ii）当时，，
的根为：，
①当时， 不等式解集为
②当时，，不等式解集为
③当时， 不等式解集为
（iii）当时：
此时 不等式解集为或
【点睛】本题考查不含参数和含参数的一元二次不等式的求解问题；关键是能够根据一元二次不等式和二次函数、一元二次方程之间的关系，分别在参数不同范围的情况下讨论一元二次方程根的大小，从而得到解集；易错点是忽略了二次项系数为零的情况，导致情况不完整.