2022-2023学年河南省周口市太康县第一高级中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省周口市太康县第一高级中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，进而判断出正误.

【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；是整数，③错误；是自然数，④错误；0是有理数，⑤错误，所以正确的个数为1．

故选：A．

2．设是奇数集，是偶数集，则命题“，”的否定是    

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】全称命题的否定为特称命题，排除C,D，的否定为.

【详解】“，”即“所有，都有”，它的否定应该是“存在，使”，所以正确选项为A.

【点睛】本题考查全称命题的否定，注意任意要改成存在，考查对命题否定的理解.

3．已知的定义域为，则的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据的定义域为，即可得出：要使得有意义，则需满足，解出的范围即可．

【详解】的定义域为，，

要使有意义，则，解得，

的定义域为，．

故选：C．

【点睛】本题考查抽象函数定义域的求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意形如复合函数的求解原则.

4．已知其中为常数，若，则的值等于（    ）

A． B．14 C． D．-14

【答案】D

【解析】根据为定值求解即可．

【详解】因为，

所以，故.

故选：D

【点睛】本题主要考查了根据函数的性质求解函数值的问题，属于基础题.

5．“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．或

【答案】B

【解析】首先根据的解集为得到，再根据必要不充分条件即可得到答案.

【详解】不等式的解集为等价于的解集为.

所以，解得.

所以的一个必要不充分条件是.

故选：B

【点睛】本题主要考查必要不充分条件，同时考查二次不等式恒成立问题，属于简单题.

6．若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意得，利用韦达定理找到之间的关系，代入所求不等式即可求得.

【详解】不等式的解集为，则与是方程的两根，且，

由韦达定理知，，

即，，

则不等式可化简为，

整理得： ，即，由得或，

故选：C.

【点睛】本题主要考一元二次不等式，属于较易题.

7．关于的不等式的解集是,则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根先将不等式,写为,对整体换元,再进行全分离求最值,分新元是否为零,再用基本不等式即可得出结果.

【详解】解:由题知,关于的不等式的解集是,

因为,

不妨取,,

即对于,

即,

当时,,

当时,

,

当且仅当,即时取等,

故,

故,

综上: .

故选:A

8．已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　）

A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8

【答案】D

【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围.

【详解】不等式可化为，又，，

所以，

令，则，

因为，，所以，当且仅当时等号成立，

又已知在上恒成立，所以

因为，当且仅当时等号成立，

所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，

所以m的取值范围是，

故选：D.

二、多选题

9．集合是实数集的子集，定义且，若集合，，则以下说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】得到集合A，B，后由定义可得答案.

【详解】表示函数在上的值域，得，故A正确；

表示函数在上的值域，得，故D错误；；

又由题目所给定义有：，故B正确；，故C正确.

故选：ABC

10．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”

C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件

D．设，则“”是“”的充分不必要条件

【答案】AB

【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B的正误．

【详解】对于A，或，则“”是“”的充分不必要条件，故A对；

对于B，全称命题的否定是特称命题，“任意，则”的否定是“存在，则”，故B对；

对于C，“且” “”，但“”，得不出且”，

 “且” 是 “”的充分而不必要条件，故C错；

对于D，且，则“”是“”的必要不充分条件，故D错；

故选：AB．

11．（多选）已知，，，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】利用基本不等式，可得，又可判断A正确；利用基本不等式，化简得解得，可判断B错误；利用基本不等式，得解得，可判断C错误；利用，由B选项结果可判断D正确；

【详解】对于A，由，，利用基本不等式，可得，解得，又（当且仅当时，等号成立），而，所以，所以，故A正确；

对于B，由，，利用基本不等式，化简得（当且仅当时，等号成立），解得，即，故B错误；

对于C，由，，利用基本不等式化简得（当且仅当时，等号成立），解得，故C错误；

对于D，，又，即，由B选项知，所以，故D正确；

故选：AD

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

12．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ）

A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1

C．若，则 D．若n=1，则

【答案】BC

【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可

【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.

∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或；

同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： .

对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；

对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确；

对于C: 若，有，解得：，故C正确；

对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确.

故选：BC

【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解.

三、填空题

13．用列举法表示集合______

【答案】

【分析】直接利用集合的列举法写出结果即可．

【详解】集合．

故答案为：．

【点睛】本题考查集合的表示方法，列举法，考查计算能力．

14．，使得，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】将，使得，转化为有解求解.

【详解】因为，使得，

所以有解，

令，

所以

所以实数的取值范围是

故答案为：

【点睛】本题主要考查一元二次不等式有解问题，属于基础题.

15．已知函数在上为奇函数，且时，，则当时，______.

【答案】

【解析】设，则，利用是奇函数，当时，，即可求解当时的解析式．

【详解】设，则，故，

由于函数在上为奇函数，故，

故答案为：.

16．函数在上单调递增，且函数是偶函数，则，，从小到大的顺序是______.

【答案】

【解析】函数是偶函数判断出的图象关于直线对称，又在上单调递增，得出在单调递减，利用单调性可得答案.

【详解】因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，

所以，又因为在上单调递增，所以在单调递减，

因为，所以，

故答案为：.

【点睛】比较函数值的大小方法: 利用函数的单调性是常见的方法.

四、解答题

17．已知集合，.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）化简得到和，代入计算得到答案.

（2）根据题意得到，计算得到或，再验证互异性得到答案.

【详解】（1）因为，，所以.

（2）因为，所以中有两个元素，即，所以，

解得或，由元素的互异性排除可得.

【点睛】本题考查了根据元素与集合的关系，集合的运算结果求参数，意在考查学生对于集合性质的综合应用.

18．设函数.

（1）若不等式的解集为，求，的值；

（2）若，时，求不等式的解集.

【答案】（1），；（2）答案见详解析.

【分析】（1）由题意知：和 是方程，利用根与系数的关系即可得，的值

（2）对进行讨论，比较方程两根的大小，即可得出不等式的解集.

【详解】（1）函数，

由不等式的解集为，得，

且1和2是方程的两根；

则，

解得，；

（2）时，不等式为，

可化为，则

因为，所以不等式化为，

令，得，

当时，，解不等式得或；

当时，不等式为，解得；

当时，，解不等式得或；

综上：当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为

【点睛】本题主要考查了已知不等式的解集求参数的值，以及解含参数的不等式，属于中档题.

19．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.

(1)求出2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；

(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)；

(2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.

【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.

（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.

【详解】（1）依题意，销售收入万元，固定成本250万元，另投入成本万元，

因此，

所以2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式是.

（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，

当时，，当且仅当，即时取等号，

而，因此当时，，

所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.

20．已知函数.

（Ⅰ）若为偶函数，求在上的值域；

（Ⅱ）若在区间上是减函数，求在上的最大值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（1）根据为偶函数，可解得a的值，根据二次函数图像与性质，即可得结果；

（2）由在区间上是减函数，可得对称轴，即可得a的范围，根据的单调性，比较的大小，即可得结果.

【详解】（Ⅰ）因为函数为偶函数，

所以，解得，即，

因为在上单调递增，

所以当时，，

故值域为：.  

（Ⅱ）若在区间上是减函数，则函数对称轴，解得，

因为，所以时，函数递减，

当时，函数递增，

故当时， ，

又，   

由于，所以，

故在上的最大值为.

【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、二次函数求值域问题，难点为需讨论的单调性，并利用作差法比较大小，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.

21．已知函数.

（1）判断的奇偶性，并说明理由；

（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.

【答案】（1）函数既不是奇函数，也不是偶函数；答案见解析；（2）.

【解析】（1）分和两种情况，根据函数的奇偶性的定义讨论求解.

（2）设,然后由为上的增函数，则成立求解.

【详解】（1）当时，函数的定义域为，

对，

所以函数为偶函数；

当时，的定义域为，

，

此时且，

此时，函数既不是奇函数，也不是偶函数；

（2）设，

则，

，

因为，

所以，，

∵为上的增函数，

∴成立，

则成立，

所以成立，

解得，

所以实数的取值范围是.

【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

22．已知函数.

（1）求函数的单调区间和值域；

（2）设，求函数的最大值的表达式.

【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；值域为；（2）.

【解析】（1）先求得函数的定义域是，然后转化为，结合，利用复合函数的单调性求解.

（2）将函数转化为，，再风，，，，五种情况讨论求解.

【详解】（1）要使函数有意义，需满足，

解得

所以函数的定义域是.

∵，又，

所以的单调增区间为，单调减区间为

又，

∴，

∵

∴，

即函数的值域为.

（2）令，

则，

原函数转化为：，

令，

时函数的图像的对称轴方程为.

①当时，，函数在区间上递增，

∴.

②当时，，

③当时，，

若，即时，函数在区间上递减，

∴，

若，即时，，

若，即时，函数在区间上递增，

∴.

综上，

【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.